¿Son siempre iguales los límites en $\infty$ y en $-\infty$?

En las funciones racionales con límite finito, sí: los dos extremos dan la misma asíntota horizontal. Otras funciones pueden ser distintas. Por ejemplo, $e^{-x} \to 0$ cuando $x \to \infty$, pero $e^{-x}$ crece sin límite cuando $x \to -\infty$.

¿Puede una gráfica cortar su asíntota horizontal?

Sí. La asíntota solo describe el comportamiento muy a la izquierda o muy a la derecha. La gráfica de $\frac{3x + 1}{x^2 + 1}$ corta $y = 0$ en $x = -\frac{1}{3}$ y después se vuelve a acercar a ella.

¿Qué pasa si el grado del numerador es exactamente uno más que el del denominador?

Esto es una ampliación que va más allá de esta lección. En ese caso no hay asíntota horizontal, pero la gráfica se acerca a una recta inclinada (una asíntota oblicua). Para $\frac{x^3}{x^2 + 1}$ esa recta es $y = x$. Se encuentra con la división de polinomios.

Recursos para profesores

Límites en el infinito

Q: ¿Puedo sustituir simplemente un número muy grande en lugar de calcular el límite?

Un número grande como $x = 1000$ es una buena comprobación y muestra la tendencia, pero no es una demostración. El cálculo (dividir entre la mayor potencia) te da el valor exacto, por ejemplo exactamente $3$ en lugar de $2{,}9992$.

Descubre a qué valor tiende una función cuando x crece sin límite, compara los grados de las funciones racionales y relaciona los límites en el infinito con las asíntotas horizontales.

Avanzado30 minLección

Ficha imprimible

Definición

Un límite en el infinito describe qué ocurre con

f(x)

cuando

x

crece sin límite (o decrece sin límite).

\lim_{x \to \infty} f(x) = L

significa: cuando

x

toma valores cada vez mayores (

10, 100, 1000, \ldots

), los valores

f(x)

se acercan a

L

tanto como queramos. Del mismo modo,

\lim_{x \to -\infty} f(x) = L

mira los valores

x = -10, -100, -1000, \ldots

Cuando existe un límite finito así, la recta

y = L

es una asíntota horizontal de la gráfica.

La pieza básica: para cualquier exponente positivo

n

\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^n} = 0

Un número fijo dividido entre un número enorme es diminuto. Además,

\lim_{x \to \infty} e^{-x} = 0

, porque

e^{-x} = \frac{1}{e^x}

Funciones racionales: compara el grado del numerador (

n

) con el grado del denominador (

m

$n < m$ : el límite es $0$ (asíntota $y = 0$ )
$n = m$ : el límite es el cociente de los coeficientes principales
$n > m$ : no hay límite finito (no hay asíntota horizontal)

Por qué funciona: divide cada término entre la mayor potencia de

x

del denominador. Cada término de la forma

\frac{c}{x^k}

tiende a

0

y solo quedan los términos principales. Por ejemplo,

\frac{2x^2 + 1}{x^2 + 3} = \frac{2 + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{3}{x^2}} \to \frac{2}{1} = 2

Pruébalo ahora

Calcula

\lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^3}

Ejemplos resueltos

Calcula $\lim_{x \to \infty} \left(3 + \frac{5}{x^2}\right)$ .

Prueba algunos valores grandes de x

$x = 10$ : $3 + \frac{5}{100} = 3{,}05$ ; $x = 100$ : $3 + \frac{5}{10000} = 3{,}0005$ → Los valores se acercan a $3$

Usa la regla básica

$\frac{5}{x^2} = 5 \cdot \frac{1}{x^2}$ y $\frac{1}{x^2} \to 0$ → $\frac{5}{x^2} \to 0$

Suma los límites

$3 + 0$ → $3$

Respuesta: $\lim_{x \to \infty} \left(3 + \frac{5}{x^2}\right) = 3$ , así que $y = 3$ es una asíntota horizontal.

Errores comunes

Sustituir el infinito: $\frac{\infty}{\infty} = 1$

Por qué está mal: $\infty$ no es un número, así que no puedes sustituirlo ni simplificarlo. El numerador y el denominador pueden crecer a velocidades muy distintas: es una indeterminación.

Correcto: Divide primero entre la mayor potencia de $x$ . Para $\frac{6x^2 - 1}{2x^2 + 5}$ el límite es $3$ , no $1$ .

