¿Por qué no sustituyo directamente $x = a$?

Porque el límite trata de los valores cerca de $a$, no en $a$. A menudo $f(a)$ no está definida (un hueco o $\frac{0}{0}$), y a veces existe pero es distinta del límite. La tabla muestra la tendencia que $f(a)$ no puede mostrar.

¿Una tabla demuestra que el límite es correcto?

No. Una tabla solo da indicios fuertes. Los resultados exactos vienen del álgebra (Límites por sustitución directa, factorización) o de las propiedades de los límites. Las tablas son excelentes para estimar y para comprobar un resultado algebraico.

¿Qué significa que mi calculadora muestre valores raros muy cerca de $a$?

Con diferencias extremadamente pequeñas como $x - a = 0{,}0000000001$, una calculadora puede perder cifras al restar números casi iguales. Si los valores empiezan a saltar de repente, vuelve a $a \pm 0{,}001$ o $a \pm 0{,}0001$, donde la aritmética sigue siendo fiable.

Recursos para profesores

Calcular límites con tablas de valores

Q: ¿Cuántos valores necesito en la tabla?

Normalmente bastan tres por cada lado, como $a \pm 0{,}1$, $a \pm 0{,}01$, $a \pm 0{,}001$, para ver una tendencia clara. Si la tendencia no está clara, añade valores aún más cercanos, como $a \pm 0{,}0001$.

Estima un límite numéricamente: construye una tabla de valores por ambos lados, acércate cada vez más y observa hacia dónde van los resultados.

Avanzado30 minLección

Ficha imprimible

Definición

Para calcular un límite con una tabla de valores, eliges valores de

x

que se acercan cada vez más a

a

por ambos lados, calculas

f(x)

para cada uno y observas a qué valor se acercan los resultados.

\lim_{x \to a} f(x) = L

Cómo construir la tabla:

Por la izquierda ( $x < a$ ): por ejemplo $a - 0{,}1$ , $a - 0{,}01$ , $a - 0{,}001$
Por la derecha ( $x > a$ ): por ejemplo $a + 0{,}001$ , $a + 0{,}01$ , $a + 0{,}1$
No uses $x = a$ : el límite no depende de $f(a)$

Ejemplo:

f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}

no está definida en

x = 2

, pero la tabla muestra hacia dónde se dirige:

$x$	$1{,}9$	$1{,}99$	$1{,}999$	$2{,}001$	$2{,}01$	$2{,}1$
$f(x)$	$3{,}9$	$3{,}99$	$3{,}999$	$4{,}001$	$4{,}01$	$4{,}1$

Ambos lados tienden a

4

, así que estimamos

\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4

Tres resultados posibles:

Ambos lados tienden al mismo número $L$ : el límite es $L$
Los lados tienden a números distintos: el límite no existe
Los resultados crecen sin límite: escribimos $\infty$ (no hay límite finito)

Una tabla da una estimación, no una demostración. Es la cara numérica de la misma idea que viste en la lección Cálculo de límites a partir de la gráfica.

Pruébalo ahora

Quieres estimar

\lim_{x \to 3} f(x)

con una tabla de valores. ¿Qué valores de

x

son la mejor elección?

Ejemplos resueltos

Usa una tabla para estimar $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ .

Comprueba el propio punto

En $x = 2$ : $\frac{4 - 4}{2 - 2} = \frac{0}{0}$ → $f(2)$ no está definida, así que necesitamos una tabla

Acércate por la izquierda

$f(1{,}9) = 3{,}9$ , $f(1{,}99) = 3{,}99$ , $f(1{,}999) = 3{,}999$ → Por la izquierda tiende a $4$

Acércate por la derecha

$f(2{,}1) = 4{,}1$ , $f(2{,}01) = 4{,}01$ , $f(2{,}001) = 4{,}001$ → Por la derecha tiende a $4$

Compara ambos lados

Ambos lados se acercan al mismo valor → $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$

Respuesta: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4$ , aunque $f(2)$ no existe

Errores comunes

Usar solo un lado de $a$

Por qué está mal: Una tabla con solo $x = 1{,}9$ , $1{,}99$ , $1{,}999$ muestra el límite por la izquierda. Por la derecha puede tender a otro valor, como con $\frac{|x|}{x}$ .

