Repaso de funciones

Domina los fundamentos de las funciones incluyendo notación, dominio, recorrido y operaciones antes de avanzar al precálculo.

Avanzado25 minLección
Ficha imprimible

Definición

Una función es una relación donde cada entrada tiene exactamente una salida. Escribimos f(x)f(x) para denotar la salida de la función ff cuando la entrada es xx.
Conceptos clave de funciones:
Notación de funciones:
f(x)=expresioˊn que involucra xf(x) = \text{expresión que involucra } x
Por ejemplo, si f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3, entonces:
  • f(1)=2(1)+3=5f(1) = 2(1) + 3 = 5
  • f(−2)=2(−2)+3=−1f(-2) = 2(-2) + 3 = -1
Dominio y recorrido:
  • Dominio: Todos los valores de entrada posibles (valores de xx)
  • Recorrido: Todos los valores de salida posibles (valores de yy o f(x)f(x))
Prueba de la recta vertical: Una gráfica representa una función si y solo si toda recta vertical corta la gráfica como máximo una vez.

Pruébalo ahora

Si f(x)=3x+2f(x) = 3x + 2, ¿cuánto es f(4)f(4)?

Ejemplos resueltos

Dada f(x)=x2−3x+2f(x) = x^2 - 3x + 2, encuentra f(4)f(4) y f(−1)f(-1).
1

Encuentra f(4)f(4) sustituyendo x=4x = 4

f(4)=(4)2−3(4)+2f(4) = (4)^2 - 3(4) + 2 → f(4)=16−12+2=6f(4) = 16 - 12 + 2 = 6
2

Encuentra f(−1)f(-1) sustituyendo x=−1x = -1

f(−1)=(−1)2−3(−1)+2f(-1) = (-1)^2 - 3(-1) + 2 → f(−1)=1+3+2=6f(-1) = 1 + 3 + 2 = 6
3

Verifica los cálculos

Ambas entradas dan salida 6, lo cual es válido → f(4)=6f(4) = 6 y f(−1)=6f(-1) = 6

Errores comunes

Confundir f(x+2)f(x + 2) con f(x)+2f(x) + 2

Por qué está mal: f(x+2)f(x + 2) significa sustituir (x+2)(x + 2) en la función, mientras que f(x)+2f(x) + 2 significa sumar 2 a la salida.

Correcto: Para f(x)=x2f(x) = x^2: f(x+2)=(x+2)2=x2+4x+4f(x + 2) = (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4, pero f(x)+2=x2+2f(x) + 2 = x^2 + 2. ¡Muy diferente!

Invertir el orden de composición: pensar que (f∘g)(x)=g(f(x))(f \circ g)(x) = g(f(x))

Por qué está mal: La notación puede ser confusa. La función a la derecha se aplica primero.

Correcto: (f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x)): Aplica gg primero, luego aplica ff al resultado.

Olvidar verificar restricciones de dominio al encontrar el recorrido

Por qué está mal: El recorrido depende de qué entradas están permitidas. Un dominio restringido a menudo restringe también el recorrido.

Correcto: Para f(x)=x2f(x) = x^2 con dominio [0,3][0, 3], el recorrido es [0,9][0, 9], no [0,∞)[0, \infty) (el recorrido para todos los números reales).

Asumir que todas las relaciones son funciones

Por qué está mal: No toda ecuación o gráfica representa una función. La prueba de la recta vertical debe pasar.

Correcto: x2+y2=4x^2 + y^2 = 4 (un círculo) NO ES una función porque las rectas verticales pueden cortarlo dos veces.

Visual interactivo

Gráfica de la función

-20246-20246810xy(4; 6)(-1; 6)

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Toca un nombre para mostrar u ocultar su gráfica.

Gráfica de la función

-4-2024-20246810xy(-2; 4)(0; 1)(3; 7)

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

f(x)
  • En x = 0: por la izquierda f(x) → 0, por la derecha f(x) → 1. Los valores son distintos, así que el límite no existe (salto). f(0) = 1.

Sandbox interactivo

Graficador interactivo

-10-50510-10-50510xy

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Prueba estos ejemplos:

y = x^2 - 3x + 2

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

Aún no hay cálculos

Problemas de práctica

18 problemas
Problema 1 de 18
Fácil
Si f(x)=3x+2f(x) = 3x + 2, ¿cuánto es f(4)f(4)?

