Comprobar la continuidad de un polinomio

¿Es $f(x) = x^2 - 3x + 1$ continua en $x = 2$? Comprueba las tres condiciones.

Condición 1: ¿está definida $f(2)$?: $f(2) = 2^2 - 3 \cdot 2 + 1 = 4 - 6 + 1$ = $f(2) = -1$

Condición 2: ¿existe el límite?: $f$ es un polinomio, así que el límite se halla por sustitución directa: $\lim_{x \to 2} (x^2 - 3x + 1) = -1$ = El límite existe y vale $-1$

Condición 3: comparar el límite y el valor: $\lim_{x \to 2} f(x) = -1 = f(2)$ = Se cumplen las tres condiciones

Answer: Sí, $f$ es continua en $x = 2$ (de hecho, como es un polinomio, es continua en todo $\mathbb{R}$).

Cuando el límite y el valor no coinciden

Sea $g(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ para $x \neq 3$ y $g(3) = 5$. ¿Es $g$ continua en $x = 3$?

Condición 1: ¿está definida $g(3)$?: La definición da directamente $g(3) = 5$ = Sí, $g(3) = 5$

Condición 2: hallar el límite: $\frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3$ para $x \neq 3$, así que $\lim_{x \to 3} g(x) = 3 + 3$ = El límite existe y vale $6$

Condición 3: comparar: $\lim_{x \to 3} g(x) = 6$, pero $g(3) = 5$ = $6 \neq 5$: falla la condición 3

¿Cómo se podría arreglar?: Redefinir solo el valor $g(3) = 6$ = Entonces $g$ sería continua en $3$

Answer: No. El límite existe ($6$) y $g(3)$ está definida ($5$), pero no son iguales, así que $g$ no es continua en $x = 3$. Si se define $g(3) = 6$, pasa a ser continua. La segunda gráfica de abajo lo muestra: un círculo vacío en $(3, 6)$ y, debajo, el punto relleno $g(3) = 5$.

¿Dónde es continua una función racional?

¿En qué intervalos es continua $h(x) = \frac{x + 1}{x^2 - 4}$?

Recordar la regla: Una función racional es continua en todas partes salvo donde su denominador es $0$ = Buscar los ceros de $x^2 - 4$

Resolver denominador $= 0$: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) = 0$ = $x = 2$ o $x = -2$

Escribir los intervalos: Quitar $-2$ y $2$ de la recta real = $(-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, \infty)$

Answer: $h$ es continua en $(-\infty, -2)$, en $(-2, 2)$ y en $(2, \infty)$. Solo es discontinua en $x = -2$ y $x = 2$, donde no está definida.

Hallar k para que una función a trozos sea continua

Halla $k$ para que $f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \leq 2 \\ kx - 1, & x > 2 \end{cases}$ sea continua en todo $\mathbb{R}$.

Cada trozo es un polinomio: Los dos trozos son continuos en sus intervalos, así que solo hay que comprobar el punto de unión $x = 2$ = Comprobar $x = 2$

Valor y límite por la izquierda (primer trozo): $f(2) = 2^2 + 1$ y $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2^2 + 1$ = Ambos valen $5$

Límite por la derecha (segundo trozo): $\lim_{x \to 2^+} f(x) = k \cdot 2 - 1$ = $2k - 1$

Hacer que los dos lados coincidan: $2k - 1 = 5 \Rightarrow 2k = 6$ = $k = 3$

Comprobación: Con $k = 3$: $3 \cdot 2 - 1 = 5$, así que los dos límites laterales valen $5 = f(2)$ = Continua en $x = 2$

Answer: $k = 3$. Pruébalo en la gráfica interactiva de abajo: mueve el deslizador hasta $k = 3$ y los dos trozos se unen en el punto $(2, 5)$.

Teorema del valor intermedio: demostrar que existe una raíz

Demuestra que $x^3 + x - 1 = 0$ tiene una solución entre $x = 0$ y $x = 1$.

Nombrar la función y comprobar la continuidad: $f(x) = x^3 + x - 1$ es un polinomio = $f$ es continua en $[0, 1]$

Evaluar en los extremos: $f(0) = 0 + 0 - 1$ y $f(1) = 1 + 1 - 1$ = $f(0) = -1$, $f(1) = 1$

¿Está $0$ entre los dos valores?: $-1 < 0 < 1$ = Sí, el signo cambia

Aplicar el TVI: Una función continua que va de $-1$ a $1$ tiene que tomar el valor $0$ en algún punto intermedio = Existe un $c$ en $(0, 1)$ con $f(c) = 0$

Answer: Por el teorema del valor intermedio existe un número $c$ entre $0$ y $1$ con $c^3 + c - 1 = 0$. La tercera gráfica de abajo lo muestra: $c \approx 0{,}68$.

