Tipos de discontinuidad

Aprende a distinguir las discontinuidades evitables (huecos), las de salto y las infinitas, a partir de una gráfica y de una fórmula.

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Definición

Una función ff es continua en x=ax = a cuando lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a). Si esto falla, ff tiene una discontinuidad en x=ax = a. La forma en que falla indica el tipo:
1. Discontinuidad evitable (hueco) El límite existe y es un número finito LL, pero f(a)f(a) no existe o f(a)≠Lf(a) \neq L. La gráfica tiene un único hueco en (a,L)(a, L). Puedes evitarlo redefiniendo f(a)=Lf(a) = L.
2. Discontinuidad de salto Los dos límites laterales son finitos pero distintos:
lim⁡x→a−f(x)≠lim⁡x→a+f(x)\lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)
La gráfica salta de una altura a otra. El tamaño del salto es ∣lim⁡x→a+f(x)−lim⁡x→a−f(x)∣\left| \lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x) \right|. Ningún valor de f(a)f(a) puede arreglar esta discontinuidad.
3. Discontinuidad infinita (asintótica) Al menos uno de los límites laterales es ∞\infty o −∞-\infty. La gráfica tiene una asíntota vertical x=ax = a.
A partir de una fórmula (funciones racionales): factoriza el numerador y el denominador.
  • Un factor (x−a)(x - a) que se simplifica por completo produce un hueco en x=ax = a.
  • Un factor (x−a)(x - a) que queda en el denominador produce una asíntota vertical en x=ax = a.

Pruébalo ahora

¿Qué tipo de discontinuidad tiene f(x)=x2−16x−4f(x) = \frac{x^2 - 16}{x - 4} en x=4x = 4?

Ejemplos resueltos

Clasifica la discontinuidad de f(x)=x2−x−2x−2f(x) = \frac{x^2 - x - 2}{x - 2} en x=2x = 2 y evítala.

1

Comprueba dónde ff no está definida

El denominador x−2x - 2 vale 00 en x=2x = 2 → f(2)f(2) no está definida

2

Factoriza el numerador

x2−x−2=(x−2)(x+1)x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) → f(x)=(x−2)(x+1)x−2f(x) = \frac{(x - 2)(x + 1)}{x - 2}

3

Simplifica el factor común

f(x)=x+1f(x) = x + 1 para todo x≠2x \neq 2 → El factor (x−2)(x - 2) se simplifica por completo

4

Calcula el límite

lim⁡x→2f(x)=2+1\lim_{x \to 2} f(x) = 2 + 1 → =3= 3, un límite finito

5

Clasifica y arregla

El límite existe y f(2)f(2) no: hueco en (2,3)(2, 3). Define f(2)=3f(2) = 3. → Discontinuidad evitable

Errores comunes

Dibujar una asíntota vertical en cada cero del denominador

Por qué está mal: Un cero del denominador también puede ser un hueco. En x2−x−2x−2\frac{x^2 - x - 2}{x - 2} el factor (x−2)(x - 2) se simplifica, así que no hay asíntota en x=2x = 2.

Correcto: Primero factoriza y simplifica. Solo los factores que quedan en el denominador dan asíntotas verticales; los factores simplificados dan huecos.

Llamar evitable a un salto porque existen los dos límites laterales

Por qué está mal: Evitable exige que exista el límite, y eso solo ocurre si los dos lados coinciden. En un salto son números distintos.

Correcto: Límites laterales iguales: evitable (o continua). Límites laterales finitos y distintos: salto.

Usar f(a)f(a) como altura del hueco

Por qué está mal: En un hueco, f(a)f(a) falta o es incorrecto. El hueco está a la altura del límite.

Correcto: La coordenada yy de un hueco se obtiene sustituyendo x=ax = a en la función simplificada: el hueco de x2−9x2−x−6\frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6} está en (3,65)\left(3, \frac{6}{5}\right).

Creer que un factor simplificado siempre da un hueco, aunque aparezca dos veces en el denominador

Por qué está mal: En x−1(x−1)2\frac{x - 1}{(x - 1)^2} solo se simplifica un factor; queda 1x−1\frac{1}{x - 1}, que sigue disparándose en x=1x = 1.

Correcto: Simplifica todo lo posible y luego comprueba: si (x−a)(x - a) sigue en el denominador, es una discontinuidad infinita.