Correcto: Construye siempre las dos columnas: valores justo por debajo de $a$ y valores justo por encima de $a$ .

Elegir valores de $x$ que no están cerca de $a$

Por qué está mal: Valores como $x = 1$ , $1{,}5$ , $2{,}5$ , $3$ están demasiado lejos. Lejos del punto, la función puede comportarse de forma muy distinta.

Correcto: Acércate diez veces más en cada paso: $a \pm 0{,}1$ , $a \pm 0{,}01$ , $a \pm 0{,}001$ .

Poner $x = a$ en la tabla y tomar $f(a)$ como límite

Por qué está mal: El límite describe lo que pasa cerca de $a$ , no en $a$ . En un hueco $f(a)$ puede no estar definida, y en un punto desplazado puede ser otro número.

Correcto: Deja $x = a$ fuera de la tabla y lee solo la tendencia de los valores cercanos.

Confiar a ciegas en unos pocos valores

Por qué está mal: Elecciones especiales de $x$ pueden ocultar una oscilación, como con $\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ , y el redondeo puede ocultar pequeñas diferencias entre los lados.

Correcto: Usa varios valores que no sigan todos el mismo patrón, conserva suficientes decimales y confirma con una gráfica o con álgebra.

Visual interactivo

Gráfica de la función

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

f(x) = (x² - 4)/(x - 2)

Tabla de valores

x	1,9	1,99	1,999	2,001	2,01	2,1
y	3,9	3,99	3,999	4,001	4,01	4,1

Gráfica de la función

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

g(x) = |x|/x

En x = 0: por la izquierda g(x) → -1, por la derecha g(x) → 1. Los valores son distintos, así que el límite no existe (salto). g(0) no está definida.

Tabla de valores

x	-0,1	-0,01	-0,001	0,001	0,01	0,1
y	-1	-1	-1	1	1	1

Gráfica de la función

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

h(x) = 1/(x - 3)²Asíntota

Tabla de valores

x	2,9	2,99	2,999	3,001	3,01	3,1
y	100	10000	1000000	1000000	10000	100

Sandbox interactivo

Graficador interactivo

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Prueba estos ejemplos:

y = 2x + 1

m=2, b=1

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

Aún no hay cálculos

Problemas de práctica

18 problemas

Problema 1 de 18

Fácil

Quieres estimar $\lim_{x \to 3} f(x)$ con una tabla de valores. ¿Qué valores de $x$ son la mejor elección?

