Un hueco por un factor que se simplifica

Clasifica la discontinuidad de $f(x) = \frac{x^2 - x - 2}{x - 2}$ en $x = 2$ y evítala.

Comprueba dónde $f$ no está definida: El denominador $x - 2$ vale $0$ en $x = 2$ = $f(2)$ no está definida

Factoriza el numerador: $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$ = $f(x) = \frac{(x - 2)(x + 1)}{x - 2}$

Simplifica el factor común: $f(x) = x + 1$ para todo $x \neq 2$ = El factor $(x - 2)$ se simplifica por completo

Calcula el límite: $\lim_{x \to 2} f(x) = 2 + 1$ = $= 3$, un límite finito

Clasifica y arregla: El límite existe y $f(2)$ no: hueco en $(2, 3)$. Define $f(2) = 3$. = Discontinuidad evitable

Answer: Discontinuidad evitable (hueco) en $(2, 3)$. Con $f(2) = 3$, $f$ pasa a ser continua.

Un hueco con un valor equivocado

Sea $g(x) = x^2$ para $x \neq 1$ y $g(1) = 4$. ¿Qué tipo de discontinuidad hay en $x = 1$?

Calcula el límite: Cerca de $x = 1$ la regla es $x^2$, así que $\lim_{x \to 1} g(x) = 1^2$ = $= 1$

Mira el valor de la función: La definición dice $g(1) = 4$ = $g(1) = 4$

Compara: $\lim_{x \to 1} g(x) = 1 \neq 4 = g(1)$ = El límite existe pero no coincide con $g(1)$

Clasifica y arregla: El punto $(1, 4)$ está separado de la curva; redefine $g(1) = 1$ = Discontinuidad evitable

Answer: Discontinuidad evitable en $x = 1$: hay un hueco en $(1, 1)$ y un punto aislado en $(1, 4)$. Redefinir $g(1) = 1$ la elimina.

Medir un salto

Sea $h(x) = x + 2$ para $x < 1$ y $h(x) = x^2 + 5$ para $x \geq 1$. Clasifica la discontinuidad en $x = 1$ y halla el tamaño del salto.

Límite por la izquierda (regla para $x < 1$): $\lim_{x \to 1^-} (x + 2) = 1 + 2$ = $= 3$

Límite por la derecha (regla para $x \geq 1$): $\lim_{x \to 1^+} (x^2 + 5) = 1 + 5$ = $= 6$

Compara los límites laterales: Los dos son finitos, pero $3 \neq 6$ = Discontinuidad de salto

Tamaño del salto: $|6 - 3|$ = $= 3$

Answer: Discontinuidad de salto en $x = 1$, con tamaño $3$. El valor $h(1) = 6$ no importa: ningún valor de $h(1)$ puede cerrar el salto.

Una discontinuidad infinita

Clasifica la discontinuidad de $k(x) = \frac{x + 3}{x - 4}$ en $x = 4$.

Sustituye $x = 4$: Numerador $4 + 3 = 7$, denominador $4 - 4 = 0$ = $\frac{7}{0}$: un número distinto de cero entre cero

Acércate por la derecha: $k(4{,}01) = \frac{7{,}01}{0{,}01} = 701$ = $\lim_{x \to 4^+} k(x) = \infty$

Acércate por la izquierda: $k(3{,}99) = \frac{6{,}99}{-0{,}01} = -699$ = $\lim_{x \to 4^-} k(x) = -\infty$

Clasifica: Los límites laterales son infinitos = Discontinuidad infinita, asíntota vertical $x = 4$

Answer: Discontinuidad infinita en $x = 4$: la gráfica tiene la asíntota vertical $x = 4$.

Huecos y asíntotas en una misma función

Encuentra y clasifica todas las discontinuidades de $r(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6}$.

Factoriza las dos partes: $r(x) = \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(x + 2)}$ = No definida en $x = 3$ ni en $x = -2$

Simplifica el factor común: $r(x) = \frac{x + 3}{x + 2}$ para $x \neq 3$ = $(x - 3)$ se simplifica, $(x + 2)$ se queda

Estudia $x = 3$: $\lim_{x \to 3} r(x) = \frac{3 + 3}{3 + 2}$ = $= \frac{6}{5}$: hueco en $\left(3, \frac{6}{5}\right)$

Estudia $x = -2$: Numerador simplificado $-2 + 3 = 1 \neq 0$, denominador $0$ = Asíntota vertical $x = -2$

Answer: Discontinuidad evitable (hueco) en $\left(3, \frac{6}{5}\right)$ y discontinuidad infinita en $x = -2$.

