Si hay un punto relleno en $x = a$, ¿existe el límite?

No necesariamente. El punto solo da $f(a)$. En un salto la gráfica tiene un punto relleno, pero los dos lados tienden a alturas distintas, así que el límite no existe.

¿Qué escribo cuando un límite no existe?

Escribe: $\lim_{x \to a} f(x)$ no existe, y da la razón, por ejemplo: el lado izquierdo tiende a $2$ y el derecho a $4$.

¿Es preciso leer un límite en una gráfica?

Solo tanto como la gráfica. Usa la cuadrícula y los puntos marcados, y cuando la altura no caiga claramente en una línea de la cuadrícula, compruébala con una tabla de valores o con álgebra (las próximas lecciones).

Recursos para profesores

Cálculo de límites a partir de la gráfica

Q: ¿Puede existir el límite si $f(a)$ no está definido?

Sí. Si la gráfica tiene un hueco en $x = a$ y los dos lados tienden a la altura del hueco, el límite es esa altura. Por ejemplo, $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$ no está definido en $x = 2$, pero su límite allí es $4$.

Lee límites directamente en una gráfica, distingue el límite del valor de la función y descubre cuándo un límite no existe.

Avanzado25 minLección

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Definición

Para calcular un límite a partir de la gráfica, lees

\lim_{x \to a} f(x)

directamente en la gráfica de

f

. Pon un dedo sobre la curva a cada lado de

x = a

, deslízalo hacia

x = a

y observa hacia qué altura (valor de

y

) se dirige la curva.

Si los dos lados se dirigen a la misma altura $L$ , entonces $\lim_{x \to a} f(x) = L$ .
Si los dos lados se dirigen a alturas distintas, el límite no existe.

Límite y valor de la función. Son dos preguntas distintas:

$\lim_{x \to a} f(x)$ pregunta hacia dónde va la curva cerca de $x = a$ .
$f(a)$ pregunta dónde está realmente el punto relleno en $x = a$ .

Un círculo vacío (un hueco) marca un punto que falta en la gráfica. Un punto relleno marca el valor real de la función. El límite ignora lo que pasa exactamente en

x = a

, así que un hueco, o un punto situado en otro sitio, no cambia el límite.

\lim_{x \to a} f(x) = L \quad \text{cuando los dos lados de la gráfica tienden a la altura } L

Ejemplos resueltos

La gráfica de $f$ es la recta $y = x + 1$ con un círculo vacío en $(2, 3)$ y un punto relleno en $(2, 5)$ (la primera gráfica de esta lección). Halla $\lim_{x \to 2} f(x)$ y $f(2)$ .

Sigue la curva desde la izquierda

Para $x = 1{,}9;\ 1{,}99;\ 1{,}999$ , la recta sube hacia el círculo vacío → La altura tiende a $3$

Sigue la curva desde la derecha

Para $x = 2{,}1;\ 2{,}01;\ 2{,}001$ , la recta baja hacia el mismo círculo vacío → La altura tiende a $3$

Compara los dos lados

Los dos lados van a la misma altura → $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$

Busca el punto relleno en $x = 2$

El punto relleno está en $(2, 5)$ , fuera de la recta → $f(2) = 5$

Respuesta: $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ pero $f(2) = 5$ . El límite sigue la curva, el valor de la función es el punto relleno.

Errores comunes

Tomar el punto relleno como límite: responder $\lim_{x \to 2} f(x) = 5$ porque hay un punto en $(2, 5)$

Por qué está mal: El límite describe hacia dónde va la curva cerca de $x = 2$ . Un solo punto fuera de la curva no cambia hacia dónde va la curva.

Correcto: Sigue la curva por los dos lados: va hacia el círculo vacío a altura $3$ , así que $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ , mientras que $f(2) = 5$ .

Decir que el límite no existe porque hay un hueco

Por qué está mal: Un hueco solo significa que falta $f(a)$ . El límite nunca mira $x = a$ en sí, solo los valores de alrededor.

