¿Por qué la sustitución directa da el límite en los polinomios?

Porque los polinomios son continuos en todo $\mathbb{R}$, y ser continua significa exactamente $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Así que el límite es el valor de la función. Si la sustitución da $\frac{0}{0}$, la función no es continua en ese punto y primero hay que simplificar.

¿El TVI me dice dónde está la raíz?

No. Solo garantiza que existe al menos un $c$ en $(a, b)$. Para acotarlo, puedes partir el intervalo por la mitad una y otra vez y quedarte con la mitad en la que cambia el signo (método de bisección).

¿Puede una función ser continua en todas partes y tener un punto anguloso?

Sí. $f(x) = |x|$ tiene un punto anguloso en $x = 0$, pero puedes dibujarla sin levantar el lápiz, y $\lim_{x \to 0} |x| = 0 = f(0)$. Los puntos angulosos importan para la derivada, no para la continuidad.

Recursos para profesores

Continuidad

Q: ¿Es $f(x) = \frac{1}{x}$ una función continua?

Es continua en su dominio, es decir, en todo $x \neq 0$. En $x = 0$ no está definida, así que ahí no es continua. Cuando se dice que una función es continua sin indicar un punto, normalmente se quiere decir continua en todo su dominio.

Aprende las tres condiciones de la continuidad, dónde son continuas las funciones más comunes, cómo hallar una constante que haga continua una función definida a trozos y el teorema del valor intermedio.

Avanzado30 minLección

Ficha imprimible

Definición

Una función

f

es **continua en

x = a

** si su gráfica no se rompe ahí: puedes pasar por el punto sin levantar el lápiz. Con el lenguaje de los límites, se deben cumplir las tres condiciones:

1. $f(a)$ está definida (la gráfica tiene un punto en $x = a$ )
2. $\lim_{x \to a} f(x)$ existe (el límite por la izquierda y el límite por la derecha son iguales)
3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ (el límite es igual al valor de la función)

f \text{ es continua en } a \iff \lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Si falla aunque sea una condición,

f

tiene una discontinuidad en

x = a

. Los distintos tipos de rupturas (huecos, saltos, asíntotas verticales) se estudian en la lección Tipos de discontinuidad.

Continuidad en un intervalo:

f

es continua en un intervalo abierto

(a, b)

si es continua en cada punto de él. En un intervalo cerrado

[a, b]

además hace falta

\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)

\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)

en los extremos.

Funciones continuas en todo su dominio:

los polinomios (en todo $\mathbb{R}$ )
las funciones racionales (en todas partes salvo donde el denominador es $0$ )
las funciones exponenciales $b^x$ y $e^x$ (en todo $\mathbb{R}$ )
los logaritmos $\log_b x$ y $\ln x$ (para $x > 0$ )
$\sqrt{x}$ (para $x \geq 0$ )

Las sumas, restas, productos, cocientes (donde el denominador no es

0

) y composiciones de funciones continuas también son continuas. Precisamente por eso funciona la sustitución directa: para una función continua,

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Pruébalo ahora

¿Cuál de estas NO es una de las tres condiciones para que

f

sea continua en

x = a

Ejemplos resueltos

¿Es $f(x) = x^2 - 3x + 1$ continua en $x = 2$ ? Comprueba las tres condiciones.

Condición 1: ¿está definida $f(2)$ ?

$f(2) = 2^2 - 3 \cdot 2 + 1 = 4 - 6 + 1$ → $f(2) = -1$

Condición 2: ¿existe el límite?

$f$ es un polinomio, así que el límite se halla por sustitución directa: $\lim_{x \to 2} (x^2 - 3x + 1) = -1$ → El límite existe y vale $-1$

Condición 3: comparar el límite y el valor

$\lim_{x \to 2} f(x) = -1 = f(2)$ → Se cumplen las tres condiciones

Respuesta: Sí, $f$ es continua en $x = 2$ (de hecho, como es un polinomio, es continua en todo $\mathbb{R}$ ).

Errores comunes

Comprobar solo que $f(a)$ existe y concluir que $f$ es continua

Por qué está mal: Una función puede tener un valor en $a$ y aun así dar un salto ahí. Por ejemplo, $f(x) = 1$ para $x < 0$ y $f(x) = 2$ para $x \geq 0$ tiene $f(0) = 2$ , pero el límite por la izquierda es $1$ .