Mistake: Dibujar una asíntota vertical en cada cero del denominador

Why: Un cero del denominador también puede ser un hueco. En $\frac{x^2 - x - 2}{x - 2}$ el factor $(x - 2)$ se simplifica, así que no hay asíntota en $x = 2$.

Correct: Primero factoriza y simplifica. Solo los factores que quedan en el denominador dan asíntotas verticales; los factores simplificados dan huecos.

Mistake: Llamar evitable a un salto porque existen los dos límites laterales

Why: Evitable exige que exista el límite, y eso solo ocurre si los dos lados coinciden. En un salto son números distintos.

Correct: Límites laterales iguales: evitable (o continua). Límites laterales finitos y distintos: salto.

Mistake: Usar $f(a)$ como altura del hueco

Why: En un hueco, $f(a)$ falta o es incorrecto. El hueco está a la altura del límite.

Correct: La coordenada $y$ de un hueco se obtiene sustituyendo $x = a$ en la función simplificada: el hueco de $\frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6}$ está en $\left(3, \frac{6}{5}\right)$.

Mistake: Creer que un factor simplificado siempre da un hueco, aunque aparezca dos veces en el denominador

Why: En $\frac{x - 1}{(x - 1)^2}$ solo se simplifica un factor; queda $\frac{1}{x - 1}$, que sigue disparándose en $x = 1$.

Correct: Simplifica todo lo posible y luego comprueba: si $(x - a)$ sigue en el denominador, es una discontinuidad infinita.

Tarifas de aparcamiento (saltos)

Los aparcamientos cobran por hora empezada, así que el precio es constante dentro de cada hora y salta en cada hora completa.

Un aparcamiento cobra 4 dólares hasta 1 hora y 7 dólares por más de 1 hora y hasta 2 horas. En $t = 1$ el precio salta 3 dólares.

Lentes e imágenes en el infinito

En una lente de distancia focal $10$ cm, un objeto a distancia $u$ produce una imagen a distancia $v(u) = \frac{10u}{u - 10}$. Cuando el objeto llega al foco, la imagen se va al infinito.

Con $u = 15$ cm la imagen está en $v = \frac{150}{5} = 30$ cm. Con $u = 10{,}1$ cm ya está en $v = \frac{101}{0{,}1} = 1010$ cm.

Arreglar una división entre cero en un programa

Los programas calculan a menudo una tasa de variación media $\frac{f(t) - f(a)}{t - a}$. En $t = a$ la fórmula da $\frac{0}{0}$ y el programa falla, aunque los valores cercanos son perfectamente suaves: es una discontinuidad evitable.

Para $f(t) = t^2$ y $a = 3$, la tasa $\frac{t^2 - 9}{t - 3}$ se simplifica a $t + 3$, así que la programadora guarda el valor $6$ para $t = 3$.

Q: ¿Por qué se llama evitable a un hueco?

A: Porque basta un punto para repararlo. El límite $L$ ya existe, así que definir (o redefinir) $f(a) = L$ hace que se cumpla $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ y la función pasa a ser continua en $a$.

Q: ¿Se puede evitar alguna vez una discontinuidad de salto?

A: No. Por la izquierda la función tiende a una altura y por la derecha a otra. Le des a $f(a)$ el valor que le des, como mucho coincidirá con un lado, y el límite seguirá sin existir.

Q: ¿El valor de la función en $x = a$ cambia el tipo?

A: No. El tipo depende solo de los límites cerca de $a$. Un salto sigue siendo un salto tanto si $f(a)$ es el valor de la izquierda, el de la derecha o no está definido, y un hueco sigue siendo evitable tanto si $f(a)$ falta como si es incorrecto.

Q: ¿Hay otros tipos de discontinuidad?

A: Sí, pero son menos frecuentes. Por ejemplo, $\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ oscila cada vez más rápido cerca de $x = 0$ y no tiene ningún límite lateral (discontinuidad oscilante). Los saltos y las discontinuidades infinitas y oscilantes son discontinuidades inevitables (también llamadas esenciales).