Correcto: Si los dos lados tienden a la altura del hueco, el límite existe y es igual a esa altura, aunque $f(a)$ no esté definido.

En un salto, dar como límite la altura del punto relleno (o de un solo lado)

Por qué está mal: Un límite por los dos lados necesita que ambos lados coincidan. En un salto, el lado izquierdo y el derecho tienden a alturas distintas.

Correcto: Revisa los dos lados. Si tienden a alturas distintas, escribe que el límite no existe, muestre lo que muestre el punto relleno.

Responder con el valor de $x$ : escribir $\lim_{x \to 2} f(x) = 2$

Por qué está mal: El $2$ debajo del símbolo de límite es adonde va $x$ . El límite en sí es una altura, un valor de $y$ .

Correcto: Lee la respuesta en el eje $y$ : la altura a la que tiende la curva cuando $x$ se acerca a $2$ .

Visual interactivo

Gráfica de la función

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

En x = 2: por la izquierda y por la derecha f(x) → 3, así que el límite es 3. f(2) = 5.

Gráfica de la función

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

En x = -1: por la izquierda g(x) → 2, por la derecha g(x) → 4. Los valores son distintos, así que el límite no existe (salto). g(-1) = 2.
En x = 2: por la izquierda y por la derecha g(x) → 1, así que el límite es 1. g(2) no está definida (un hueco).

Sandbox interactivo

Graficador interactivo

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Prueba estos ejemplos:

y = (x^2 - 4)/(x - 2)

m=1, b=2

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

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Problemas de práctica

18 problemas

Problema 1 de 18

Fácil

La gráfica de $f$ es una recta que pasa por un círculo vacío en $(3, 4)$ . Además hay un punto relleno en $(3, 1)$ . ¿Cuánto vale $\lim_{x \to 3} f(x)$ ?

Problemas de práctica: Cálculo de límites a partir de la gráfica

1. La gráfica de f es una recta que pasa por un círculo vacío en (3, 4). Además hay un punto relleno en (3, 1). ¿Cuánto vale \lim_{x \to 3} f(x)?
2. La gráfica de g es la parábola y = x^2 con un círculo vacío en (2, 4) y un punto relleno en (2, 0). ¿Cuánto vale \lim_{x \to 2} g(x)?
3. La gráfica de f es la recta y = x + 2 con un círculo vacío en (1, 3) y un punto relleno en (1, 6). Halla \lim_{x \to 1} f(x) y compáralo con f(1).
4. La gráfica de f es una recta que pasa por un círculo vacío en (3, 4), y además hay un punto relleno en (3, 1). ¿Cuánto vale f(3)?
5. La gráfica de g es la parábola y = x² con un círculo vacío en (2, 4) y un punto relleno en (2, 0). ¿Cuánto vale g(2)?
6. La gráfica de f es la recta y = 4 - x, dibujada sin huecos ni puntos extra. Halla \lim_{x \to 1} f(x) y comprueba si es igual a f(1).
7. Para x < 2 la gráfica de f sigue y = x y termina en un círculo vacío en (2, 2). Para x \ge 2 sigue y = 5 - x, empezando en un punto relleno en (2, 3). ¿Cuánto vale \lim_{x \to 2} f(x)?
8. La gráfica de h es la recta que pasa por (0, -1) y (4, 7), con un círculo vacío en x = 2 y ningún punto relleno allí. ¿Cuánto vale \lim_{x \to 2} h(x)?
9. Para x < 2 la gráfica de f es la recta y = x, que termina en un círculo vacío en (2, 2). Para x \ge 2 es la recta y = x + 3, que empieza en un punto relleno en (2, 5). ¿Existe \lim_{x \to 2} f(x) y cuánto vale f(2)?
10. ¿Qué afirmación sobre \lim_{x \to a} f(x) es siempre cierta?
11. Cerca de x = -2 la gráfica de f tiende por los dos lados a un círculo vacío en (-2, 3), y hay un punto relleno en (-2, -1). Calcula \lim_{x \to -2} f(x) + f(-2).
12. La gráfica de g: para x ≤ -1 es y = x + 3, que termina en un punto relleno en (-1, 2); para -1 < x < 2 es y = (x - 1)², que empieza en un círculo vacío en (-1, 4); para x > 2 es y = 3 - x. En x = 2 hay un círculo vacío en (2, 1) y ningún punto relleno. Lee los límites en la gráfica.
13. La gráfica de f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 1} parece la recta y = x - 1 con un hueco. Usa la gráfica para hallar \lim_{x \to -1} f(x).
14. La gráfica de f tiene tres lugares especiales. En x = 1 la parte izquierda termina a altura 2 y la parte derecha empieza a altura -1. En x = 3 la curva tiende por los dos lados a un círculo vacío en (3, 4), sin punto relleno. En x = 5 la curva tiende por los dos lados a (5, 0), pero el punto relleno está en (5, 3). ¿Para qué a no existe \lim_{x \to a} f(x)?
15. La gráfica de f sigue y = 3x + k para x < 2 y y = x^2 para x > 2, con círculos vacíos en los dos extremos en x = 2. ¿Para qué valor de k existe \lim_{x \to 2} f(x)?
16. La gráfica de q: para x < 2 es y = x^2, que termina en un círculo vacío en (2, 4); hay un punto relleno en (2, 1); para 2 < x < 5 es y = 6 - x, entre círculos vacíos en (2, 4) y (5, 1); para x \ge 5 es y = x - 2, que empieza en un punto relleno en (5, 3). Halla \lim_{x \to 2} q(x) y q(2), y decide si \lim_{x \to 5} q(x) existe.
17. Para x < 3 la gráfica de f es y = ax, para x > 3 es y = 12 - x, y hay un punto relleno en (3, 0). Halla el valor de a para el que existe \lim_{x \to 3} f(x).
18. La gráfica de f: para x \le 0 es y = -x, que termina en un punto relleno en (0, 0); para 0 < x < 4 es y = x + 2, entre círculos vacíos en (0, 2) y (4, 6); hay un punto relleno en (4, 1); para x > 4 es y = 10 - x, que empieza en un círculo vacío en (4, 6). Calcula \lim_{x \to 4} f(x) + \lim_{x \to 2} f(x) + f(0).

