Evaluar una función compuesta en un punto

Si $f(x) = 2x + 1$ y $g(x) = x^2$, encuentra $(f \circ g)(3)$.

Entender la notación: $(f \circ g)(3) = f(g(3))$ = Primero encontrar $g(3)$, luego aplicar $f$

Evaluar la función interna: $g(3) = 3^2 = 9$ = $g(3) = 9$

Sustituir en la función externa: $f(g(3)) = f(9) = 2(9) + 1$ = $f(9) = 18 + 1$

Calcular el resultado final: $18 + 1 = 19$ = $(f \circ g)(3) = 19$

Answer: $(f \circ g)(3) = 19$

Encontrar una fórmula para la función compuesta

Si $f(x) = x - 4$ y $g(x) = 3x$, encuentra $(f \circ g)(x)$.

Escribir la composición: $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ = Reemplazar $x$ en $f$ por $g(x)$

Sustituir $g(x)$ en $f$: $f(g(x)) = f(3x)$ = La entrada de $f$ es $3x$

Aplicar la regla de $f$: $f(3x) = (3x) - 4$ = Reemplazar $x$ por $3x$ en $f(x) = x - 4$

Simplificar: $3x - 4$ = $(f \circ g)(x) = 3x - 4$

Answer: $(f \circ g)(x) = 3x - 4$

Comparar el orden de composición

Si $f(x) = x^2$ y $g(x) = x + 5$, encuentra $(f \circ g)(x)$ y $(g \circ f)(x)$. ¿Son iguales?

Encontrar $(f \circ g)(x)$: $f(g(x)) = f(x + 5) = (x + 5)^2$ = $(f \circ g)(x) = x^2 + 10x + 25$

Encontrar $(g \circ f)(x)$: $g(f(x)) = g(x^2) = x^2 + 5$ = $(g \circ f)(x) = x^2 + 5$

Comparar los resultados: $x^2 + 10x + 25 \neq x^2 + 5$ = Las composiciones NO son iguales

Verificar con un número: Para $x = 1$: $(f \circ g)(1) = 36$, $(g \circ f)(1) = 6$ = $36 \neq 6$ confirma que son diferentes

Answer: $(f \circ g)(x) = x^2 + 10x + 25$ y $(g \circ f)(x) = x^2 + 5$. NO son iguales.

Composición de tres funciones

Si $f(x) = x + 1$, $g(x) = 2x$ y $h(x) = x^2$, encuentra $(f \circ g \circ h)(2)$.

Entender el orden: $(f \circ g \circ h)(2) = f(g(h(2)))$ = Empezar por la más interna: $h(2)$

Evaluar $h(2)$: $h(2) = 2^2 = 4$ = $h(2) = 4$

Evaluar $g(4)$: $g(4) = 2(4) = 8$ = $g(h(2)) = 8$

Evaluar $f(8)$: $f(8) = 8 + 1 = 9$ = $(f \circ g \circ h)(2) = 9$

Answer: $(f \circ g \circ h)(2) = 9$

Mistake: Confundir $(f \circ g)(x)$ con $f(x) \cdot g(x)$

Why: La notación del círculo $\circ$ significa composición, no multiplicación. $(f \circ g)(x) = f(g(x))$, que sustituye $g(x)$ en $f$.

Correct: $(f \circ g)(x)$ significa aplicar $g$ primero, luego $f$. La multiplicación $f(x) \cdot g(x)$ es una operación completamente diferente.

Mistake: Confundir el orden

Why: En $(f \circ g)(x)$, podrías pensar que $f$ viene primero porque aparece primero.

Correct: Lee de adentro hacia afuera: $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ significa que $g$ se aplica primero, luego $f$.

Mistake: Asumir que $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$

Why: A diferencia de la multiplicación, la composición generalmente NO es conmutativa.

Correct: Siempre verifica ambos órdenes. Normalmente $(f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x)$.

Cadenas de conversión de unidades

Convertir entre unidades de medida a menudo requiere componer varias funciones de conversión.

Para convertir millas a metros: primero convertir millas a kilómetros con $g(x) = 1,609x$, luego kilómetros a metros con $f(x) = 1000x$. Así que $(f \circ g)(x) = 1609x$ metros.

Programación informática

Las llamadas a funciones anidadas en programación son funciones compuestas.

En Python, `len(str(n))` cuenta los dígitos de un número. Aquí $g(n) = \text{str}(n)$ convierte a cadena, y $f(s) = \text{len}(s)$ cuenta los caracteres.

Q: ¿Cómo recuerdo qué función aplicar primero?

A: Piensa "de adentro hacia afuera". En $f(g(x))$, $g$ está adentro, así que se aplica primero. Luego $f$ se aplica a ese resultado. La función más cercana a $x$ va primero.

Q: ¿Se pueden componer dos funciones cualesquiera?

A: El rango (salidas) de la función interna debe estar en el dominio (entradas permitidas) de la función externa. Por ejemplo, si $f(x) = \sqrt{x}$ y $g(x) = x - 10$, entonces $f(g(5))$ no está definido porque $g(5) = -5$ y no podemos sacar la raíz cuadrada de un número negativo.

Q: ¿Hay un atajo para encontrar funciones compuestas?

A: ¡Sí! Simplemente sustituye toda la expresión de $g(x)$ donde veas $x$ en $f(x)$. Luego simplifica el resultado.