Visual interactivo

Gráfica de la función

-3-2-1012345-20246xy(2; 3)

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

f(x) = (x² − x − 2)/(x − 2)

Tabla de valores

x1,91,9922,012,1
y2,92,99no def.3,013,1

Gráfica de la función

-3-2-101230246xy

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

g(x)
  • En x = 1: por la izquierda y por la derecha g(x) → 1, así que el límite es 1. g(1) = 4.

Tabla de valores

x0,90,9911,011,1
y0,810,980141,02011,21

Gráfica de la función

-3-2-101230510xy

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

h(x)
  • En x = 1: por la izquierda h(x) → 3, por la derecha h(x) → 6. Los valores son distintos, así que el límite no existe (salto). h(1) = 6.

Tabla de valores

x0,90,9911,011,1
y2,92,9966,02016,21

Gráfica de la función

-8-6-4-202468-505xy(3; 1,2)x = -2y = 1

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

r(x) = (x² − 9)/(x² − x − 6)Asíntota

Tabla de valores

x-2,1-2,01-1,99-1,92,993,01
y-9-99101111,20041,1996

Sandbox interactivo

Graficador interactivo

-10-50510-10-50510xy

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Prueba estos ejemplos:

y = 2x + 1

m=2, b=1

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

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Problemas de práctica

18 problemas
Problema 1 de 18
Fácil

¿Qué tipo de discontinuidad tiene f(x)=x2−16x−4f(x) = \frac{x^2 - 16}{x - 4} en x=4x = 4?

Por qué es importante

Saber el tipo de una discontinuidad te dice lo grave que es la ruptura y qué puedes hacer con ella:
  • Los huecos son vacíos inofensivos: la función es predecible a su alrededor y basta redefinir un punto para que sea continua. Los programas que fallan con 00\frac{0}{0} se arreglan muchas veces exactamente así.
  • Los saltos describen cambios bruscos: tarifas de aparcamiento, tarifas de envío, tramos del IRPF e interruptores que se encienden o se apagan.
  • Las discontinuidades infinitas avisan de que una magnitud se dispara: la imagen de una lente que se va al infinito, la resonancia de un puente o una fórmula que divide entre casi cero.
En cálculo, el tipo de discontinuidad decide si un límite existe, si una función se puede integrar en un intervalo y cómo hay que dibujar su gráfica. Representar bien las funciones racionales (huecos o asíntotas) es una de las destrezas más evaluadas antes del cálculo.

Aplicaciones del mundo real

Tarifas de aparcamiento (saltos)

Los aparcamientos cobran por hora empezada, así que el precio es constante dentro de cada hora y salta en cada hora completa.

Ejemplo:

Un aparcamiento cobra 4 dólares hasta 1 hora y 7 dólares por más de 1 hora y hasta 2 horas. En t=1t = 1 el precio salta 3 dólares.

1Inténtalo tú mismo

El mismo aparcamiento cobra 7 dólares por más de 1 hora y hasta 2 horas, y 10 dólares por más de 2 horas y hasta 3 horas. C(t)C(t) es el precio por tt horas.

¿Cuál es el tamaño del salto del precio en t=2t = 2 horas (en dólares)?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Resta el límite por la izquierda del límite por la derecha:

Lentes e imágenes en el infinito

En una lente de distancia focal $10$ cm, un objeto a distancia $u$ produce una imagen a distancia $v(u) = \frac{10u}{u - 10}$. Cuando el objeto llega al foco, la imagen se va al infinito.

Ejemplo:

Con u=15u = 15 cm la imagen está en v=1505=30v = \frac{150}{5} = 30 cm. Con u=10,1u = 10{,}1 cm ya está en v=1010,1=1010v = \frac{101}{0{,}1} = 1010 cm.

2Inténtalo tú mismo

La distancia de la imagen es v(u)=10uu−10v(u) = \frac{10u}{u - 10} (en cm).

¿Para qué distancia del objeto uu (en cm) tiene vv una discontinuidad infinita?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Busca dónde el denominador es cero y el numerador no:

Arreglar una división entre cero en un programa

Los programas calculan a menudo una tasa de variación media $\frac{f(t) - f(a)}{t - a}$. En $t = a$ la fórmula da $\frac{0}{0}$ y el programa falla, aunque los valores cercanos son perfectamente suaves: es una discontinuidad evitable.

