Ambos lados suben

Halla $\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2}$.

Prueba la sustitución directa: $\frac{1}{(2-2)^2} = \frac{1}{0}$: el numerador es $1$, el denominador es $0$ = No es un número: hay que mirar más de cerca

Tabla de valores por la izquierda: $x = 1{,}9$: $\frac{1}{0{,}01} = 100$; $x = 1{,}99$: $\frac{1}{0{,}0001} = 10000$ = Los valores crecen sin límite

Tabla de valores por la derecha: $x = 2{,}1$: $100$; $x = 2{,}01$: $10000$ = Los valores crecen sin límite

Usa el signo: $(x-2)^2$ es un cuadrado, así que es positivo a ambos lados de $2$ = Los dos límites laterales son $\infty$

Answer: $\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2} = \infty$. Ambos lados se disparan en la misma dirección, así que escribimos $\infty$ para el límite, y $x = 2$ es una asíntota vertical.

Los dos lados no coinciden

Halla $\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x-2}$, $\lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x-2}$ y $\lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2}$.

A la izquierda de 2: $x = 1{,}9$: $\frac{1}{-0{,}1} = -10$; $x = 1{,}99$: $\frac{1}{-0{,}01} = -100$ = $\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x-2} = -\infty$

A la derecha de 2: $x = 2{,}1$: $\frac{1}{0{,}1} = 10$; $x = 2{,}01$: $\frac{1}{0{,}01} = 100$ = $\lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x-2} = \infty$

Compara los dos lados: Un lado tiende a $-\infty$ y el otro a $\infty$ = No hay un comportamiento común

Indica el límite: No podemos escribir ni $\infty$ ni $-\infty$ para el límite en $2$ = El límite en $2$ no existe

Answer: Por la izquierda: $-\infty$, por la derecha: $\infty$. El límite $\lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2}$ no existe (y no se escribe $\infty$). Aun así, la recta $x = 2$ es una asíntota vertical.

Análisis de signos sin tabla

Halla $\lim_{x \to 3^-} \frac{x+1}{x-3}$ y $\lim_{x \to 3^+} \frac{x+1}{x-3}$.

Numerador en $x = 3$: $3 + 1 = 4$ = Tiende a $4$ (positivo, no $0$)

Denominador en $x = 3$: $3 - 3 = 0$ = Tiende a $0$: el límite es infinito

Signo del denominador para $x < 3$: Por ejemplo $x = 2{,}99$: $2{,}99 - 3 = -0{,}01$ = Número negativo pequeño

Límite por la izquierda: $\frac{\text{positivo}}{\text{negativo pequeño}}$; comprobación: $\frac{3{,}99}{-0{,}01} = -399$ = $\lim_{x \to 3^-} \frac{x+1}{x-3} = -\infty$

Límite por la derecha: Para $x > 3$ el denominador es un número positivo pequeño; comprobación: $\frac{4{,}01}{0{,}01} = 401$ = $\lim_{x \to 3^+} \frac{x+1}{x-3} = \infty$

Answer: $\lim_{x \to 3^-} \frac{x+1}{x-3} = -\infty$ y $\lim_{x \to 3^+} \frac{x+1}{x-3} = \infty$. La gráfica tiene una asíntota vertical en $x = 3$: baja por la izquierda y sube por la derecha.

¿Asíntota o hueco?

Halla las asíntotas verticales de $f(x) = \frac{x-2}{x^2-x-2}$ y describe el comportamiento cerca de cada cero del denominador.

Factoriza el denominador: $x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$ = Ceros en $x = 2$ y $x = -1$

Comprueba el numerador en $x = 2$: $2 - 2 = 0$: es la forma $\frac{0}{0}$ = No es automáticamente una asíntota

Simplifica: $\frac{x-2}{(x-2)(x+1)} = \frac{1}{x+1}$ para $x \neq 2$, así que $\lim_{x \to 2} f(x) = \frac{1}{3}$ = Un hueco en $\left(2, \frac{1}{3}\right)$

Comprueba el numerador en $x = -1$: $-1 - 2 = -3 \neq 0$, denominador $0$ = Asíntota vertical $x = -1$

Signos cerca de $x = -1$: Con $\frac{1}{x+1}$: para $x > -1$ el denominador es positivo pequeño, para $x < -1$ negativo pequeño = $\lim_{x \to -1^+} f(x) = \infty$, $\lim_{x \to -1^-} f(x) = -\infty$

Answer: La única asíntota vertical es $x = -1$ (por la derecha $\infty$, por la izquierda $-\infty$). En $x = 2$ la gráfica tiene un hueco, porque allí el límite es el número $\frac{1}{3}$.

