¿Qué precisión tiene la regla del 70?

Para tasas de hasta un $10\%$ aproximadamente, el error suele ser menor de un año. Con un $2\%$ da $35$ años y el valor exacto es de unos $35{,}0$ años. Con un $7\%$ da $10$ años y el valor exacto es de unos $10{,}2$ años. Para tasas grandes, el error crece.

¿Qué es la capacidad de carga?

La capacidad de carga es la mayor población que un entorno puede mantener con su comida, su agua y su espacio. Cuando una población se acerca a ella, el crecimiento se frena y la curva se aplana en forma de S. Esto se llama crecimiento logístico; en esta lección solo lo describimos, sin fórmula.

¿Debo usar un modelo lineal o uno exponencial?

Mira los datos. Si la población aumenta más o menos el mismo **número** cada año, usa un modelo lineal. Si aumenta más o menos el mismo **porcentaje** cada año (los cocientes $\frac{P_1}{P_0}$, $\frac{P_2}{P_1}$ son casi iguales), usa un modelo exponencial.

Recursos para profesores

Modelos de crecimiento de población

Q: ¿Por qué funciona la regla del 70?

El tiempo de duplicación exacto es $d = \frac{\ln 2}{\ln(1 + r)}$, y para tasas pequeñas $\ln(1 + r)$ está muy cerca de $r$. Como $\ln 2 \approx 0{,}693$, el tiempo de duplicación es aproximadamente $\frac{0{,}693}{r} = \frac{69{,}3}{\text{porcentaje}}$, redondeado a 70. Verás los logaritmos en una lección posterior; por ahora, usa la regla como estimación rápida.

Modela poblaciones de bacterias, ciudades y animales con funciones exponenciales, el tiempo de duplicación y la regla del 70.

Avanzado30 minLección

Ficha imprimible

Definición

Un modelo de población es una función que predice cuántos individuos (personas, bacterias, animales) habrá después de un tiempo

t

. Cuando una población crece el mismo porcentaje cada año, sigue un modelo exponencial:

P(t) = P_0 (1 + r)^t

$P_0$ = población inicial (en $t = 0$ )
$r$ = tasa de crecimiento anual en forma decimal (3% significa $r = 0{,}03$ )
$1 + r$ = factor de crecimiento
$t$ = tiempo en años

Cuando conocemos el tiempo de duplicación

d

(lo que tarda la población en duplicarse), podemos escribir el mismo tipo de modelo así:

P(t) = P_0 \cdot 2^{t/d}

El exponente

\frac{t}{d}

cuenta cuántas duplicaciones han ocurrido. Una estimación rápida une las dos formas, la regla del 70:

d \approx \frac{70}{\text{tasa de crecimiento en porcentaje}}

Es solo una aproximación, pero es muy buena para tasas pequeñas.

El diagrama de barras muestra una población de

10000

que crece un

10\%

al año:

10000

11000

12100

13310

14641

. Cada barra es

1{,}1

veces la anterior, así que los saltos son mayores cada año.

Pruébalo ahora

Un pueblo de

2000

habitantes crece un

4\%

al año. ¿Qué función modela su población después de

t

años?

Ejemplos resueltos

Una ciudad tiene $50000$ habitantes y crece un $2\%$ al año. Estima su población dentro de 5 años.

Identifica $P_0$ , $r$ y $t$

$P_0 = 50000$ , $r = 0{,}02$ , $t = 5$ → Valores identificados

Halla el factor de crecimiento

$1 + r = 1 + 0{,}02 = 1{,}02$ → Factor de crecimiento $1{,}02$

Escribe el modelo

$P(t) = 50000 \cdot 1{,}02^t$ → Modelo listo

Evalúa en $t = 5$

$P(5) = 50000 \cdot 1{,}02^5 \approx 50000 \cdot 1{,}10408 \approx 55204$ → $P(5) \approx 55204$

Respuesta: Dentro de 5 años la ciudad tendrá unos 55204 habitantes.