Problemas de práctica: Calcular límites con tablas de valores

1. Quieres estimar \lim_{x \to 3} f(x) con una tabla de valores. ¿Qué valores de x son la mejor elección?
2. Una tabla de valores da f(4{,}9) = 9{,}9; f(4{,}99) = 9{,}99; f(4{,}999) = 9{,}999; f(5{,}001) = 10{,}001; f(5{,}01) = 10{,}01; f(5{,}1) = 10{,}1. Estima \lim_{x \to 5} f(x).
3. A la izquierda de 2: f(1{,}9) = 6{,}8; f(1{,}99) = 6{,}98; f(1{,}999) = 6{,}998. A la derecha de 2: f(2{,}1) = 7{,}2; f(2{,}01) = 7{,}02; f(2{,}001) = 7{,}002. ¿Cuánto vale \lim_{x \to 2} f(x)?
4. Para f(x) = (x² - 9)/(x - 3), calcula el valor de la tabla f(2,99).
5. Usa una tabla de valores para estimar \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}.
6. Usa una tabla de valores para estimar \lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 16}{x - 4}.
7. Una tabla de g(x) cerca de x = 1 muestra g(0{,}9) = -2; g(0{,}99) = -2; g(0{,}999) = -2; g(1{,}001) = 5; g(1{,}01) = 5; g(1{,}1) = 5. ¿Qué puedes concluir sobre \lim_{x \to 1} g(x)?
8. Una tabla de f(x) = \frac{e^x - 1}{x} da x = -0{,}01: 0{,}99502; x = -0{,}001: 0{,}99950; x = 0{,}001: 1{,}00050; x = 0{,}01: 1{,}00502. Estima \lim_{x \to 0} f(x).
9. Usa una tabla de valores para estimar \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}, con x en radianes.
10. Usa una tabla de valores para estimar \lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2}.
11. Para f(x) = \frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x} una tabla da f(-0{,}01) \approx 0{,}16671; f(-0{,}001) \approx 0{,}16667; f(0{,}001) \approx 0{,}16666; f(0{,}01) \approx 0{,}16662. Estima \lim_{x \to 0} f(x) como número decimal, redondeado a tres decimales.
12. Una tabla de h(x) cerca de x = 1 muestra h(0{,}9) = 100; h(0{,}99) = 10\,000; h(0{,}999) = 1\,000\,000; h(1{,}001) = 1\,000\,000; h(1{,}01) = 10\,000; h(1{,}1) = 100. ¿Qué afirmación describe mejor \lim_{x \to 1} h(x)?
13. Sea f(x) = x + 1 para x < 2 y f(x) = x^2 para x \geq 2. Usa una tabla de valores para decidir si \lim_{x \to 2} f(x) existe.
14. Una tabla de f(x) = (1 + x)^{\frac{1}{x}} da x = -0{,}01: 2{,}73200; x = -0{,}001: 2{,}71964; x = 0{,}001: 2{,}71692; x = 0{,}01: 2{,}70481. Estima \lim_{x \to 0} f(x), redondeado a dos decimales.
15. Una tabla de f(x) = \sin\left(\frac{\pi}{x}\right) con x = \pm 0{,}1; \pm 0{,}01; \pm 0{,}001 da 0 cada vez. Pero f\left(\frac{2}{101}\right) = 1 y f\left(\frac{2}{103}\right) = -1, y ambos valores de x están a menos de 0{,}02 de 0. ¿Cuánto vale \lim_{x \to 0} f(x)?
16. Usa una tabla de valores para estimar \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}.
17. Usa una tabla de valores para describir \lim_{x \to -1} \frac{1}{(x + 1)^2}.
18. Investiga \lim_{x \to 0} \sin\left(\frac{\pi}{x}\right) con valores de tabla bien elegidos (x en radianes).

Por qué es importante

Las tablas de valores suelen ser la forma más directa y práctica de encontrar un límite:

Sin trucos algebraicos: funciones como $\frac{\sin x}{x}$ o $\frac{e^x - 1}{x}$ no se simplifican factorizando, pero una tabla encuentra su límite en segundos
Las calculadoras y los ordenadores estiman límites justo así: evalúan números cada vez más cercanos al punto
Comprobar tus cálculos: si tu álgebra dice que el límite es $4$ pero la tabla tiende a $3$ , algo ha fallado
Bases del cálculo: la velocidad instantánea y la pendiente de una curva empiezan como tablas de velocidades medias en intervalos de tiempo cada vez más cortos

Saber cuándo una tabla puede engañarte (funciones que oscilan, redondeos) es tan importante como saber construirla.

Aplicaciones del mundo real

Velocidad instantánea en física

Un velocímetro muestra la velocidad en un instante. Los físicos la encuentran calculando velocidades medias en intervalos de tiempo cada vez más cortos y leyendo la tendencia en la tabla.

Ejemplo:

Una pelota cae $s(t) = 5t^2$ metros en $t$ segundos. Velocidades medias a partir de $t = 2$ : en $0{,}1$ s es $20{,}5$ m/s, en $0{,}01$ s es $20{,}05$ m/s, en $0{,}001$ s es $20{,}005$ m/s.

1Inténtalo tú mismo

La velocidad media de la pelota entre $t = 2$ y $t = 2 + h$ segundos es $\frac{5(2 + h)^2 - 20}{h}$ m/s.