Ejemplo:

Para f(t)=t2f(t) = t^2 y a=3a = 3, la tasa t2−9t−3\frac{t^2 - 9}{t - 3} se simplifica a t+3t + 3, así que la programadora guarda el valor 66 para t=3t = 3.

3Inténtalo tú mismo

Un programa calcula R(t)=t2−16t−4R(t) = \frac{t^2 - 16}{t - 4} y falla en t=4t = 4.

¿Qué valor hay que asignar a R(4)R(4) para que RR sea continua?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Simplifica y luego sustituye t=4t = 4:

Puntos clave

  • 1Una discontinuidad en x=ax = a significa que no se cumple lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a)
  • 2Evitable (hueco): el límite LL existe, pero f(a)f(a) falta o es distinto; se arregla con f(a)=Lf(a) = L
  • 3De salto: límites laterales finitos y distintos; tamaño del salto =∣lim⁡x→a+f(x)−lim⁡x→a−f(x)∣= \left| \lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x) \right|
  • 4Infinita: un límite lateral es ±∞\pm\infty; la gráfica tiene la asíntota vertical x=ax = a
  • 5En funciones racionales, factoriza primero: los factores simplificados dan huecos y los que quedan en el denominador dan asíntotas
  • 6La coordenada yy de un hueco sale de la función simplificada, nunca de f(a)f(a)

Preguntas frecuentes

Porque basta un punto para repararlo. El límite LL ya existe, así que definir (o redefinir) f(a)=Lf(a) = L hace que se cumpla lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a) y la función pasa a ser continua en aa.
Porque basta un punto para repararlo. El límite LL ya existe, así que definir (o redefinir) f(a)=Lf(a) = L hace que se cumpla lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a) y la función pasa a ser continua en aa.
No. Por la izquierda la función tiende a una altura y por la derecha a otra. Le des a f(a)f(a) el valor que le des, como mucho coincidirá con un lado, y el límite seguirá sin existir.
No. El tipo depende solo de los límites cerca de aa. Un salto sigue siendo un salto tanto si f(a)f(a) es el valor de la izquierda, el de la derecha o no está definido, y un hueco sigue siendo evitable tanto si f(a)f(a) falta como si es incorrecto.
Sí, pero son menos frecuentes. Por ejemplo, sin⁡(1x)\sin\left(\frac{1}{x}\right) oscila cada vez más rápido cerca de x=0x = 0 y no tiene ningún límite lateral (discontinuidad oscilante). Los saltos y las discontinuidades infinitas y oscilantes son discontinuidades inevitables (también llamadas esenciales).

Glosario

Discontinuidad
Un punto x=ax = a donde no se cumple lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a)
Discontinuidad evitable (hueco)
El límite existe y es finito, pero f(a)f(a) no está definida o es distinta; se arregla redefiniendo un punto
Discontinuidad de salto
Los dos límites laterales son finitos pero no son iguales
Tamaño del salto
La distancia entre los dos límites laterales: ∣lim⁡x→a+f(x)−lim⁡x→a−f(x)∣\left| \lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x) \right|
Discontinuidad infinita
Al menos un límite lateral es ∞\infty o −∞-\infty; la gráfica tiene una asíntota vertical
Asíntota vertical
Una recta vertical x=ax = a a la que se acerca la gráfica mientras sus valores crecen sin límite

Tarjeta de fórmulas

Evitable (hueco)

lim⁡x→af(x)=L\lim_{x \to a} f(x) = L existe, f(a)≠Lf(a) \neq L o no definida

Se arregla con $f(a) = L$

De salto

lim⁡x→a−f(x)≠lim⁡x→a+f(x)\lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x), ambos finitos

Tamaño del salto $= \left| \lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x) \right|$

Infinita

lim⁡x→a±f(x)=±∞\lim_{x \to a^\pm} f(x) = \pm\infty

Asíntota vertical $x = a$

Prueba para funciones racionales

(x−a) p(x)(x−a) q(x)=p(x)q(x)\frac{(x - a)\,p(x)}{(x - a)\,q(x)} = \frac{p(x)}{q(x)}

Un factor simplificado da un hueco en $\left(a, \frac{p(a)}{q(a)}\right)$ si $q(a) \neq 0$; un factor que queda en el denominador da una asíntota

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