Errores comunes

Usar el porcentaje tal cual en el factor de crecimiento: $50000 \cdot (1 + 2)^t$

Por qué está mal: Una tasa del $2\%$ es $0{,}02$ en forma decimal. Escribir $1 + 2 = 3$ significaría que la ciudad se triplica cada año.

Correcto: Convierte primero el porcentaje: $2\% = 0{,}02$ , así que el factor de crecimiento es $1{,}02$ y $P(t) = 50000 \cdot 1{,}02^t$ .

Olvidar dividir entre el tiempo de duplicación: $300 \cdot 2^{180}$

Por qué está mal: El exponente debe contar duplicaciones, no minutos. En 180 minutos solo hay $\frac{180}{30} = 6$ duplicaciones.

Correcto: Usa $P(t) = P_0 \cdot 2^{t/d}$ : $300 \cdot 2^{180/30} = 300 \cdot 2^6 = 19200$ .

Usar la tasa decimal en la regla del 70: $\frac{70}{0{,}035} = 2000$ años

Por qué está mal: La regla del 70 está pensada para la tasa escrita como porcentaje. Con el decimal sale un resultado 100 veces demasiado grande.

Correcto: Divide 70 entre el número del porcentaje: $\frac{70}{3{,}5} = 20$ años, y recuerda que es una estimación.

Dividir entre el recuento posterior al calcular la tasa: $\frac{120}{1320} \approx 9{,}1\%$

Por qué está mal: La tasa de crecimiento se mide respecto a la población de partida, no a la final.

Correcto: Divide el recuento nuevo entre el antiguo: $\frac{1320}{1200} = 1{,}1$ , así que $r = 10\%$ .

Visual interactivo

Explorador de sucesiones

Primer término (a₁ = 300)

Razón común (r = 2)

300,

600,

1200,

2400,

4800,

9600,

19.200

, ...

Fórmula

a_n = 300 × 2^(n-1)

a_1

300

a_5

4800

a_10

153.600

a_20

157.286.400

Gráfico de barras

t = 0(10.000)

t = 1(11.000)

t = 2(12.100)

t = 3(13.310)

t = 4(14.641)

Sandbox interactivo

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

Aún no hay cálculos

Problemas de práctica

18 problemas

Problema 1 de 18

Fácil

Un pueblo de $2000$ habitantes crece un $4\%$ al año. ¿Qué función modela su población después de $t$ años?

Problemas de práctica: Modelos de crecimiento de población

1. Un pueblo de 2000 habitantes crece un 4% al año. ¿Qué función modela su población después de t años?
2. Una población de 6000 se duplica cada 15 años. ¿Qué modelo da la población después de t años?
3. La población de un país crece un 2% al año. Según la regla del 70, ¿cuánto tarda aproximadamente en duplicarse?
4. Una población de conejos en una isla creció de forma exponencial durante unos años, pero ahora su crecimiento se está frenando. ¿Cuál es la razón más probable?
5. Las ciudades A y B tienen hoy 10000 habitantes cada una. La ciudad A crece 500 personas al año; la ciudad B crece un 5% al año. ¿Qué afirmación sobre las poblaciones dentro de 20 años es verdadera? (Usa 1,05²⁰ ≈ 2,6533.)
6. Una colonia de 1500 conejos crece un 10% al año. ¿Cuántos conejos hay al cabo de 1 año?
7. Una ciudad de 4000 habitantes se duplica cada 8 años. ¿Cuál es su población al cabo de 24 años?
8. Una población de peces crece un 7% al año. Usa la regla del 70 para estimar su tiempo de duplicación en años.
9. Un pueblo tenía 2500 habitantes en 2023 y 2600 en 2024. ¿Cuál es su tasa de crecimiento anual en porcentaje? (Escribe solo el número, por ejemplo 5.)
10. Un cultivo de 200 bacterias se duplica cada 25 minutos. ¿Al cabo de cuántos minutos habrá 12800 bacterias?
11. Una ciudad de 30000 habitantes crece un 2% al año. ¿Cuál es su población al cabo de 2 años?
12. Una muestra de 50 bacterias se duplica cada 10 minutos. ¿Cuántas bacterias hay al cabo de 1 hora?
13. Un lago tenía 800 peces el año pasado y tiene 880 este año. Suponiendo el mismo crecimiento porcentual anual, ¿cuántos peces habrá 2 años después del recuento de 800?
14. Un país de 5 millones de habitantes crece un 1,4% al año. Usa la regla del 70 para estimar su población dentro de 100 años (en millones).
15. Una población de 1000 ciervos se duplica cada 10 años. Estima la población al cabo de 5 años. (Redondea 2^{0{,}5} a 3 decimales.)
16. Una ciudad tenía 40000 habitantes en 2020 y 44000 en 2021. Haz una previsión para 2023 con un modelo lineal y con un modelo exponencial. ¿Cuánto mayor es la previsión exponencial?
17. Una ciudad tenía 5000 habitantes en 2018 y 7200 en 2020. Suponiendo el mismo crecimiento porcentual anual, predice la población en 2022.
18. Una población de 10000 crece un 5% al año. Estima el tiempo de duplicación con la regla del 70 y luego comprueba la estimación: ¿cuál es la población al cabo de ese número de años?

