Funciones compuestas

Aprende a combinar dos funciones para crear una nueva función mediante composición.

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Definición

Una función compuesta se crea cuando una función se aplica al resultado de otra función. Escribimos esto como (f∘g)(x)(f \circ g)(x) o f(g(x))f(g(x)), que se lee "f de g de x".
Idea clave: En f(g(x))f(g(x)), primero evaluamos g(x)g(x), luego usamos ese resultado como entrada para ff.
Si f(x)=x2 y g(x)=x+3\text{Si } f(x) = x^2 \text{ y } g(x) = x + 3
Entonces (f∘g)(x)=f(g(x))=f(x+3)=(x+3)2\text{Entonces } (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 3) = (x + 3)^2
Importante: ¡El orden importa! (f∘g)(x)≠(g∘f)(x)(f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x) en general.

Pruébalo ahora

Si f(x)=x+2f(x) = x + 2 y g(x)=3xg(x) = 3x, ¿cuánto es (f∘g)(1)(f \circ g)(1)?

Ejemplos resueltos

Si f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1 y g(x)=x2g(x) = x^2, encuentra (f∘g)(3)(f \circ g)(3).
1

Entender la notación

(f∘g)(3)=f(g(3))(f \circ g)(3) = f(g(3)) → Primero encontrar g(3)g(3), luego aplicar ff
2

Evaluar la función interna

g(3)=32=9g(3) = 3^2 = 9 → g(3)=9g(3) = 9
3

Sustituir en la función externa

f(g(3))=f(9)=2(9)+1f(g(3)) = f(9) = 2(9) + 1 → f(9)=18+1f(9) = 18 + 1
4

Calcular el resultado final

18+1=1918 + 1 = 19 → (f∘g)(3)=19(f \circ g)(3) = 19

Errores comunes

Confundir (f∘g)(x)(f \circ g)(x) con f(x)⋅g(x)f(x) \cdot g(x)

Por qué está mal: La notación del círculo ∘\circ significa composición, no multiplicación. (f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x)), que sustituye g(x)g(x) en ff.

Correcto: (f∘g)(x)(f \circ g)(x) significa aplicar gg primero, luego ff. La multiplicación f(x)⋅g(x)f(x) \cdot g(x) es una operación completamente diferente.

Confundir el orden

Por qué está mal: En (f∘g)(x)(f \circ g)(x), podrías pensar que ff viene primero porque aparece primero.

Correcto: Lee de adentro hacia afuera: (f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x)) significa que gg se aplica primero, luego ff.

Asumir que (f∘g)(x)=(g∘f)(x)(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)

Por qué está mal: A diferencia de la multiplicación, la composición generalmente NO es conmutativa.

Correcto: Siempre verifica ambos órdenes. Normalmente (f∘g)(x)≠(g∘f)(x)(f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x).

Visual interactivo

Gráfica de la función

-8-6-4-20240102030xy

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Toca un nombre para mostrar u ocultar su gráfica.

Tabla de valores

x-3-2-1012
(f∘g)(x) = (x + 5)²4916253649
(g∘f)(x) = x² + 51496569

Sandbox interactivo

Graficador interactivo

-10-50510-10-50510xy

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Prueba estos ejemplos:

y = (x + 5)^2

y = x^2 + 5

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

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Problemas de práctica

16 problemas
Problema 1 de 16
Fácil
Si f(x)=x+2f(x) = x + 2 y g(x)=3xg(x) = 3x, ¿cuánto es (f∘g)(1)(f \circ g)(1)?

Por qué es importante

Las funciones compuestas son esenciales para:
  • Modelar procesos complejos: Una conversión de temperatura de Celsius a Fahrenheit, luego a Kelvin, es una composición de dos funciones
  • Informática: Las llamadas a funciones anidadas como `print(len(str(x)))` son funciones compuestas
  • Economía: Calcular el coste total implica componer la función de coste unitario con la función de cantidad
  • Cálculo: La regla de la cadena para derivadas se basa en entender las funciones compuestas
¡Piénsalo como seguir las indicaciones del GPS: primero ir a la tienda (función gg), luego de la tienda a casa (función ff). ¡El orden importa!

Aplicaciones del mundo real

Cadenas de conversión de unidades

Convertir entre unidades de medida a menudo requiere componer varias funciones de conversión.

Ejemplo:

Para convertir millas a metros: primero convertir millas a kilómetros con g(x)=1,609xg(x) = 1,609x, luego kilómetros a metros con f(x)=1000xf(x) = 1000x. Así que (f∘g)(x)=1609x(f \circ g)(x) = 1609x metros.

1Inténtalo tú mismo

Un velocímetro europeo muestra kilómetros por hora. Necesitas convertir a metros por segundo. La función g(x)=1000xg(x) = 1000x convierte km a m. La función f(x)=x3600f(x) = \frac{x}{3600} convierte por hora a por segundo.

Si un coche viaja a 90 km/h, ¿cuál es su velocidad en m/s?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula (f∘g)(90)(f \circ g)(90):

Programación informática

Las llamadas a funciones anidadas en programación son funciones compuestas.

Ejemplo:

En Python, `len(str(n))` cuenta los dígitos de un número. Aquí g(n)=str(n)g(n) = \text{str}(n) convierte a cadena, y f(s)=len(s)f(s) = \text{len}(s) cuenta los caracteres.

2Inténtalo tú mismo

Un programa usa f(x)=x+10f(x) = x + 10 para añadir un bonus, y g(x)=2xg(x) = 2x para duplicar una puntuación. La función compuesta f(g(x))f(g(x)) primero duplica, luego añade el bonus.

Si la puntuación base de un jugador es 45, ¿cuál es la puntuación final después de aplicar (f∘g)(f \circ g)?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula f(g(45))f(g(45)):

Puntos clave

  • 1Una función compuesta (f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x)) aplica gg primero, luego ff al resultado
  • 2El orden importa: (f∘g)(x)(f \circ g)(x) generalmente NO es igual a (g∘f)(x)(g \circ f)(x)
  • 3Para evaluar, trabaja de adentro hacia afuera: primero calcula la función interna
  • 4La composición es diferente de la multiplicación: f∘g≠f⋅gf \circ g \neq f \cdot g

Preguntas frecuentes

Piensa "de adentro hacia afuera". En f(g(x))f(g(x)), gg está adentro, así que se aplica primero. Luego ff se aplica a ese resultado. La función más cercana a xx va primero.
Piensa "de adentro hacia afuera". En f(g(x))f(g(x)), gg está adentro, así que se aplica primero. Luego ff se aplica a ese resultado. La función más cercana a xx va primero.
El rango (salidas) de la función interna debe estar en el dominio (entradas permitidas) de la función externa. Por ejemplo, si f(x)=xf(x) = \sqrt{x} y g(x)=x−10g(x) = x - 10, entonces f(g(5))f(g(5)) no está definido porque g(5)=−5g(5) = -5 y no podemos sacar la raíz cuadrada de un número negativo.
¡Sí! Simplemente sustituye toda la expresión de g(x)g(x) donde veas xx en f(x)f(x). Luego simplifica el resultado.

Glosario

Función compuesta
Una función formada al aplicar una función al resultado de otra, escrita (f∘g)(x)(f \circ g)(x) o f(g(x))f(g(x))
Función interna
En (f∘g)(x)(f \circ g)(x), la función interna gg se evalúa primero
Función externa
En (f∘g)(x)(f \circ g)(x), la función externa ff se aplica al resultado de gg
Composición de funciones
La operación de combinar dos funciones donde la salida de una se convierte en la entrada de la otra
Reto de hoyUn problema, tres intentos

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