Usar el primer coeficiente escrito en lugar del principal: $\frac{4x^3 - x}{2 - 8x^3} \to \frac{4}{2} = 2$

Por qué está mal: El coeficiente principal pertenece al término de mayor potencia, esté donde esté en la expresión.

Correcto: El término principal de $2 - 8x^3$ es $-8x^3$ , así que el límite es $\frac{4}{-8} = -\frac{1}{2}$ .

Intercambiar las reglas: "grado menor arriba significa que no hay límite"

Por qué está mal: Cuando el denominador tiene el grado mayor, crece mucho más rápido y empuja la fracción hacia $0$ .

Correcto: Grado menor arriba: límite $0$ . Grado mayor arriba: no hay límite finito. Grados iguales: cociente de los coeficientes principales.

Creer que una gráfica nunca puede cortar su asíntota horizontal

Por qué está mal: Una asíntota horizontal solo describe la gráfica muy a la izquierda y muy a la derecha. En el centro la curva puede cortarla.

Correcto: $y = \frac{3x + 1}{x^2 + 1}$ tiene la asíntota $y = 0$ y aun así la corta en $x = -\frac{1}{3}$ .

Visual interactivo

Gráfica de la función

a = 2

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

y = (a·x² + 1)/(x² + 3)Asíntota

Tabla de valores

x	-1000	-100	-10	0	10	100	1000
y	2	1,9995	1,95146	0,333333	1,95146	1,9995	2

Gráfica de la función

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Toca un nombre para mostrar u ocultar su gráfica.

Asíntota

Tabla de valores

x	10	100	1000
grado 1 / grado 2	0,306931	0,030097	0,003001
grado 2 / grado 2	2,92195	2,9992	2,99999
grado 3 / grado 2	9,90099	99,99	999,999
2 + 5e^(−x)	2,00023	2	2

Sandbox interactivo

Graficador interactivo

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Prueba estos ejemplos:

y = 2x + 1

m=2, b=1

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

Aún no hay cálculos

Problemas de práctica

18 problemas

Problema 1 de 18

Fácil

Calcula $\lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^3}$ .

Por qué es importante

Los límites en el infinito responden a la pregunta "¿qué pasa a largo plazo?":

Ciencias: un café caliente se enfría hacia la temperatura de la habitación; el límite de su modelo de temperatura es esa temperatura ambiente
Economía: el coste medio por unidad baja hacia el coste del material cuando la producción crece, porque los costes fijos se reparten entre muchas unidades
Medicina y química: las concentraciones en un tanque de mezcla o en la sangre se estabilizan en un nivel fijo
Representar gráficas: las asíntotas horizontales muestran de un vistazo el comportamiento en el infinito de las funciones racionales
Cálculo: las integrales impropias, las series y muchos modelos de la física se basan en límites en el infinito

Esta lección se apoya en las lecciones «Introducción a los límites» y «Notación de límites»: allí conociste el símbolo

x \to \infty

, aquí aprendes a calcular estos límites de forma rápida y segura.

Aplicaciones del mundo real

Un café que se enfría

La ley de enfriamiento de Newton dice que una bebida caliente se enfría hacia la temperatura de la habitación. La temperatura a largo plazo es un límite en el infinito.

Ejemplo:

Una taza de té sigue $T(t) = 22 + 60e^{-0{,}05t}$ (grados Celsius, $t$ en minutos). Como $e^{-0{,}05t} \to 0$ , el té se acerca a $22°C$ .

1Inténtalo tú mismo

Un café recién hecho tiene la temperatura $T(t) = 20 + 70e^{-0{,}1t}$ grados Celsius después de $t$ minutos.

¿A qué temperatura se acerca el café a largo plazo?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $\lim_{t \to \infty} T(t)$ :

Coste medio en un taller

Los costes fijos (alquiler, máquinas) se reparten entre todas las unidades producidas. Cuantas más unidades, menor es la parte de cada una, así que el coste medio se acerca al coste del material por unidad.

Ejemplo:

Una pastelería con 300 dólares de costes fijos diarios y 2 dólares de ingredientes por tarta tiene un coste medio $\frac{300 + 2x}{x}$ , que se acerca a 2 dólares por tarta.