Por qué es importante

Los modelos de población ayudan a planificar el futuro:

Las ciudades usan previsiones de crecimiento para decidir cuántos colegios, viviendas y autobuses necesitarán dentro de 10 o 20 años
Biólogos y médicos predicen a qué velocidad se multiplican las bacterias en una muestra o en una infección
Los gestores de fauna siguen especies en peligro y especies invasoras para saber si una población se recupera o se dispara
Los gobiernos comparan previsiones lineales y exponenciales para planificar agua, energía y alimentos

Conocer la diferencia entre una recta y una curva que no deja de duplicarse puede cambiar un plan por completo: una previsión exponencial puede superar en miles de personas a una lineal en solo unas décadas. Las poblaciones reales no pueden crecer exponencialmente para siempre, así que un buen pronosticador también sabe cuándo el modelo deja de funcionar.

Aplicaciones del mundo real

Planificación urbana

Los urbanistas prevén cuántos habitantes tendrá una ciudad para construir a tiempo suficientes colegios, viviendas y transporte público.

Ejemplo:

Una ciudad de $250000$ habitantes que crece un $1\%$ al año tendría unos $250000 \cdot 1{,}01^{10} \approx 276156$ habitantes dentro de 10 años.

1Inténtalo tú mismo

Una ciudad que crece rápido tiene $80000$ habitantes y crece un $5\%$ al año.

¿Cuántos habitantes tendrá dentro de 3 años?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $80000 \cdot 1{,}05^3$ :

Bacterias en el laboratorio

Los microbiólogos usan tiempos de duplicación para predecir cuándo un cultivo será lo bastante grande para estudiarlo, o a qué velocidad puede extenderse una infección antes del tratamiento.

Ejemplo:

Algunas bacterias se duplican aproximadamente cada 20 minutos en condiciones ideales, es decir, 3 duplicaciones, o un factor $2^3 = 8$ , por hora.

2Inténtalo tú mismo

Un cultivo empieza con $1000$ bacterias que se duplican cada $20$ minutos.

¿Cuántas bacterias hay al cabo de 1 hora y 40 minutos?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $1000 \cdot 2^{100/20}$ :

Recuperación de la fauna

Los equipos de conservación cuentan los animales cada año, construyen un modelo de crecimiento con los recuentos y comprueban si una especie protegida se recupera. También saben que una reserva solo puede alimentar a un número limitado de animales, su capacidad de carga, así que el crecimiento se frenará más adelante.

