Repaso de funciones

Domina los fundamentos de las funciones incluyendo notación, dominio, rango y operaciones antes de avanzar al precálculo.

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Definición

Una función es una relación donde cada entrada tiene exactamente una salida. Escribimos para denotar la salida de la función cuando la entrada es .
Conceptos clave de funciones:
Notación de funciones:
Por ejemplo, si , entonces:
Dominio y rango:
  • Dominio: Todos los valores de entrada posibles (valores de )
  • Rango: Todos los valores de salida posibles (valores de o )
Prueba de la línea vertical: Una gráfica representa una función si y solo si toda línea vertical corta la gráfica como máximo una vez.

Pruébalo ahora

Si , ¿cuánto es ?

Ejemplos resueltos

Dada , encuentra y .

1

Encuentra sustituyendo

→

2

Encuentra sustituyendo

→

3

Verifica los cálculos

Ambas entradas dan salida 6, lo cual es válido → y

Errores comunes

Confundir con

Por qué está mal: significa sustituir en la función, mientras que significa sumar 2 a la salida.

Correcto: Para : , pero . ¡Muy diferente!

Invertir el orden de composición: pensar que

Por qué está mal: La notación puede ser confusa. La función a la derecha se aplica primero.

Correcto: : Aplica primero, luego aplica al resultado.

Olvidar verificar restricciones de dominio al encontrar el rango

Por qué está mal: El rango depende de qué entradas están permitidas. Un dominio restringido a menudo restringe también el rango.

Correcto: Para con dominio , el rango es , no .

Asumir que todas las relaciones son funciones

Por qué está mal: No toda ecuación o gráfica representa una función. La prueba de la línea vertical debe pasar.

Correcto: (un círculo) NO ES una función porque las líneas verticales pueden cortarlo dos veces.

Visual interactivo

Explorador de funciones lineales

y = x
Pendiente (m)1
Interseccion con Y (b)0
b
avance
subida

Sandbox interactivo

Graficador interactivo

Prueba estos ejemplos:

y = 2x + 1

m=2, b=1

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

Aún no hay cálculos

Problemas de práctica

18 problemas
Problema 1 de 18
Fácil

Si , ¿cuánto es ?

Por qué es importante

Las funciones son la base de todas las matemáticas avanzadas:
  • Física: Ecuaciones de movimiento como describen la posición en función del tiempo
  • Economía: Las curvas de oferta y demanda modelan relaciones de precios
  • Informática: Cada programa es esencialmente una colección de funciones que transforman entradas en salidas
  • Ingeniería: Las funciones de transferencia describen cómo los sistemas responden a las entradas
  • Biología: Los modelos de población usan funciones para predecir el crecimiento a lo largo del tiempo
Dominar las funciones es esencial para el cálculo, donde estudiarás cómo las funciones cambian y se acumulan.

Aplicaciones del mundo real

Conversión de temperatura

Convertir entre Celsius y Fahrenheit es una aplicación de composición de funciones.

Ejemplo:

Si convierte Fahrenheit a Celsius, entonces grados Celsius.

1Inténtalo tú mismo

Una aplicación del clima convierte Kelvin a Celsius usando y Celsius a Fahrenheit usando .

Encuentra la temperatura en Fahrenheit cuando son 300 Kelvin.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Primero convierte 300K a Celsius, luego a Fahrenheit:

Calculadora de costos de envío

Muchas empresas usan funciones definidas por partes para calcular costos de envío basados en el peso.

Ejemplo:

Una empresa cobra según el peso: 5 dólares para paquetes hasta 1 kg, luego 3 dólares por cada kg adicional.

2Inténtalo tú mismo

Función de costo de envío: para , para .

¿Cuál es el costo de enviar un paquete de 4 kg?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Como 4 > 1, usa la segunda fórmula:

Puntos clave

  • 1Una función asigna exactamente una salida a cada entrada:
  • 2El dominio es el conjunto de todas las entradas válidas; el rango es el conjunto de todas las salidas posibles
  • 3Operaciones con funciones: ,
  • 4Composición: - aplica la función interior primero
  • 5La prueba de la línea vertical determina si una gráfica representa una función

Preguntas frecuentes

¡Sí! Por ejemplo, da . La regla es que cada entrada tiene UNA salida, pero diferentes entradas pueden compartir la misma salida.
¡Sí! Por ejemplo, da . La regla es que cada entrada tiene UNA salida, pero diferentes entradas pueden compartir la misma salida.
es la función misma (una regla o proceso), mientras que es el valor de salida cuando introduces . Piensa en como una máquina y en como lo que sale cuando pones dentro.
Porque estás aplicando transformaciones en secuencia. Si duplica y suma 3: , pero . Diferentes procesos dan diferentes resultados.

Glosario

Función
Una relación donde cada entrada tiene exactamente una salida
Dominio
El conjunto de todos los valores de entrada posibles para una función
Rango
El conjunto de todos los valores de salida posibles de una función
Notación de funciones
Escribir para representar la salida de la función para la entrada
Composición
Aplicar una función a la salida de otra:
Función definida por partes
Una función definida por diferentes expresiones para diferentes partes de su dominio
Prueba de la línea vertical
Una prueba gráfica: si alguna línea vertical cruza una gráfica más de una vez, no es una función

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