Correcto: Comprueba siempre las tres condiciones: $f(a)$ está definida, el límite existe y el límite es igual a $f(a)$ .

Pensar que si el límite existe, la función tiene que ser continua

Por qué está mal: El límite no tiene en cuenta lo que pasa exactamente en $x = a$ . En el ejemplo 2 el límite es $6$ , pero el punto está en $g(3) = 5$ .

Correcto: Después de hallar el límite, compáralo con el valor real $f(a)$ . Tienen que ser iguales.

Hallar $k$ sustituyendo el punto de unión en un solo trozo

Por qué está mal: La continuidad en el punto de unión consiste en que los dos trozos se encuentren, así que un trozo por sí solo no da ninguna ecuación para $k$ .

Correcto: Evalúa los dos trozos en el punto de unión (límite por la izquierda y por la derecha) e iguálalos: en el ejemplo 4, $2^2 + 1 = 2k - 1$ .

Usar el teorema del valor intermedio con una función que no es continua en el intervalo

Por qué está mal: $f(x) = \frac{1}{x}$ cumple $f(-1) = -1$ y $f(1) = 1$ , pero nunca vale $0$ . El TVI no se aplica porque $f$ no está definida en $x = 0$ .

Correcto: Antes de usar el TVI, confirma que $f$ es continua en todo el intervalo cerrado $[a, b]$ .

Visual interactivo

Gráfica de la función

k = 1

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

En x = 2: por la izquierda f(x) → 5, por la derecha f(x) → 1. Los valores son distintos, así que el límite no existe (salto). f(2) = 5.

Gráfica de la función

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

En x = 3: por la izquierda y por la derecha g(x) → 6, así que el límite es 6. g(3) = 5.

Gráfica de la función

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

f(x) = x³ + x - 1

Cero (corte con el eje x): (0,68; 0)

Sandbox interactivo

Graficador interactivo

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Prueba estos ejemplos:

y = 2x + 1

m=2, b=1

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

Aún no hay cálculos

Problemas de práctica

18 problemas

Problema 1 de 18

Fácil

¿Cuál de estas NO es una de las tres condiciones para que $f$ sea continua en $x = a$ ?

Por qué es importante

La continuidad es la propiedad que hace funcionar casi todo el cálculo:

Sustitución directa: solo está permitida porque los polinomios, las exponenciales y los logaritmos son continuos. El límite es simplemente el valor de la función.
Búsqueda de raíces: el teorema del valor intermedio garantiza que una función continua que cambia de signo tiene que pasar por cero. Las calculadoras y los ordenadores lo usan para localizar soluciones de ecuaciones.
Modelización: la temperatura, la altura, la distancia y el volumen de agua en un depósito cambian de forma continua con el tiempo. Los precios, los tramos de impuestos y las tarifas de aparcamiento a menudo no, y hay que elegir constantes para que no haya un salto repentino.
Ingeniería: dos tramos de carretera, vía o tubería deben unirse a la misma altura, que es justo la condición para que una función definida a trozos sea continua en la unión.

Saber dónde es continua una función te dice dónde puedes fiarte de su gráfica, dónde puedes sustituir y dónde ocurre algo llamativo (un hueco, un salto, una asíntota).

Aplicaciones del mundo real

Tarifas de aparcamiento justas

Un aparcamiento usa una tarifa para estancias cortas y otra para estancias largas. Si las fórmulas no coinciden en el punto de cambio, el precio da un salto, y quien se queda un minuto más paga mucho más o mucho menos.

Ejemplo:

Una tarifa de $C(t) = 5t$ dólares hasta 2 horas y $C(t) = 3t + 4$ dólares a partir de ahí da $C(2) = 10$ dólares con las dos fórmulas, así que la tarifa no da saltos.

1Inténtalo tú mismo

Aparcar cuesta $C(t) = 4t$ dólares para $0 \leq t \leq 3$ horas y $C(t) = 2t + k$ dólares para $t > 3$ .

