¿En qué se diferencia un límite infinito de un límite en el infinito?

En un límite infinito, $x$ tiende a un número y $f(x)$ se dispara: $\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2} = \infty$. En un límite en el infinito, es $x$ quien crece sin límite: $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$. El primero da asíntotas verticales; el segundo, horizontales.

¿Puede una gráfica cruzar una asíntota vertical?

No. En una asíntota vertical $x = a$ los valores de la función se disparan cerca de $a$, y normalmente $f(a)$ ni siquiera está definida. (Las asíntotas horizontales son distintas: una gráfica sí puede cruzarlas.)

¿Por qué una potencia par en el denominador da el mismo signo a ambos lados?

Un cuadrado (o cualquier potencia par) nunca es negativo. Cerca de $a$, $(x-a)^2$ es un número positivo pequeño a ambos lados, así que el signo del cociente depende solo del numerador.

Recursos para profesores

Límites infinitos

Aprende qué significa que una función crezca sin límite cerca de un punto, cómo hallar el signo analizando el denominador y cómo los límites infinitos crean asíntotas verticales.

Avanzado30 minLección

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Definición

Un límite infinito describe una función cuyos valores crecen sin límite cuando

x

tiende a un número

a

\lim_{x \to a} f(x) = \infty

significa: cuando

x

se acerca a

a

(por ambos lados),

f(x)

se hace mayor que cualquier número que puedas decir. Del mismo modo,

\lim_{x \to a} f(x) = -\infty

significa que

f(x)

se hace menor que cualquier número que puedas decir.

Las versiones laterales funcionan igual:

\lim_{x \to a^-} f(x) = \infty

solo mira

x < a

, y

\lim_{x \to a^+} f(x) = -\infty

solo mira

x > a

Importante:

\infty

no es un número. Escribir

\lim_{x \to a} f(x) = \infty

te dice *cómo* el límite deja de existir como número real: los valores se disparan en dirección positiva. El límite no existe como número.

Asíntota vertical: la recta

x = a

es una asíntota vertical de

f

si al menos uno de los límites laterales en

a

\infty

-\infty

. En una función racional

\frac{p(x)}{q(x)}

esto ocurre donde

q(a) = 0

pero

p(a) \neq 0

Análisis de signos: cuando el numerador tiende a un número distinto de cero y el denominador tiende a

0

, el cociente crece sin límite en valor absoluto. Su signo sale de los signos de las dos partes:

positivo entre un número positivo pequeño: $\infty$
positivo entre un número negativo pequeño: $-\infty$
negativo entre un número positivo pequeño: $-\infty$
negativo entre un número negativo pequeño: $\infty$

Pruébalo ahora

Halla

\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2}

Ejemplos resueltos

Halla $\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2}$ .

Prueba la sustitución directa

$\frac{1}{(2-2)^2} = \frac{1}{0}$ : el numerador es $1$ , el denominador es $0$ → No es un número: hay que mirar más de cerca

Tabla de valores por la izquierda

$x = 1{,}9$ : $\frac{1}{0{,}01} = 100$ ; $x = 1{,}99$ : $\frac{1}{0{,}0001} = 10000$ → Los valores crecen sin límite

Tabla de valores por la derecha

$x = 2{,}1$ : $100$ ; $x = 2{,}01$ : $10000$ → Los valores crecen sin límite

Usa el signo

$(x-2)^2$ es un cuadrado, así que es positivo a ambos lados de $2$ → Los dos límites laterales son $\infty$

Respuesta: $\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2} = \infty$ . Ambos lados se disparan en la misma dirección, así que escribimos $\infty$ para el límite, y $x = 2$ es una asíntota vertical.

Errores comunes

Decir «el límite existe y vale $\infty$ »

Por qué está mal: $\infty$ no es un número real. Escribir $= \infty$ solo describe cómo crece la función; el límite no existe como número.

Correcto: Di « $f(x)$ crece sin límite cuando $x \to a$ » o «el límite es $\infty$ », y recuerda que un límite igual a $\infty$ no es un límite que exista.