2Inténtalo tú mismo

Un taller de cerámica tiene unos costes fijos de 5000 dólares, y cada taza cuesta 12 dólares en arcilla y esmalte. El coste medio de $x$ tazas es $C(x) = \frac{5000 + 12x}{x}$ dólares.

¿A qué tiende el coste medio por taza cuando el número de tazas crece sin límite?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $\lim_{x \to \infty} C(x)$ en dólares:

Concentración de sal en un tanque

Los ingenieros químicos modelan cómo cambia una mezcla con el tiempo. Cuando entra agua salada sin parar en un tanque, la concentración se estabiliza en un valor fijo.

Ejemplo:

Si la sal de un tanque crece como $50t$ gramos y el volumen es $100 + 2t$ litros, la concentración $\frac{50t}{100 + 2t}$ tiende a $\frac{50}{2} = 25$ gramos por litro.

3Inténtalo tú mismo

Un tanque contiene 200 litros de agua pura. Entra agua salada con 30 gramos de sal por litro a 4 litros por minuto (y no sale nada). Después de $t$ minutos la concentración es $C(t) = \frac{120t}{200 + 4t}$ gramos por litro.

¿A qué concentración se acerca el tanque a largo plazo?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $\lim_{t \to \infty} C(t)$ en gramos por litro:

Puntos clave

1 $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ significa que $f(x)$ se acerca a $L$ tanto como queramos cuando $x$ crece sin límite; $x \to -\infty$ funciona igual hacia la izquierda
2Hechos básicos: $\frac{1}{x^n} \to 0$ para cualquier $n$ positivo cuando $x \to \pm\infty$ , y $e^{-x} \to 0$ cuando $x \to \infty$
3Para hallar el límite de una función racional, divide cada término entre la mayor potencia de $x$ del denominador
4Grado menor arriba: límite $0$ . Grados iguales: cociente de los coeficientes principales. Grado mayor arriba: no hay límite finito
5Un límite finito $L$ en el infinito significa que $y = L$ es una asíntota horizontal; aun así la gráfica puede cortarla en el centro
6Nunca sustituyas $\infty$ : expresiones como $\frac{\infty}{\infty}$ son indeterminaciones

Preguntas frecuentes

Un número grande como

x = 1000

es una buena comprobación y muestra la tendencia, pero no es una demostración. El cálculo (dividir entre la mayor potencia) te da el valor exacto, por ejemplo exactamente

3

en lugar de

2{,}9992

Glosario

Límite en el infinito: El valor $L$ al que tiende $f(x)$ cuando $x \to \infty$ o $x \to -\infty$ , escrito $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$
Asíntota horizontal: Una recta horizontal $y = L$ a la que se acerca la gráfica muy a la izquierda o muy a la derecha, donde $L$ es un límite en el infinito
Grado: La mayor potencia de $x$ en un polinomio, por ejemplo $3$ en $4x^3 - x$
Término principal: El término con la mayor potencia de $x$ ; su número es el coeficiente principal (en $2 - 8x^3$ el término principal es $-8x^3$ )
Comportamiento en el infinito: Cómo se comportan los valores de una función cuando $x$ crece sin límite en cualquiera de las dos direcciones

Tarjeta de fórmulas

Inversos de potencias

\lim_{x \to \pm\infty} \frac{c}{x^n} = 0 \quad (n > 0)

Un número fijo dividido entre una potencia cada vez mayor se acerca a cero

Decaimiento exponencial

\lim_{x \to \infty} e^{-x} = 0

Porque $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$ y $e^x$ crece sin límite

Grado menor arriba

n < m: \ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{a_n x^n + \cdots}{b_m x^m + \cdots} = 0

Asíntota horizontal $y = 0$

Grados iguales

n = m: \ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{a_n x^n + \cdots}{b_m x^m + \cdots} = \frac{a_n}{b_m}

Asíntota horizontal en el cociente de los coeficientes principales

Grado mayor arriba

n > m: \ \text{no hay límite finito}

Los valores crecen sin límite en valor absoluto, no hay asíntota horizontal

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Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Visual interactivo

Gráfica de la función

Tabla de valores

Gráfica de la función

Tabla de valores

Sandbox interactivo

Graficador interactivo

Calculadora de expresiones

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Problemas de práctica

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Un café que se enfría

Coste medio en un taller

Concentración de sal en un tanque

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Inversos de potencias

Decaimiento exponencial

Grado menor arriba

Grados iguales

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