Un término que se desvanece

Calcula $\lim_{x \to \infty} \left(3 + \frac{5}{x^2}\right)$.

Prueba algunos valores grandes de x: $x = 10$: $3 + \frac{5}{100} = 3{,}05$; $x = 100$: $3 + \frac{5}{10000} = 3{,}0005$ = Los valores se acercan a $3$

Usa la regla básica: $\frac{5}{x^2} = 5 \cdot \frac{1}{x^2}$ y $\frac{1}{x^2} \to 0$ = $\frac{5}{x^2} \to 0$

Suma los límites: $3 + 0$ = $3$

Answer: $\lim_{x \to \infty} \left(3 + \frac{5}{x^2}\right) = 3$, así que $y = 3$ es una asíntota horizontal.

Grados iguales: cociente de coeficientes principales

Calcula $\lim_{x \to \infty} \frac{6x^2 - 1}{2x^2 + 5}$.

Compara los grados: Numerador: grado $2$. Denominador: grado $2$ = Grados iguales

Divide cada término entre $x^2$: $\frac{6x^2 - 1}{2x^2 + 5} = \frac{6 - \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{5}{x^2}}$ = Solo cambian las fracciones con $x$ en el denominador

Deja que x crezca sin límite: $\frac{1}{x^2} \to 0$ y $\frac{5}{x^2} \to 0$, así que la expresión tiende a $\frac{6 - 0}{2 + 0}$ = $\frac{6}{2} = 3$

Comprueba con un valor grande: $x = 100$: $\frac{59999}{20005} \approx 2{,}9992$ = Muy cerca de $3$

Answer: $\lim_{x \to \infty} \frac{6x^2 - 1}{2x^2 + 5} = 3$. La asíntota horizontal es $y = 3$.

Grado menor en el numerador

Calcula $\lim_{x \to \infty} \frac{3x + 1}{x^2 + 1}$.

Compara los grados: Numerador: grado $1$. Denominador: grado $2$ = El denominador crece más rápido

Divide cada término entre $x^2$: $\frac{\frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}}$ = Numerador $\to 0$, denominador $\to 1$

Halla el límite: $\frac{0 + 0}{1 + 0}$ = $0$

Answer: $\lim_{x \to \infty} \frac{3x + 1}{x^2 + 1} = 0$, así que $y = 0$ (el eje $x$) es la asíntota horizontal. Para $x = 100$ el valor es $\frac{301}{10001} \approx 0{,}03$.

Hacia menos infinito

Calcula $\lim_{x \to -\infty} \frac{4x^3 - x}{2 - 8x^3}$.

Encuentra los términos principales: Numerador: $4x^3$. Denominador: $-8x^3$ (la mayor potencia, aunque esté escrita al final) = Los dos tienen grado $3$

Divide cada término entre $x^3$: $\frac{4 - \frac{1}{x^2}}{\frac{2}{x^3} - 8}$ = Las fracciones pequeñas también tienden a $0$ cuando $x \to -\infty$

Haz el cociente de los coeficientes principales: $\frac{4}{-8}$ = $-\frac{1}{2}$

Comprueba con un valor: $x = -10$: $\frac{-3990}{8002} \approx -0{,}4986$ = Cerca de $-0{,}5$

Answer: $\lim_{x \to -\infty} \frac{4x^3 - x}{2 - 8x^3} = -\frac{1}{2}$. La asíntota horizontal es $y = -\frac{1}{2}$ (en los dos extremos).

Grado mayor en el numerador: no hay límite finito

Describe $\lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{x^2 + 1}$.

Compara los grados: Numerador: grado $3$. Denominador: grado $2$ = El numerador crece más rápido

Divide cada término entre $x^2$: $\frac{x}{1 + \frac{1}{x^2}}$ = El denominador $\to 1$, pero el numerador $x$ sigue creciendo

Prueba valores grandes: $x = 10$: $\frac{1000}{101} \approx 9{,}9$; $x = 100$: $\frac{1000000}{10001} \approx 99{,}99$ = Los valores crecen sin límite

Answer: No hay límite finito: $\frac{x^3}{x^2 + 1}$ crece sin límite, lo que se escribe $\lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{x^2 + 1} = \infty$. La gráfica no tiene asíntota horizontal. (Ampliación más allá de esta lección: muy a la derecha, la gráfica sigue la recta inclinada $y = x$.)