Escribir $\lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2} = \infty$

Por qué está mal: Por la izquierda los valores tienden a $-\infty$ y por la derecha a $\infty$ . Solo puedes escribir $\infty$ para el límite cuando ambos lados tienden a $\infty$ .

Correcto: Da los dos límites laterales ( $-\infty$ y $\infty$ ) y di que el límite en $2$ no existe.

Pensar que cada cero del denominador es una asíntota vertical

Por qué está mal: Si el numerador también vale $0$ ahí, la expresión tiene la forma $\frac{0}{0}$ y puede simplificarse. Entonces el límite puede ser un número y la gráfica solo tiene un hueco.

Correcto: Comprueba primero el numerador: denominador $0$ y numerador distinto de $0$ significa asíntota vertical; los dos $0$ significa simplificar y volver a mirar.

Elegir el signo mirando solo el denominador

Por qué está mal: Un numerador negativo cambia el resultado: $\frac{-5}{\text{positivo pequeño}}$ tiende a $-\infty$ , no a $\infty$ .

Correcto: Halla el signo del numerador y el del denominador en el lado que estudias y combínalos como en una división.

Visual interactivo

Gráfica de la función

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Toca un nombre para mostrar u ocultar su gráfica.

Asíntota

Tabla de valores

x	1,9	1,99	2	2,01	2,1
1/(x - 2)	-10	-100	no def.	100	10
1/(x - 2)²	100	10000	no def.	10000	100

Gráfica de la función

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

y = (x - 2)/(x² - x - 2)Asíntota

Tabla de valores

x	-1,1	-1,01	-0,99	-0,9	1,99	2,01
y	-10	-100	100	10	0,334448	0,332226

Sandbox interactivo

Graficador interactivo

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Prueba estos ejemplos:

y = 2x + 1

m=2, b=1

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

Aún no hay cálculos

Problemas de práctica

18 problemas

Problema 1 de 18

Fácil

Halla $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2}$ .

Por qué es importante

Los límites infinitos describen situaciones en las que una magnitud se dispara al acercarse a un valor crítico:

Física: la fuerza entre dos cargas, $F = \frac{k}{r^2}$ , crece sin límite cuando la distancia $r$ tiende a $0$
Óptica: cuando un objeto se coloca cerca del foco de una lente, la imagen se aleja infinitamente
Medio ambiente: el coste o el tiempo necesario para eliminar el último tanto por ciento de un contaminante suele crecer sin límite al acercarse al 100 %
Gráficas: los límites infinitos te dicen exactamente dónde están las asíntotas verticales de una función racional y hacia dónde va la gráfica a cada lado

En cálculo usarás los límites infinitos para dibujar gráficas, describir discontinuidades y trabajar con integrales impropias.

Aplicaciones del mundo real

La fuerza eléctrica a distancias cortas

La fuerza entre dos partículas cargadas es inversamente proporcional al cuadrado de su distancia, así que crece sin límite cuando la distancia se reduce a cero.

Ejemplo:

Con $F(r) = \frac{100}{r^2}$ (en newtons, $r$ en metros), reducir la distancia a la mitad multiplica la fuerza por cuatro, y $\lim_{r \to 0^+} F(r) = \infty$ .

1Inténtalo tú mismo

Dos partículas cargadas se repelen con una fuerza de $F(r) = \frac{100}{r^2}$ newtons, donde $r$ es la distancia en metros.

¿Cuál es la fuerza, en newtons, a una distancia de $r = 0{,}1$ metros?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $F(0{,}1)$ :

Eliminar las últimas impurezas

Depurar agua es cada vez más difícil cuanto más te acercas a la pureza total. Los modelos del esfuerzo suelen tener una asíntota vertical en el 100 %.

Ejemplo:

Si filtrar el $p$ por ciento de las impurezas tarda $T(p) = \frac{50p}{100-p}$ minutos, entonces $T(50) = 50$ minutos, pero $T(90) = 450$ minutos.