¿Qué valor de $k$ hace que la tarifa sea continua en $t = 3$ ?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Resuelve $4 \cdot 3 = 2 \cdot 3 + k$ para hallar $k$ :

La altitud en una excursión y el TVI

Tu altitud durante una excursión cambia de forma continua con el tiempo: no puedes teletransportarte de una altura a otra. El teorema del valor intermedio garantiza entonces que pasaste por todas las alturas entre la salida y la llegada.

Ejemplo:

Si sales a 800 m y llegas a una cima a 2000 m, en algún momento estuviste exactamente a 1500 m, aunque en ese instante no miraras el reloj.

2Inténtalo tú mismo

Una excursionista está a 800 m a las 8:00 y en la cima, a 2000 m, a las 13:00. La altitud es una función continua del tiempo.

¿Por cuántas de las altitudes 500 m, 1200 m, 1900 m y 2100 m pasa con seguridad la excursionista entre las 8:00 y las 13:00, según el TVI?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Cuenta los valores entre 800 y 2000:

Unir dos tramos de carretera

Quienes diseñan carreteras y vías de tren describen el trazado con fórmulas distintas en cada tramo. En cada unión las alturas deben coincidir, que es la condición para que una función definida a trozos sea continua.

Ejemplo:

Una rampa de altura $y = 0{,}5x$ para $x \leq 2$ seguida de $y = -0{,}25x + 1{,}5$ para $x > 2$ (en metros) se une en $y = 1$ m, así que no hay escalón.

3Inténtalo tú mismo

El perfil de una carretera (en metros) es $y = 0{,}5x$ para $0 \leq x \leq 4$ e $y = -0{,}25x + b$ para $x > 4$ .

¿Qué valor de $b$ hace que la carretera sea continua en $x = 4$ ?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Resuelve $0{,}5 \cdot 4 = -0{,}25 \cdot 4 + b$ para hallar $b$ :

Puntos clave

1 $f$ es continua en $x = a$ cuando $f(a)$ está definida, $\lim_{x \to a} f(x)$ existe y $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
2Si falla alguna de las tres condiciones, $f$ tiene una discontinuidad en $a$ (los tipos se ven en la lección Tipos de discontinuidad)
3Los polinomios, las exponenciales, $\sin$ y $\cos$ son continuos en todo $\mathbb{R}$ ; las funciones racionales, los logaritmos y las raíces son continuos en su dominio
4En un intervalo cerrado $[a, b]$ , la continuidad en los extremos usa límites laterales
5Para que una función a trozos sea continua, iguala el límite por la izquierda, el límite por la derecha y el valor en cada punto de unión y despeja la constante
6Teorema del valor intermedio: si $f$ es continua en $[a, b]$ y $N$ está entre $f(a)$ y $f(b)$ , entonces $f(c) = N$ para algún $c$ en $(a, b)$

Preguntas frecuentes

Es continua en su dominio, es decir, en todo

x \neq 0

. En

x = 0

no está definida, así que ahí no es continua. Cuando se dice que una función es continua sin indicar un punto, normalmente se quiere decir continua en todo su dominio.

Glosario

Continua en un punto: $f$ es continua en $a$ si $f(a)$ está definida, $\lim_{x \to a} f(x)$ existe y ambos son iguales
Continua en un intervalo: Continua en cada punto del intervalo, usando límites laterales en los extremos de un intervalo cerrado
Discontinuidad: Un punto donde falla al menos una de las tres condiciones de la continuidad
Función definida a trozos: Una función definida con fórmulas distintas en distintos intervalos; solo puede romperse en los puntos de unión o donde un trozo se rompe por sí mismo
Teorema del valor intermedio (TVI): Una función continua en $[a, b]$ toma todos los valores entre $f(a)$ y $f(b)$

Tarjeta de fórmulas

Continuidad en un punto

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Contiene las tres condiciones: $f(a)$ definida, el límite existe y ambos son iguales

Condición en el punto de unión

\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)

Evaluar los dos trozos en el punto de unión, igualarlos y despejar la constante desconocida

Teorema del valor intermedio

f(a) < N < f(b) \Rightarrow f(c) = N \text{ para algún } c \in (a, b)

Solo si $f$ es continua en $[a, b]$; con $N = 0$ demuestra que existe una raíz

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