Mistake: Sustituir el infinito: $\frac{\infty}{\infty} = 1$

Why: $\infty$ no es un número, así que no puedes sustituirlo ni simplificarlo. El numerador y el denominador pueden crecer a velocidades muy distintas: es una indeterminación.

Correct: Divide primero entre la mayor potencia de $x$. Para $\frac{6x^2 - 1}{2x^2 + 5}$ el límite es $3$, no $1$.

Mistake: Usar el primer coeficiente escrito en lugar del principal: $\frac{4x^3 - x}{2 - 8x^3} \to \frac{4}{2} = 2$

Why: El coeficiente principal pertenece al término de mayor potencia, esté donde esté en la expresión.

Correct: El término principal de $2 - 8x^3$ es $-8x^3$, así que el límite es $\frac{4}{-8} = -\frac{1}{2}$.

Mistake: Intercambiar las reglas: "grado menor arriba significa que no hay límite"

Why: Cuando el denominador tiene el grado mayor, crece mucho más rápido y empuja la fracción hacia $0$.

Correct: Grado menor arriba: límite $0$. Grado mayor arriba: no hay límite finito. Grados iguales: cociente de los coeficientes principales.

Mistake: Creer que una gráfica nunca puede cortar su asíntota horizontal

Why: Una asíntota horizontal solo describe la gráfica muy a la izquierda y muy a la derecha. En el centro la curva puede cortarla.

Correct: $y = \frac{3x + 1}{x^2 + 1}$ tiene la asíntota $y = 0$ y aun así la corta en $x = -\frac{1}{3}$.

Un café que se enfría

La ley de enfriamiento de Newton dice que una bebida caliente se enfría hacia la temperatura de la habitación. La temperatura a largo plazo es un límite en el infinito.

Una taza de té sigue $T(t) = 22 + 60e^{-0{,}05t}$ (grados Celsius, $t$ en minutos). Como $e^{-0{,}05t} \to 0$, el té se acerca a $22°C$.

Coste medio en un taller

Los costes fijos (alquiler, máquinas) se reparten entre todas las unidades producidas. Cuantas más unidades, menor es la parte de cada una, así que el coste medio se acerca al coste del material por unidad.

Una pastelería con 300 dólares de costes fijos diarios y 2 dólares de ingredientes por tarta tiene un coste medio $\frac{300 + 2x}{x}$, que se acerca a 2 dólares por tarta.

Concentración de sal en un tanque

Los ingenieros químicos modelan cómo cambia una mezcla con el tiempo. Cuando entra agua salada sin parar en un tanque, la concentración se estabiliza en un valor fijo.

Si la sal de un tanque crece como $50t$ gramos y el volumen es $100 + 2t$ litros, la concentración $\frac{50t}{100 + 2t}$ tiende a $\frac{50}{2} = 25$ gramos por litro.

Q: ¿Puedo sustituir simplemente un número muy grande en lugar de calcular el límite?

A: Un número grande como $x = 1000$ es una buena comprobación y muestra la tendencia, pero no es una demostración. El cálculo (dividir entre la mayor potencia) te da el valor exacto, por ejemplo exactamente $3$ en lugar de $2{,}9992$.

Q: ¿Son siempre iguales los límites en $\infty$ y en $-\infty$?

A: En las funciones racionales con límite finito, sí: los dos extremos dan la misma asíntota horizontal. Otras funciones pueden ser distintas. Por ejemplo, $e^{-x} \to 0$ cuando $x \to \infty$, pero $e^{-x}$ crece sin límite cuando $x \to -\infty$.

Q: ¿Puede una gráfica cortar su asíntota horizontal?

A: Sí. La asíntota solo describe el comportamiento muy a la izquierda o muy a la derecha. La gráfica de $\frac{3x + 1}{x^2 + 1}$ corta $y = 0$ en $x = -\frac{1}{3}$ y después se vuelve a acercar a ella.

Q: ¿Qué pasa si el grado del numerador es exactamente uno más que el del denominador?

A: Esto es una ampliación que va más allá de esta lección. En ese caso no hay asíntota horizontal, pero la gráfica se acerca a una recta inclinada (una asíntota oblicua). Para $\frac{x^3}{x^2 + 1}$ esa recta es $y = x$. Se encuentra con la división de polinomios.