Un hueco y un punto en la misma x

La gráfica de $f$ es la recta $y = x + 1$ con un círculo vacío en $(2, 3)$ y un punto relleno en $(2, 5)$ (la primera gráfica de esta lección). Halla $\lim_{x \to 2} f(x)$ y $f(2)$.

Sigue la curva desde la izquierda: Para $x = 1{,}9;\ 1{,}99;\ 1{,}999$, la recta sube hacia el círculo vacío = La altura tiende a $3$

Sigue la curva desde la derecha: Para $x = 2{,}1;\ 2{,}01;\ 2{,}001$, la recta baja hacia el mismo círculo vacío = La altura tiende a $3$

Compara los dos lados: Los dos lados van a la misma altura = $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$

Busca el punto relleno en $x = 2$: El punto relleno está en $(2, 5)$, fuera de la recta = $f(2) = 5$

Answer: $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ pero $f(2) = 5$. El límite sigue la curva, el valor de la función es el punto relleno.

Un hueco sin punto

En la segunda gráfica de esta lección, $g$ sigue $y = (x - 1)^2$ hasta $x = 2$ y $y = 3 - x$ después de $x = 2$, con un círculo vacío en $(2, 1)$ y ningún punto relleno en $x = 2$. Halla $\lim_{x \to 2} g(x)$ y $g(2)$.

Lado izquierdo: La parábola tiende a la altura $(2 - 1)^2 = 1$ = Tiende a $1$

Lado derecho: La recta tiende a la altura $3 - 2 = 1$ = Tiende a $1$

Compara: Los dos lados van a $1$ = $\lim_{x \to 2} g(x) = 1$

Busca un punto relleno en $x = 2$: Solo está el círculo vacío, no hay punto relleno = $g(2)$ no está definido

Answer: $\lim_{x \to 2} g(x) = 1$ aunque $g(2)$ no está definido. Un punto que falta no impide que el límite exista.

Un salto: el límite no existe

En la misma gráfica, $g$ sigue $y = x + 3$ hasta un punto relleno en $(-1, 2)$, y justo a la derecha de $x = -1$ continúa como $y = (x - 1)^2$, empezando en un círculo vacío en $(-1, 4)$. Halla $\lim_{x \to -1} g(x)$ y $g(-1)$.

Lado izquierdo: La recta $y = x + 3$ tiende a la altura $-1 + 3 = 2$ = Tiende a $2$

Lado derecho: La parábola tiende a la altura $(-1 - 1)^2 = 4$ = Tiende a $4$

Compara: $2 \neq 4$: los dos lados no coinciden = $\lim_{x \to -1} g(x)$ no existe

Lee el punto relleno: El punto relleno está en $(-1, 2)$ = $g(-1) = 2$

Answer: $\lim_{x \to -1} g(x)$ no existe (los lados tienden a $2$ y a $4$), y sin embargo $g(-1) = 2$. Una función puede tener valor donde no tiene límite.

Una parábola con un punto desplazado

La gráfica de $h$ es la parábola $y = 4 - x^2$, salvo que en $x = 1$ hay un círculo vacío en $(1, 3)$ y un punto relleno en $(1, 0)$. Halla $\lim_{x \to 1} h(x)$, $h(1)$ y $\lim_{x \to 0} h(x)$.

Altura del hueco: Los dos lados de la parábola tienden a $4 - 1^2 = 3$ = $\lim_{x \to 1} h(x) = 3$

Valor en $x = 1$: El punto relleno está en $(1, 0)$ = $h(1) = 0$

Límite en $x = 0$: En $x = 0$ no pasa nada especial: la curva pasa sin cortes por $(0, 4)$ = $\lim_{x \to 0} h(x) = 4$

Compara con $h(0)$: El punto $(0, 4)$ está en la curva = $h(0) = 4$, igual que el límite

Answer: $\lim_{x \to 1} h(x) = 3$, $h(1) = 0$ y $\lim_{x \to 0} h(x) = h(0) = 4$. Donde la gráfica no tiene cortes, el límite es igual al valor.

Tres límites en una gráfica

La gráfica de $p$: para $x < 1$ es la recta horizontal $y = 2$, que termina en un círculo vacío en $(1, 2)$; hay un punto relleno en $(1, 4)$; para $1 < x \le 3$ es la recta $y = x + 1$, que empieza en un círculo vacío en $(1, 2)$ y termina en un punto relleno en $(3, 4)$; para $x > 3$ es la recta $y = 1$, que empieza en un círculo vacío en $(3, 1)$. Halla $\lim_{x \to 1} p(x)$, $\lim_{x \to 2} p(x)$ y $\lim_{x \to 3} p(x)$.