Por qué es importante

Las funciones son la base de todas las matemáticas avanzadas:
  • Física: Ecuaciones de movimiento como s(t)=12gt2s(t) = \frac{1}{2}gt^2 describen la posición en función del tiempo
  • Economía: Las curvas de oferta y demanda modelan relaciones de precios
  • Informática: Cada programa es esencialmente una colección de funciones que transforman entradas en salidas
  • Ingeniería: Las funciones de transferencia describen cómo los sistemas responden a las entradas
  • Biología: Los modelos de población usan funciones para predecir el crecimiento a lo largo del tiempo
Dominar las funciones es esencial para el cálculo, donde estudiarás cómo las funciones cambian y se acumulan.

Aplicaciones del mundo real

Conversión de temperatura

Convertir una temperatura a una segunda escala y después a una tercera encadena dos funciones: es una composición.

Ejemplo:

Si C(t)=59(t−32)C(t) = \frac{5}{9}(t - 32) convierte Fahrenheit a Celsius, entonces C(68)=59(68−32)=59(36)=20C(68) = \frac{5}{9}(68 - 32) = \frac{5}{9}(36) = 20 grados Celsius.

1Inténtalo tú mismo

Una aplicación del clima convierte Kelvin a Celsius usando C(k)=k−273C(k) = k - 273 y Celsius a Fahrenheit usando F(c)=95c+32F(c) = \frac{9}{5}c + 32.

Encuentra la temperatura en Fahrenheit cuando son 300 Kelvin.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula F(C(300))F(C(300)): primero convierte 300 K a Celsius, luego a Fahrenheit (un cálculo o su valor):

Calculadora de costes de envío

Muchas empresas usan funciones definidas por partes para calcular costes de envío basados en el peso.

Ejemplo:

Una empresa cobra según el peso: 5 dólares para paquetes hasta 1 kg, luego 3 dólares por cada kg adicional.

2Inténtalo tú mismo

Función de coste de envío: C(w)=5C(w) = 5 para w≤1w \leq 1, C(w)=5+3(w−1)C(w) = 5 + 3(w - 1) para w>1w > 1.

¿Cuál es el coste de enviar un paquete de 4 kg?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Como 4 > 1, usa la segunda fórmula:

Puntos clave

  • 1Una función asigna exactamente una salida a cada entrada: f(x)=yf(x) = y
  • 2El dominio es el conjunto de todas las entradas válidas; el recorrido es el conjunto de todas las salidas posibles
  • 3Operaciones con funciones: (f+g)(x)=f(x)+g(x)(f + g)(x) = f(x) + g(x), (f⋅g)(x)=f(x)⋅g(x)(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)
  • 4Composición: (f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x)) - aplica la función interior primero
  • 5La prueba de la recta vertical determina si una gráfica representa una función

Preguntas frecuentes

¡Sí! Por ejemplo, f(x)=x2f(x) = x^2 da f(2)=f(−2)=4f(2) = f(-2) = 4. La regla es que cada entrada tiene UNA salida, pero diferentes entradas pueden compartir la misma salida.
¡Sí! Por ejemplo, f(x)=x2f(x) = x^2 da f(2)=f(−2)=4f(2) = f(-2) = 4. La regla es que cada entrada tiene UNA salida, pero diferentes entradas pueden compartir la misma salida.
ff es la función misma (una regla o proceso), mientras que f(x)f(x) es el valor de salida cuando introduces xx. Piensa en ff como una máquina y en f(x)f(x) como lo que sale cuando pones xx dentro.
Porque estás aplicando transformaciones en secuencia. Si ff duplica y gg suma 3: f(g(2))=f(5)=10f(g(2)) = f(5) = 10, pero g(f(2))=g(4)=7g(f(2)) = g(4) = 7. Diferentes procesos dan diferentes resultados.

Glosario

Función
Una relación donde cada entrada tiene exactamente una salida
Dominio
El conjunto de todos los valores de entrada posibles para una función
Recorrido
El conjunto de todos los valores de salida posibles de una función
Notación de funciones
Escribir f(x)f(x) para representar la salida de la función ff para la entrada xx
Composición
Aplicar una función a la salida de otra: (f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x))
Función definida por partes
Una función definida por diferentes expresiones para diferentes partes de su dominio
Prueba de la recta vertical
Una prueba gráfica: si alguna recta vertical corta una gráfica más de una vez, no es una función
Reto de hoyUn problema, tres intentos

Más sobre este tema

Funciones compuestas

Avanzado25 min

Funciones inversas

Avanzado25 min