Un límite en un hueco

Usa una tabla para estimar $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$.

Comprueba el propio punto: En $x = 2$: $\frac{4 - 4}{2 - 2} = \frac{0}{0}$ = $f(2)$ no está definida, así que necesitamos una tabla

Acércate por la izquierda: $f(1{,}9) = 3{,}9$, $f(1{,}99) = 3{,}99$, $f(1{,}999) = 3{,}999$ = Por la izquierda tiende a $4$

Acércate por la derecha: $f(2{,}1) = 4{,}1$, $f(2{,}01) = 4{,}01$, $f(2{,}001) = 4{,}001$ = Por la derecha tiende a $4$

Compara ambos lados: Ambos lados se acercan al mismo valor = $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$

Answer: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4$, aunque $f(2)$ no existe

Un límite que no se puede factorizar

Estima $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ ($x$ en radianes).

Pon la calculadora en radianes: Los límites con $\sin x$ siempre usan radianes = Modo: RAD

Acércate por la derecha: $x = 0{,}1$: $0{,}998334$; $x = 0{,}01$: $0{,}999983$; $x = 0{,}001$: $0{,}9999998$ = Los valores tienden a $1$

Acércate por la izquierda: $\frac{\sin(-x)}{-x} = \frac{-\sin x}{-x} = \frac{\sin x}{x}$, así que $x = -0{,}1$ vuelve a dar $0{,}998334$ = Los mismos valores, que tienden a $1$

Concluye: Ambos lados se acercan a $1$ = $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

Answer: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

Cuando los dos lados no coinciden

Usa una tabla para decidir si $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$ existe.

Acércate por la izquierda: $x = -0{,}1$: $\frac{0{,}1}{-0{,}1} = -1$; $x = -0{,}01$: $-1$; $x = -0{,}001$: $-1$ = Por la izquierda se queda en $-1$

Acércate por la derecha: $x = 0{,}1$: $\frac{0{,}1}{0{,}1} = 1$; $x = 0{,}01$: $1$; $x = 0{,}001$: $1$ = Por la derecha se queda en $1$

Compara ambos lados: $-1 \neq 1$ = Los lados tienden a números distintos

Concluye: Un límite bilateral necesita un único valor = $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$ no existe

Answer: El límite no existe: por la izquierda tiende a $-1$ y por la derecha tiende a $1$

Resultados que crecen sin límite

Usa una tabla para describir $\lim_{x \to 3} \frac{1}{(x - 3)^2}$.

Acércate por la izquierda: $x = 2{,}9$: $\frac{1}{0{,}01} = 100$; $x = 2{,}99$: $10\,000$; $x = 2{,}999$: $1\,000\,000$ = Los valores se disparan hacia arriba

Acércate por la derecha: $x = 3{,}1$: $100$; $x = 3{,}01$: $10\,000$; $x = 3{,}001$: $1\,000\,000$ = El mismo disparo hacia arriba

Busca un patrón: Cada vez que $x$ se acerca $10$ veces más a $3$, $f(x)$ se hace $100$ veces mayor = No se acerca a ningún número

Describe el comportamiento: Los resultados crecen sin límite por ambos lados = $\lim_{x \to 3} \frac{1}{(x - 3)^2} = \infty$

Answer: La función crece sin límite: $\lim_{x \to 3} \frac{1}{(x - 3)^2} = \infty$, así que no hay límite finito (asíntota vertical $x = 3$)

Cuando una tabla te engaña

Una alumna usa $x = 0{,}1$, $0{,}01$, $0{,}001$ para estimar $\lim_{x \to 0} \sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ y obtiene $0$ cada vez. ¿Es el límite $0$?

Comprueba sus valores: $\sin(10\pi) = 0$, $\sin(100\pi) = 0$, $\sin(1000\pi) = 0$ = Todo ceros, parece convincente

Prueba otros valores cerca de $0$: $x = 0{,}4$: $\sin(2{,}5\pi) = 1$; $x = \frac{2}{9} \approx 0{,}222$: $\sin(4{,}5\pi) = 1$ = Aparecen valores iguales a $1$

Prueba todavía más valores: $x = \frac{2}{3}$: $\sin(1{,}5\pi) = -1$; $x = \frac{2}{7}$: $\sin(3{,}5\pi) = -1$ = También aparecen valores iguales a $-1$

Concluye: Cerca de $0$ la función oscila sin parar entre $-1$ y $1$ = El límite no existe

Answer: No. $\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ oscila infinitas veces entre $-1$ y $1$ cerca de $0$, así que el límite no existe. Los valores de $x$ elegidos simplemente coincidieron con ceros.