Mistake: Comprobar solo que $f(a)$ existe y concluir que $f$ es continua

Why: Una función puede tener un valor en $a$ y aun así dar un salto ahí. Por ejemplo, $f(x) = 1$ para $x < 0$ y $f(x) = 2$ para $x \geq 0$ tiene $f(0) = 2$, pero el límite por la izquierda es $1$.

Correct: Comprueba siempre las tres condiciones: $f(a)$ está definida, el límite existe y el límite es igual a $f(a)$.

Mistake: Pensar que si el límite existe, la función tiene que ser continua

Why: El límite no tiene en cuenta lo que pasa exactamente en $x = a$. En el ejemplo 2 el límite es $6$, pero el punto está en $g(3) = 5$.

Correct: Después de hallar el límite, compáralo con el valor real $f(a)$. Tienen que ser iguales.

Mistake: Hallar $k$ sustituyendo el punto de unión en un solo trozo

Why: La continuidad en el punto de unión consiste en que los dos trozos se encuentren, así que un trozo por sí solo no da ninguna ecuación para $k$.

Correct: Evalúa los dos trozos en el punto de unión (límite por la izquierda y por la derecha) e iguálalos: en el ejemplo 4, $2^2 + 1 = 2k - 1$.

Mistake: Usar el teorema del valor intermedio con una función que no es continua en el intervalo

Why: $f(x) = \frac{1}{x}$ cumple $f(-1) = -1$ y $f(1) = 1$, pero nunca vale $0$. El TVI no se aplica porque $f$ no está definida en $x = 0$.

Correct: Antes de usar el TVI, confirma que $f$ es continua en todo el intervalo cerrado $[a, b]$.

Tarifas de aparcamiento justas

Un aparcamiento usa una tarifa para estancias cortas y otra para estancias largas. Si las fórmulas no coinciden en el punto de cambio, el precio da un salto, y quien se queda un minuto más paga mucho más o mucho menos.

Una tarifa de $C(t) = 5t$ dólares hasta 2 horas y $C(t) = 3t + 4$ dólares a partir de ahí da $C(2) = 10$ dólares con las dos fórmulas, así que la tarifa no da saltos.

La altitud en una excursión y el TVI

Tu altitud durante una excursión cambia de forma continua con el tiempo: no puedes teletransportarte de una altura a otra. El teorema del valor intermedio garantiza entonces que pasaste por todas las alturas entre la salida y la llegada.

Si sales a 800 m y llegas a una cima a 2000 m, en algún momento estuviste exactamente a 1500 m, aunque en ese instante no miraras el reloj.

Unir dos tramos de carretera

Quienes diseñan carreteras y vías de tren describen el trazado con fórmulas distintas en cada tramo. En cada unión las alturas deben coincidir, que es la condición para que una función definida a trozos sea continua.

Una rampa de altura $y = 0{,}5x$ para $x \leq 2$ seguida de $y = -0{,}25x + 1{,}5$ para $x > 2$ (en metros) se une en $y = 1$ m, así que no hay escalón.

Q: ¿Es $f(x) = \frac{1}{x}$ una función continua?

A: Es continua en su dominio, es decir, en todo $x \neq 0$. En $x = 0$ no está definida, así que ahí no es continua. Cuando se dice que una función es continua sin indicar un punto, normalmente se quiere decir continua en todo su dominio.

Q: ¿Por qué la sustitución directa da el límite en los polinomios?

A: Porque los polinomios son continuos en todo $\mathbb{R}$, y ser continua significa exactamente $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Así que el límite es el valor de la función. Si la sustitución da $\frac{0}{0}$, la función no es continua en ese punto y primero hay que simplificar.

Q: ¿El TVI me dice dónde está la raíz?

A: No. Solo garantiza que existe al menos un $c$ en $(a, b)$. Para acotarlo, puedes partir el intervalo por la mitad una y otra vez y quedarte con la mitad en la que cambia el signo (método de bisección).

Q: ¿Puede una función ser continua en todas partes y tener un punto anguloso?

A: Sí. $f(x) = |x|$ tiene un punto anguloso en $x = 0$, pero puedes dibujarla sin levantar el lápiz, y $\lim_{x \to 0} |x| = 0 = f(0)$. Los puntos angulosos importan para la derivada, no para la continuidad.