Ejemplo:

Si una manada pasa de $500$ a $540$ animales en un año, el factor de crecimiento es $\frac{540}{500} = 1{,}08$ , así que la manada crece un $8\%$ al año mientras haya comida de sobra.

3Inténtalo tú mismo

Una manada de lobos de una reserva pasó de $64$ a $80$ lobos en un año.

Si se mantiene el mismo porcentaje anual, ¿cuántos lobos habrá 2 años después del recuento de 80?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $80 \cdot (80/64)^2$ :

Puntos clave

1Una población que crece el mismo porcentaje cada año sigue $P(t) = P_0 (1 + r)^t$ , con $r$ en forma decimal
2Con un tiempo de duplicación $d$ , el modelo es $P(t) = P_0 \cdot 2^{t/d}$ , donde $\frac{t}{d}$ cuenta las duplicaciones
3La regla del 70 estima el tiempo de duplicación: $d \approx \frac{70}{\text{tasa en porcentaje}}$ ; es una aproximación, no una fórmula exacta
4Con dos recuentos anuales, el factor de crecimiento es $\frac{P_1}{P_0}$ y la tasa es $r = \frac{P_1}{P_0} - 1$
5Las previsiones lineales suman el mismo número cada año; las exponenciales multiplican, por eso se adelantan con el tiempo
6Las poblaciones reales se frenan al acercarse a la capacidad de carga de su entorno, así que los modelos exponenciales funcionan mejor al principio del crecimiento

Preguntas frecuentes

El tiempo de duplicación exacto es

d = \frac{\ln 2}{\ln(1 + r)}

, y para tasas pequeñas

\ln(1 + r)

está muy cerca de

r

. Como

\ln 2 \approx 0{,}693

, el tiempo de duplicación es aproximadamente

\frac{0{,}693}{r} = \frac{69{,}3}{\text{porcentaje}}

, redondeado a 70. Verás los logaritmos en una lección posterior; por ahora, usa la regla como estimación rápida.

Glosario

Modelo de población: Una función $P(t)$ que predice el tamaño de una población después de un tiempo $t$
Población inicial: La población $P_0$ al principio, cuando $t = 0$
Tasa de crecimiento: El porcentaje que crece la población en cada periodo, escrito en la fórmula como decimal $r$
Tiempo de duplicación: El tiempo $d$ que tarda una población en duplicar su tamaño
Regla del 70: La estimación $d \approx \frac{70}{\text{tasa en porcentaje}}$ del tiempo de duplicación
Capacidad de carga: La mayor población que un entorno puede mantener durante mucho tiempo

Tarjeta de fórmulas

Modelo de población con tasa anual

P(t) = P_0 (1 + r)^t

$P_0$ = población inicial, $r$ = tasa de crecimiento anual en decimal, $t$ = años.

Modelo con tiempo de duplicación

P(t) = P_0 \cdot 2^{t/d}

$d$ = tiempo de duplicación, en la misma unidad que $t$. El exponente $\frac{t}{d}$ es el número de duplicaciones.

Regla del 70 (estimación)

d \approx \frac{70}{\text{tasa en porcentaje}}

Tiempo de duplicación aproximado. Usa la tasa como número de porcentaje, por ejemplo $\frac{70}{2} = 35$ años para un $2\%$.

Factor de crecimiento a partir de dos recuentos

1 + r = \frac{P_1}{P_0}

$P_0$ y $P_1$ son recuentos tomados con un periodo de diferencia.

Más sobre este tema

Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Visual interactivo

Explorador de sucesiones

Fórmula

Gráfico de barras

Sandbox interactivo

Calculadora de expresiones

Historial

Problemas de práctica

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Planificación urbana

Bacterias en el laboratorio

Recuperación de la fauna

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Modelo de población con tasa anual

Modelo con tiempo de duplicación

Regla del 70 (estimación)

Factor de crecimiento a partir de dos recuentos

Más sobre este tema

Introducción a las funciones exponenciales

Crecimiento exponencial

Gráficas de funciones exponenciales

Decrecimiento exponencial