En $x = 1$, los dos lados: Izquierda: $y = 2$. Derecha: $y = x + 1 \to 1 + 1 = 2$. Misma altura = $\lim_{x \to 1} p(x) = 2$

Compara con $p(1)$: El punto relleno está en $(1, 4)$ = $p(1) = 4 \neq 2$

En $x = 2$: La recta $y = x + 1$ pasa sin cortes por $(2, 3)$ = $\lim_{x \to 2} p(x) = 3$

En $x = 3$, los dos lados: Izquierda: $y = x + 1 \to 4$. Derecha: $y = 1$. Alturas distintas = $\lim_{x \to 3} p(x)$ no existe

Answer: $\lim_{x \to 1} p(x) = 2$ (aunque $p(1) = 4$), $\lim_{x \to 2} p(x) = 3$, y $\lim_{x \to 3} p(x)$ no existe (los lados tienden a $4$ y a $1$).

Mistake: Tomar el punto relleno como límite: responder $\lim_{x \to 2} f(x) = 5$ porque hay un punto en $(2, 5)$

Why: El límite describe hacia dónde va la curva cerca de $x = 2$. Un solo punto fuera de la curva no cambia hacia dónde va la curva.

Correct: Sigue la curva por los dos lados: va hacia el círculo vacío a altura $3$, así que $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$, mientras que $f(2) = 5$.

Mistake: Decir que el límite no existe porque hay un hueco

Why: Un hueco solo significa que falta $f(a)$. El límite nunca mira $x = a$ en sí, solo los valores de alrededor.

Correct: Si los dos lados tienden a la altura del hueco, el límite existe y es igual a esa altura, aunque $f(a)$ no esté definido.

Mistake: En un salto, dar como límite la altura del punto relleno (o de un solo lado)

Why: Un límite por los dos lados necesita que ambos lados coincidan. En un salto, el lado izquierdo y el derecho tienden a alturas distintas.

Correct: Revisa los dos lados. Si tienden a alturas distintas, escribe que el límite no existe, muestre lo que muestre el punto relleno.

Mistake: Responder con el valor de $x$: escribir $\lim_{x \to 2} f(x) = 2$

Why: El $2$ debajo del símbolo de límite es adonde va $x$. El límite en sí es una altura, un valor de $y$.

Correct: Lee la respuesta en el eje $y$: la altura a la que tiende la curva cuando $x$ se acerca a $2$.

Gastos de envío con límite de peso

Las empresas de mensajería cobran por tramos de peso, así que la gráfica del precio según el peso es una escalera con saltos en los límites de cada tramo.

Una mensajería cobra 5 dólares hasta 2 kg y 8 dólares por encima de 2 kg. Justo por debajo de 2 kg la gráfica está en 5 y justo por encima en 8, así que el límite del precio cuando el peso tiende a 2 kg no existe.

Un fallo en los datos de un sensor

Las estaciones meteorológicas y las pulseras de actividad representan medidas a lo largo del tiempo. Cuando una medida se pierde o es errónea, la gráfica tiene un hueco o un punto suelto, y el límite recupera la tendencia real.

Una gráfica del pulso que tiende a 120 latidos por minuto por los dos lados de un instante, con una única medida errónea de 0 en ese instante, sigue teniendo límite 120 allí.

Huecos en la calculadora gráfica

Un programa de gráficas dibuja $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ como algo que parece una recta, pero al recorrerla (trace) en $x = 3$ sale un error. La gráfica tiene ahí un hueco, y su altura es el límite.

Para $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ la gráfica parece $y = x + 2$ con un hueco en $(2, 4)$, así que $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$ mientras que $f(2)$ no está definido.

Q: ¿Puede existir el límite si $f(a)$ no está definido?

A: Sí. Si la gráfica tiene un hueco en $x = a$ y los dos lados tienden a la altura del hueco, el límite es esa altura. Por ejemplo, $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$ no está definido en $x = 2$, pero su límite allí es $4$.

Q: Si hay un punto relleno en $x = a$, ¿existe el límite?

A: No necesariamente. El punto solo da $f(a)$. En un salto la gráfica tiene un punto relleno, pero los dos lados tienden a alturas distintas, así que el límite no existe.

Q: ¿Qué escribo cuando un límite no existe?

A: Escribe: $\lim_{x \to a} f(x)$ no existe, y da la razón, por ejemplo: el lado izquierdo tiende a $2$ y el derecho a $4$.

Q: ¿Es preciso leer un límite en una gráfica?

A: Solo tanto como la gráfica. Usa la cuadrícula y los puntos marcados, y cuando la altura no caiga claramente en una línea de la cuadrícula, compruébala con una tabla de valores o con álgebra (las próximas lecciones).