Por qué es importante

Una gráfica suele ser la forma más rápida de ver qué hace una función cerca de un punto:

El cálculo empieza aquí: la derivada (pendiente de una recta tangente) es un límite, y la conoces primero como imagen.
Los datos reales tienen huecos y fallos: la gráfica de un sensor puede tener una medida perdida o un pico erróneo. El límite te da la tendencia real alrededor de ese momento.
Los precios y las tarifas dan saltos: gastos de envío, tarifas de taxi y tramos de impuestos tienen gráficas con saltos, donde el valor justo antes y justo después de un límite de tramo es distinto.
La continuidad se apoya en esto: más adelante dirás que una función es continua en $a$ exactamente cuando el límite existe y es igual a $f(a)$ , algo que puedes comprobar a simple vista en una gráfica.

Leer límites en gráficas entrena el hábito más importante del cálculo: mirar lo que pasa cerca de un punto, no solo en él.

Aplicaciones del mundo real

Gastos de envío con límite de peso

Las empresas de mensajería cobran por tramos de peso, así que la gráfica del precio según el peso es una escalera con saltos en los límites de cada tramo.

Ejemplo:

Una mensajería cobra 5 dólares hasta 2 kg y 8 dólares por encima de 2 kg. Justo por debajo de 2 kg la gráfica está en 5 y justo por encima en 8, así que el límite del precio cuando el peso tiende a 2 kg no existe.

1Inténtalo tú mismo

Una mensajería cobra 5 dólares por paquetes de hasta 2 kg (2 kg incluidos) y 8 dólares por paquetes de algo más de 2 kg hasta 5 kg. La gráfica del precio $C(w)$ tiene un punto relleno en $(2, 5)$ y un círculo vacío en $(2, 8)$ .