Un numerador negativo sobre un cuadrado

Halla $\lim_{x \to -4} \frac{x-1}{(x+4)^2}$.

Numerador en $x = -4$: $-4 - 1 = -5$ = Tiende a $-5$ (negativo)

Denominador cerca de $x = -4$: $(x+4)^2$ tiende a $0$ y es un cuadrado, así que es positivo a ambos lados = Número positivo pequeño a ambos lados

Combina los signos: $\frac{\text{negativo}}{\text{positivo pequeño}}$; comprobación: $x = -3{,}9$ da $\frac{-4{,}9}{0{,}01} = -490$ = Los dos límites laterales son $-\infty$

Answer: $\lim_{x \to -4} \frac{x-1}{(x+4)^2} = -\infty$. Ambos lados bajan, así que el límite se escribe $-\infty$, y $x = -4$ es una asíntota vertical.

Mistake: Decir «el límite existe y vale $\infty$»

Why: $\infty$ no es un número real. Escribir $= \infty$ solo describe cómo crece la función; el límite no existe como número.

Correct: Di «$f(x)$ crece sin límite cuando $x \to a$» o «el límite es $\infty$», y recuerda que un límite igual a $\infty$ no es un límite que exista.

Mistake: Escribir $\lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2} = \infty$

Why: Por la izquierda los valores tienden a $-\infty$ y por la derecha a $\infty$. Solo puedes escribir $\infty$ para el límite cuando ambos lados tienden a $\infty$.

Correct: Da los dos límites laterales ($-\infty$ y $\infty$) y di que el límite en $2$ no existe.

Mistake: Pensar que cada cero del denominador es una asíntota vertical

Why: Si el numerador también vale $0$ ahí, la expresión tiene la forma $\frac{0}{0}$ y puede simplificarse. Entonces el límite puede ser un número y la gráfica solo tiene un hueco.

Correct: Comprueba primero el numerador: denominador $0$ y numerador distinto de $0$ significa asíntota vertical; los dos $0$ significa simplificar y volver a mirar.

Mistake: Elegir el signo mirando solo el denominador

Why: Un numerador negativo cambia el resultado: $\frac{-5}{\text{positivo pequeño}}$ tiende a $-\infty$, no a $\infty$.

Correct: Halla el signo del numerador y el del denominador en el lado que estudias y combínalos como en una división.

La fuerza eléctrica a distancias cortas

La fuerza entre dos partículas cargadas es inversamente proporcional al cuadrado de su distancia, así que crece sin límite cuando la distancia se reduce a cero.

Con $F(r) = \frac{100}{r^2}$ (en newtons, $r$ en metros), reducir la distancia a la mitad multiplica la fuerza por cuatro, y $\lim_{r \to 0^+} F(r) = \infty$.

Eliminar las últimas impurezas

Depurar agua es cada vez más difícil cuanto más te acercas a la pureza total. Los modelos del esfuerzo suelen tener una asíntota vertical en el 100 %.

Si filtrar el $p$ por ciento de las impurezas tarda $T(p) = \frac{50p}{100-p}$ minutos, entonces $T(50) = 50$ minutos, pero $T(90) = 450$ minutos.

Imágenes formadas por una lente

En una lente de distancia focal $f$, la distancia de la imagen es $d_i = \frac{f \, d_o}{d_o - f}$. Cuando el objeto se acerca al foco, la imagen se aleja infinitamente.

Para $f = 10$ cm: un objeto a $d_o = 20$ cm da una imagen a $d_i = \frac{200}{10} = 20$ cm, y $\lim_{d_o \to 10^+} d_i = \infty$.

Q: Si el límite es $\infty$, ¿existe el límite?

A: No. Un límite solo existe cuando es un número real. Escribir $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ es una forma más precisa de decir «el límite no existe porque los valores crecen sin límite en dirección positiva».

Q: ¿En qué se diferencia un límite infinito de un límite en el infinito?

A: En un límite infinito, $x$ tiende a un número y $f(x)$ se dispara: $\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2} = \infty$. En un límite en el infinito, es $x$ quien crece sin límite: $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$. El primero da asíntotas verticales; el segundo, horizontales.

Q: ¿Puede una gráfica cruzar una asíntota vertical?

A: No. En una asíntota vertical $x = a$ los valores de la función se disparan cerca de $a$, y normalmente $f(a)$ ni siquiera está definida. (Las asíntotas horizontales son distintas: una gráfica sí puede cruzarlas.)

Q: ¿Por qué una potencia par en el denominador da el mismo signo a ambos lados?

A: Un cuadrado (o cualquier potencia par) nunca es negativo. Cerca de $a$, $(x-a)^2$ es un número positivo pequeño a ambos lados, así que el signo del cociente depende solo del numerador.