Mistake: Usar solo un lado de $a$

Why: Una tabla con solo $x = 1{,}9$, $1{,}99$, $1{,}999$ muestra el límite por la izquierda. Por la derecha puede tender a otro valor, como con $\frac{|x|}{x}$.

Correct: Construye siempre las dos columnas: valores justo por debajo de $a$ y valores justo por encima de $a$.

Mistake: Elegir valores de $x$ que no están cerca de $a$

Why: Valores como $x = 1$, $1{,}5$, $2{,}5$, $3$ están demasiado lejos. Lejos del punto, la función puede comportarse de forma muy distinta.

Correct: Acércate diez veces más en cada paso: $a \pm 0{,}1$, $a \pm 0{,}01$, $a \pm 0{,}001$.

Mistake: Poner $x = a$ en la tabla y tomar $f(a)$ como límite

Why: El límite describe lo que pasa cerca de $a$, no en $a$. En un hueco $f(a)$ puede no estar definida, y en un punto desplazado puede ser otro número.

Correct: Deja $x = a$ fuera de la tabla y lee solo la tendencia de los valores cercanos.

Mistake: Confiar a ciegas en unos pocos valores

Why: Elecciones especiales de $x$ pueden ocultar una oscilación, como con $\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$, y el redondeo puede ocultar pequeñas diferencias entre los lados.

Correct: Usa varios valores que no sigan todos el mismo patrón, conserva suficientes decimales y confirma con una gráfica o con álgebra.

Velocidad instantánea en física

Un velocímetro muestra la velocidad en un instante. Los físicos la encuentran calculando velocidades medias en intervalos de tiempo cada vez más cortos y leyendo la tendencia en la tabla.

Una pelota cae $s(t) = 5t^2$ metros en $t$ segundos. Velocidades medias a partir de $t = 2$: en $0{,}1$ s es $20{,}5$ m/s, en $0{,}01$ s es $20{,}05$ m/s, en $0{,}001$ s es $20{,}005$ m/s.

Tasas de crecimiento en biología

Un cultivo de bacterias que se duplica cada hora no crece a saltos. Su tasa de crecimiento instantánea se obtiene con una tabla de la expresión $\frac{2^h - 1}{h}$ para pasos de tiempo $h$ diminutos.

Para $h = 0{,}1$ horas la tabla da $0{,}7177$, para $h = 0{,}01$ da $0{,}6956$, para $h = 0{,}001$ da $0{,}6934$: la tasa se estabiliza cerca de $0{,}693$ por hora.

Procesamiento de señales y audio

El software de audio usa funciones como $\frac{\sin(2x)}{x}$ para filtrar el sonido. En $x = 0$ la fórmula da $\frac{0}{0}$, así que los programadores usan el límite obtenido con una tabla para completar el valor que falta.

Cerca de $0$ (en radianes), $\frac{\sin(2x)}{x}$ da $1{,}98669$ en $x = 0{,}1$ y $1{,}99987$ en $x = 0{,}01$.

Q: ¿Cuántos valores necesito en la tabla?

A: Normalmente bastan tres por cada lado, como $a \pm 0{,}1$, $a \pm 0{,}01$, $a \pm 0{,}001$, para ver una tendencia clara. Si la tendencia no está clara, añade valores aún más cercanos, como $a \pm 0{,}0001$.

Q: ¿Por qué no sustituyo directamente $x = a$?

A: Porque el límite trata de los valores cerca de $a$, no en $a$. A menudo $f(a)$ no está definida (un hueco o $\frac{0}{0}$), y a veces existe pero es distinta del límite. La tabla muestra la tendencia que $f(a)$ no puede mostrar.

Q: ¿Una tabla demuestra que el límite es correcto?

A: No. Una tabla solo da indicios fuertes. Los resultados exactos vienen del álgebra (Límites por sustitución directa, factorización) o de las propiedades de los límites. Las tablas son excelentes para estimar y para comprobar un resultado algebraico.

Q: ¿Qué significa que mi calculadora muestre valores raros muy cerca de $a$?

A: Con diferencias extremadamente pequeñas como $x - a = 0{,}0000000001$, una calculadora puede perder cifras al restar números casi iguales. Si los valores empiezan a saltar de repente, vuelve a $a \pm 0{,}001$ o $a \pm 0{,}0001$, donde la aritmética sigue siendo fiable.