¿De cuánto es el salto en $w = 2$ (la altura a la que tiende el lado derecho menos la altura a la que tiende el lado izquierdo)?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Altura a la derecha menos altura a la izquierda:

Un fallo en los datos de un sensor

Las estaciones meteorológicas y las pulseras de actividad representan medidas a lo largo del tiempo. Cuando una medida se pierde o es errónea, la gráfica tiene un hueco o un punto suelto, y el límite recupera la tendencia real.

Ejemplo:

Una gráfica del pulso que tiende a 120 latidos por minuto por los dos lados de un instante, con una única medida errónea de 0 en ese instante, sigue teniendo límite 120 allí.

2Inténtalo tú mismo

Una estación meteorológica representa la temperatura $T(t)$ en °C, con $t$ en horas. Cerca de $t = 3$ la curva tiende a $18$ °C por los dos lados, pero un fallo guardó el valor aislado $T(3) = 0$ .

¿Cuánto vale $\lim_{t \to 3} T(t)$ ?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

La altura a la que tienden los dos lados:

Huecos en la calculadora gráfica

Un programa de gráficas dibuja $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ como algo que parece una recta, pero al recorrerla (trace) en $x = 3$ sale un error. La gráfica tiene ahí un hueco, y su altura es el límite.

Ejemplo:

Para $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ la gráfica parece $y = x + 2$ con un hueco en $(2, 4)$ , así que $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$ mientras que $f(2)$ no está definido.

3Inténtalo tú mismo

Representas $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ . Al recorrer la gráfica aparece ERROR en $x = 3$ , y la gráfica parece la recta $y = x + 3$ con un hueco.

¿Cuánto vale $\lim_{x \to 3} f(x)$ ?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

La altura del hueco:

Puntos clave

1Para leer $\lim_{x \to a} f(x)$ en una gráfica, sigue la curva por los dos lados hacia $x = a$ y lee la altura a la que tiende
2El límite es un valor de $y$ (una altura), no el valor $a$ de $x$
3Un círculo vacío (hueco) marca un punto que falta, un punto relleno marca el valor real $f(a)$
4El límite ignora el punto en $x = a$ : un hueco o un punto en otro sitio no lo cambia
5Si los dos lados tienden a alturas distintas (un salto), el límite no existe, valga lo que valga $f(a)$
6Donde la gráfica no tiene cortes, el límite es simplemente igual a $f(a)$

Preguntas frecuentes

Sí. Si la gráfica tiene un hueco en

x = a

y los dos lados tienden a la altura del hueco, el límite es esa altura. Por ejemplo,

\frac{x^2 - 4}{x - 2}

no está definido en

x = 2

, pero su límite allí es

4

Glosario

Límite: La altura $L$ a la que tiende la gráfica de $f$ por los dos lados cuando $x$ tiende a $a$ , se escribe $\lim_{x \to a} f(x) = L$
Valor de la función $f(a)$: La altura real de la gráfica en $x = a$ , indicada por un punto relleno o por la curva que pasa por $x = a$
Círculo vacío (hueco): Un punto dibujado como círculo vacío: la gráfica se acerca a él, pero no forma parte de la gráfica
Punto relleno: Un punto macizo que forma parte de la gráfica y da el valor de la función allí
Salto: Un lugar donde la gráfica se corta y sigue a otra altura, de modo que los dos lados tienden a valores distintos
No existe: Lo que decimos de un límite cuando los dos lados de la gráfica no tienden a la misma altura

Tarjeta de fórmulas

Leer un límite en la gráfica

\lim_{x \to a} f(x) = L

Los dos lados de la gráfica tienden a la altura $L$ cuando $x$ tiende a $a$

Cuándo el límite no existe

\text{altura izquierda} \neq \text{altura derecha} \;\Rightarrow\; \lim_{x \to a} f(x) \text{ no existe}

Si los dos lados tienden a alturas distintas, $\lim_{x \to a} f(x)$ no existe

Límite y valor

\lim_{x \to a} f(x) \text{ y } f(a) \text{ pueden ser distintos}

El límite sigue la curva cerca de $a$, el valor es el punto relleno en $a$. Pueden ser distintos

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