¿Cuál es la velocidad instantánea en $t = 2$ segundos, en m/s?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Haz $h$ cada vez más pequeño y observa hacia dónde va la velocidad media:

Tasas de crecimiento en biología

Un cultivo de bacterias que se duplica cada hora no crece a saltos. Su tasa de crecimiento instantánea se obtiene con una tabla de la expresión $\frac{2^h - 1}{h}$ para pasos de tiempo $h$ diminutos.

Ejemplo:

Para $h = 0{,}1$ horas la tabla da $0{,}7177$ , para $h = 0{,}01$ da $0{,}6956$ , para $h = 0{,}001$ da $0{,}6934$ : la tasa se estabiliza cerca de $0{,}693$ por hora.

2Inténtalo tú mismo

Unos biólogos estiman $\lim_{h \to 0} \frac{2^h - 1}{h}$ con una tabla de valores. Usa una calculadora.

¿Cuál es el límite, redondeado a dos decimales?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula la expresión para valores de $h$ cada vez más pequeños:

Procesamiento de señales y audio

El software de audio usa funciones como $\frac{\sin(2x)}{x}$ para filtrar el sonido. En $x = 0$ la fórmula da $\frac{0}{0}$, así que los programadores usan el límite obtenido con una tabla para completar el valor que falta.

Ejemplo:

Cerca de $0$ (en radianes), $\frac{\sin(2x)}{x}$ da $1{,}98669$ en $x = 0{,}1$ y $1{,}99987$ en $x = 0{,}01$ .

3Inténtalo tú mismo

Un programador necesita el valor al que se acerca $\frac{\sin(2x)}{x}$ cuando $x \to 0$ ( $x$ en radianes).

¿Qué valor debe usar el programa en $x = 0$ ?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Construye una tabla con $x = 0{,}1$ , $0{,}01$ , $0{,}001$ :

Puntos clave

1Para estimar $\lim_{x \to a} f(x)$ con una tabla, usa valores de $x$ cada vez más cercanos a $a$ por ambos lados
2Un buen patrón: $a \pm 0{,}1$ , $a \pm 0{,}01$ , $a \pm 0{,}001$ ; deja fuera $x = a$
3Si ambos lados tienden al mismo número $L$ , el límite es $L$ , aunque $f(a)$ no esté definida
4Si los lados tienden a números distintos, el límite no existe
5Si los resultados crecen sin límite, no hay límite finito y escribimos $\infty$ (o $-\infty$ )
6Una tabla es una estimación: las funciones que oscilan como $\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ y el redondeo pueden engañarla, así que confirma con una gráfica o con álgebra

Preguntas frecuentes

Normalmente bastan tres por cada lado, como

a \pm 0{,}1

a \pm 0{,}01

a \pm 0{,}001

, para ver una tendencia clara. Si la tendencia no está clara, añade valores aún más cercanos, como

a \pm 0{,}0001

Glosario

Tabla de valores: Una lista de entradas $x$ elegidas y sus resultados $f(x)$ , que sirve para ver una tendencia
Límite por la izquierda: El valor al que se acerca $f(x)$ cuando $x \to a$ con valores menores que $a$ , escrito $\lim_{x \to a^-} f(x)$
Límite por la derecha: El valor al que se acerca $f(x)$ cuando $x \to a$ con valores mayores que $a$ , escrito $\lim_{x \to a^+} f(x)$
No existe: Los resultados no se acercan a un único número finito, por ejemplo porque los dos lados no coinciden o la función oscila
Crecer sin límite: Los resultados superan cualquier número que elijas; se escribe como un límite igual a $\infty$ (límite infinito)
Oscilación: Comportamiento en el que los resultados van y vienen sin estabilizarse, como $\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ cerca de $0$

Tarjeta de fórmulas

Patrón de la tabla

x = a - 0{,}1;\ a - 0{,}01;\ a - 0{,}001 \ \mid\ a + 0{,}001;\ a + 0{,}01;\ a + 0{,}1

Acércate a $a$ por ambos lados, diez veces más cerca en cada paso, y nunca uses $x = a$

El límite existe

\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L \Rightarrow \lim_{x \to a} f(x) = L

Las dos columnas de la tabla tienden al mismo número

El límite no existe

\lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)

Las dos columnas tienden a números distintos, o los valores oscilan

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