2Inténtalo tú mismo

Un filtro necesita $T(p) = \frac{50p}{100-p}$ minutos para eliminar el $p$ por ciento de las impurezas de un depósito de agua.

¿A qué tiende $T(p)$ cuando $p \to 100^-$ ?

Paso 1: Elige la respuesta correcta

Elige el valor de $\lim_{p \to 100^-} T(p)$ :

Imágenes formadas por una lente

En una lente de distancia focal $f$, la distancia de la imagen es $d_i = \frac{f \, d_o}{d_o - f}$. Cuando el objeto se acerca al foco, la imagen se aleja infinitamente.

Ejemplo:

Para $f = 10$ cm: un objeto a $d_o = 20$ cm da una imagen a $d_i = \frac{200}{10} = 20$ cm, y $\lim_{d_o \to 10^+} d_i = \infty$ .

3Inténtalo tú mismo

Una lupa tiene una distancia focal de $10$ cm, así que la distancia de la imagen es $d_i = \frac{10 \, d_o}{d_o - 10}$ cm.

¿Cuál es la distancia de la imagen, en cm, cuando el objeto está a $d_o = 11$ cm?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $d_i$ para $d_o = 11$ :

Puntos clave

1 $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ significa que $f(x)$ crece sin límite cuando $x$ tiende a $a$ ; $-\infty$ significa que decrece sin límite
2 $\infty$ no es un número: un límite igual a $\infty$ o $-\infty$ no existe como número real
3Si el numerador tiende a un número distinto de cero y el denominador a $0$ , el límite es infinito; el análisis de signos decide entre $\infty$ y $-\infty$
4Estudia cada lado por separado: si la izquierda y la derecha van en direcciones distintas, el límite no existe y no se escribe $\infty$
5 $x = a$ es una asíntota vertical cuando al menos un límite lateral en $a$ es $\infty$ o $-\infty$
6Un cero del denominador donde el numerador también vale $0$ puede ser un hueco y no una asíntota: simplifica primero

Preguntas frecuentes

No. Un límite solo existe cuando es un número real. Escribir

\lim_{x \to a} f(x) = \infty

es una forma más precisa de decir «el límite no existe porque los valores crecen sin límite en dirección positiva».

Glosario

Límite infinito: Un límite en el que $f(x)$ crece (o decrece) sin límite cuando $x \to a$ ; se escribe $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ o $-\infty$
Asíntota vertical: Una recta vertical $x = a$ a la que se acerca la gráfica mientras sus valores tienden a $\infty$ o $-\infty$ al menos por un lado
Análisis de signos: Averiguar si el numerador y el denominador son positivos o negativos cerca de $a$ para decidir entre $\infty$ y $-\infty$
Crece sin límite: Se hace mayor que cualquier número que puedas decir; eso es lo que significa $\to \infty$
No existe: El límite no es un número real, por ejemplo porque los valores se disparan o porque los dos lados no coinciden

Tarjeta de fórmulas

Criterio de límite infinito

\lim_{x \to a^{\pm}} \frac{p(x)}{q(x)} = \pm\infty \text{ si } p(a) \neq 0,\ q(a) = 0

Numerador distinto de cero sobre un denominador que tiende a $0$: cada límite lateral es $\infty$ o $-\infty$, según los signos; el límite en $a$ solo es $\pm\infty$ si los dos lados coinciden

Potencia impar

\lim_{x \to a^-} \frac{1}{x-a} = -\infty, \quad \lim_{x \to a^+} \frac{1}{x-a} = \infty

Los dos lados van en direcciones opuestas, así que el límite en $a$ no existe

Potencia par

\lim_{x \to a} \frac{1}{(x-a)^2} = \infty

Un cuadrado es positivo a ambos lados, así que los dos lados tienden a $\infty$

Asíntota vertical

x = a \text{ si } \lim_{x \to a^-} f(x) \text{ o } \lim_{x \to a^+} f(x) \text{ es } \pm\infty

Basta con un límite lateral infinito

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