Evaluación de notación de funciones

Dada $f(x) = x^2 - 3x + 2$, encuentra $f(4)$ y $f(-1)$.

Encuentra $f(4)$ sustituyendo $x = 4$: $f(4) = (4)^2 - 3(4) + 2$ = $f(4) = 16 - 12 + 2 = 6$

Encuentra $f(-1)$ sustituyendo $x = -1$: $f(-1) = (-1)^2 - 3(-1) + 2$ = $f(-1) = 1 + 3 + 2 = 6$

Verifica los cálculos: Ambas entradas dan salida 6, lo cual es válido = $f(4) = 6$ y $f(-1) = 6$

Answer: $f(4) = 6$ y $f(-1) = 6$. Nota: Diferentes entradas pueden producir la misma salida en una función.

Encontrar dominio y recorrido

Encuentra el dominio y recorrido de $f(x) = \sqrt{x - 2}$.

Identifica restricciones en el dominio: La expresión bajo la raíz cuadrada debe ser no negativa: $x - 2 \geq 0$ = $x \geq 2$

Escribe el dominio en notación de intervalo: Todos los valores de $x$ desde 2 hasta infinito = Dominio: $[2, \infty)$

Determina las salidas posibles: La raíz cuadrada siempre da resultados no negativos = $f(x) \geq 0$

Escribe el recorrido en notación de intervalo: Todos los números reales no negativos = Recorrido: $[0, \infty)$

Answer: Dominio: $[2, \infty)$, Recorrido: $[0, \infty)$

Operaciones con funciones

Dadas $f(x) = x + 3$ y $g(x) = x^2$, encuentra $(f + g)(2)$ y $(f \cdot g)(2)$.

Comprende las operaciones: $(f + g)(x) = f(x) + g(x)$ y $(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$ = Suma o multiplica las salidas de las funciones

Calcula $f(2)$ y $g(2)$: $f(2) = 2 + 3 = 5$ y $g(2) = 2^2 = 4$ = $f(2) = 5$, $g(2) = 4$

Encuentra $(f + g)(2)$: $(f + g)(2) = f(2) + g(2) = 5 + 4$ = $(f + g)(2) = 9$

Encuentra $(f \cdot g)(2)$: $(f \cdot g)(2) = f(2) \cdot g(2) = 5 \cdot 4$ = $(f \cdot g)(2) = 20$

Answer: $(f + g)(2) = 9$ y $(f \cdot g)(2) = 20$

Composición de funciones

Dadas $f(x) = 2x + 1$ y $g(x) = x^2$, encuentra $(f \circ g)(3)$ y $(g \circ f)(3)$.

Comprende la notación de composición: $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ significa aplicar $g$ primero, luego $f$ = Trabaja de dentro hacia fuera

Encuentra $(f \circ g)(3)$: Primero: $g(3) = 3^2 = 9$. Luego: $f(9) = 2(9) + 1 = 19$ = $(f \circ g)(3) = 19$

Encuentra $(g \circ f)(3)$: Primero: $f(3) = 2(3) + 1 = 7$. Luego: $g(7) = 7^2 = 49$ = $(g \circ f)(3) = 49$

Compara los resultados: $19 \neq 49$ = ¡El orden importa! $(f \circ g) \neq (g \circ f)$

Answer: $(f \circ g)(3) = 19$ y $(g \circ f)(3) = 49$. La composición no es conmutativa.

Funciones definidas por partes

Evalúa la función definida por partes en $x = -2$, $x = 0$ y $x = 3$: $$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x < 0 \\ 2x + 1 & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$

Evalúa $f(-2)$: Como $-2 < 0$, usa la primera parte: $f(-2) = (-2)^2 = 4$ = $f(-2) = 4$

Evalúa $f(0)$: Como $0 \geq 0$, usa la segunda parte: $f(0) = 2(0) + 1 = 1$ = $f(0) = 1$

Evalúa $f(3)$: Como $3 \geq 0$, usa la segunda parte: $f(3) = 2(3) + 1 = 7$ = $f(3) = 7$

Resume los resultados: Cada entrada cae en exactamente una parte = $f(-2) = 4$, $f(0) = 1$, $f(3) = 7$

Answer: $f(-2) = 4$, $f(0) = 1$, $f(3) = 7$

Mistake: Confundir $f(x + 2)$ con $f(x) + 2$

Why: $f(x + 2)$ significa sustituir $(x + 2)$ en la función, mientras que $f(x) + 2$ significa sumar 2 a la salida.

Correct: Para $f(x) = x^2$: $f(x + 2) = (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4$, pero $f(x) + 2 = x^2 + 2$. ¡Muy diferente!

Mistake: Invertir el orden de composición: pensar que $(f \circ g)(x) = g(f(x))$

Why: La notación puede ser confusa. La función a la derecha se aplica primero.

Correct: $(f \circ g)(x) = f(g(x))$: Aplica $g$ primero, luego aplica $f$ al resultado.

Mistake: Olvidar verificar restricciones de dominio al encontrar el recorrido

Why: El recorrido depende de qué entradas están permitidas. Un dominio restringido a menudo restringe también el recorrido.

Correct: Para $f(x) = x^2$ con dominio $[0, 3]$, el recorrido es $[0, 9]$, no $[0, \infty)$ (el recorrido para todos los números reales).

Mistake: Asumir que todas las relaciones son funciones

Why: No toda ecuación o gráfica representa una función. La prueba de la recta vertical debe pasar.

Correct: $x^2 + y^2 = 4$ (un círculo) NO ES una función porque las rectas verticales pueden cortarlo dos veces.

Conversión de temperatura

Convertir una temperatura a una segunda escala y después a una tercera encadena dos funciones: es una composición.

Si $C(t) = \frac{5}{9}(t - 32)$ convierte Fahrenheit a Celsius, entonces $C(68) = \frac{5}{9}(68 - 32) = \frac{5}{9}(36) = 20$ grados Celsius.

Calculadora de costes de envío

Muchas empresas usan funciones definidas por partes para calcular costes de envío basados en el peso.

Una empresa cobra según el peso: 5 dólares para paquetes hasta 1 kg, luego 3 dólares por cada kg adicional.

Q: ¿Puede una función tener la misma salida para diferentes entradas?

A: ¡Sí! Por ejemplo, $f(x) = x^2$ da $f(2) = f(-2) = 4$. La regla es que cada entrada tiene UNA salida, pero diferentes entradas pueden compartir la misma salida.

Q: ¿Cuál es la diferencia entre $f(x)$ y $f$?

A: $f$ es la función misma (una regla o proceso), mientras que $f(x)$ es el valor de salida cuando introduces $x$. Piensa en $f$ como una máquina y en $f(x)$ como lo que sale cuando pones $x$ dentro.

Q: ¿Por qué importa el orden en la composición?

A: Porque estás aplicando transformaciones en secuencia. Si $f$ duplica y $g$ suma 3: $f(g(2)) = f(5) = 10$, pero $g(f(2)) = g(4) = 7$. Diferentes procesos dan diferentes resultados.