Un logaritmo en base 3 con log

Calcula $\log_3 50$. Redondea a 2 decimales.

Escribe la fórmula del cambio de base con base 10: $\log_3 50 = \dfrac{\log 50}{\log 3}$ = $\dfrac{\log 50}{\log 3}$

Calcula los dos logaritmos decimales con la calculadora: $\log 50 \approx 1{,}69897$ y $\log 3 \approx 0{,}47712$ = De momento guarda todas las cifras

Divide y redondea solo al final: $1{,}69897 \div 0{,}47712 \approx 3{,}56088$ = $\approx 3{,}56$

Comprueba con la definición: $3^3 = 27$ y $3^4 = 81$, así que el resultado debe estar entre 3 y 4. Además $3^{3{,}56} \approx 50$ = Razonable

Answer: $\log_3 50 \approx 3{,}56$

El mismo logaritmo con ln

Calcula otra vez $\log_3 50$, esta vez con logaritmos naturales. Redondea a 2 decimales.

Escribe la fórmula con base $e$: $\log_3 50 = \dfrac{\ln 50}{\ln 3}$ = $\dfrac{\ln 50}{\ln 3}$

Calcula los dos logaritmos naturales: $\ln 50 \approx 3{,}91202$ y $\ln 3 \approx 1{,}09861$ = Números distintos de los que da log

Divide y redondea: $3{,}91202 \div 1{,}09861 \approx 3{,}56088$ = $\approx 3{,}56$

Answer: $\log_3 50 \approx 3{,}56$: el numerador y el denominador cambian, pero el cociente es el mismo. Da igual que uses log o ln.

Un resultado exacto con una base bien elegida

Halla el valor exacto de $\log_4 8$.

Observa que 4 y 8 son potencias de 2: $4 = 2^2$ y $8 = 2^3$ = Elige la nueva base $c = 2$

Aplica la fórmula del cambio de base con base 2: $\log_4 8 = \dfrac{\log_2 8}{\log_2 4}$ = $\dfrac{\log_2 8}{\log_2 4}$

Calcula los dos logaritmos sencillos: $\log_2 8 = 3$ y $\log_2 4 = 2$ = $\dfrac{3}{2}$

Comprueba: $4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$ = Correcto

Answer: $\log_4 8 = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$ (exacto, sin redondear)

Intercambiar base y argumento

Sabes que $\log_2 5 \approx 2{,}3219$. Halla $\log_5 2$ sin la tecla log. Redondea a 2 decimales.

Escribe los dos logaritmos con la fórmula del cambio de base: $\log_2 5 = \dfrac{\log 5}{\log 2}$ y $\log_5 2 = \dfrac{\log 2}{\log 5}$ = Una fracción es la otra dada la vuelta

Usa la regla del recíproco: $\log_5 2 = \dfrac{1}{\log_2 5}$ = $\dfrac{1}{2{,}3219}$

Divide y redondea: $1 \div 2{,}3219 \approx 0{,}43068$ = $\approx 0{,}43$

Answer: $\log_5 2 \approx 0{,}43$. Comprobación: $2{,}3219 \times 0{,}43068 \approx 1$

Tres decimales y una sorpresa

Calcula $\log_8 1000$ con logaritmos naturales. Redondea a 3 decimales y compáralo con $\log_2 10$.

Escribe la fórmula con ln: $\log_8 1000 = \dfrac{\ln 1000}{\ln 8}$ = $\dfrac{\ln 1000}{\ln 8}$

Calcula los dos logaritmos naturales: $\ln 1000 \approx 6{,}907755$ y $\ln 8 \approx 2{,}079442$ = Guarda todas las cifras

Divide y redondea a 3 decimales: $6{,}907755 \div 2{,}079442 \approx 3{,}321928$ = $\approx 3{,}322$

Compara con $\log_2 10$: También $\log_2 10 = \dfrac{\ln 10}{\ln 2} \approx 3{,}322$, porque $\ln 1000 = 3 \ln 10$ y $\ln 8 = 3 \ln 2$, así que los 3 se simplifican = $\log_8 1000 = \log_2 10$

Answer: $\log_8 1000 \approx 3{,}322$, exactamente el mismo número que $\log_2 10$

Mistake: Escribir la fracción al revés: $\log_3 50 = \dfrac{\log 3}{\log 50} \approx 0{,}28$

Why: La base va en el denominador. Una estimación rápida muestra el error: $3^3 = 27$ y $3^4 = 81$, así que $\log_3 50$ debe estar entre 3 y 4, no por debajo de 1.

Correct: El argumento arriba, la base abajo: $\log_3 50 = \dfrac{\log 50}{\log 3} \approx 3{,}56$

Mistake: Convertir el cociente de logaritmos en el logaritmo de un cociente: $\dfrac{\log 50}{\log 3} = \log\dfrac{50}{3} \approx 1{,}22$

Why: La regla del cociente dice que $\log 50 - \log 3 = \log \dfrac{50}{3}$. Habla de una resta de logaritmos, no de una división.

Correct: $\dfrac{\log 50}{\log 3}$ es una simple división de dos números: $1{,}69897 \div 0{,}47712 \approx 3{,}56$

Mistake: Tachar la palabra log: $\dfrac{\log 50}{\log 3} = \dfrac{50}{3} \approx 16{,}67$

Why: log es una función, no un factor. No se puede simplificar como un número común de una fracción.

Correct: Calcula primero $\log 50$ y $\log 3$, y luego divide: $\approx 3{,}56$

Mistake: Redondear demasiado pronto: $\dfrac{1{,}70}{0{,}48} \approx 3{,}54$

Why: Redondear $\log 50$ y $\log 3$ antes de dividir cambia la segunda cifra decimal del resultado.

Correct: Divide con todas las cifras de la calculadora (o escribe log(50)/log(3) de una vez) y redondea solo el resultado final: $3{,}56$

¿Cuándo se duplicarán tus ahorros?

Con interés compuesto anual, el dinero se multiplica cada año por el mismo factor de crecimiento. El tiempo de duplicación es un logaritmo cuya base es ese factor.

Al 3 % anual el factor es $1{,}03$, así que el dinero se duplica cuando $1{,}03^t = 2$, es decir, después de $t = \log_{1{,}03} 2$ años.

Búsqueda binaria en informática

La búsqueda binaria encuentra un elemento en una lista ordenada dividiéndola a la mitad una y otra vez. El número de divisiones es un logaritmo en base 2, y los ordenadores lo calculan con el cambio de base.

Una lista ordenada de 1024 nombres necesita $\log_2 1024 = 10$ divisiones a la mitad, porque $2^{10} = 1024$.

Bacterias que se triplican cada hora

Algunos cultivos de bacterias se triplican cada hora. El tiempo para alcanzar cierto tamaño es un logaritmo en base 3.

Después de 2 horas el cultivo es $3^2 = 9$ veces mayor, después de 4 horas $3^4 = 81$ veces mayor.

Q: ¿Uso log o ln en la fórmula?

A: Cualquiera de los dos. $\dfrac{\log 50}{\log 3}$ y $\dfrac{\ln 50}{\ln 3}$ valen ambos $\approx 3{,}56$. Solo usa el mismo tipo de logaritmo arriba y abajo.

Q: Mi calculadora tiene una tecla $\log_b$. ¿Sigo necesitando la fórmula?

A: La tecla te da el número, pero la fórmula sigue haciendo falta para hallar valores exactos como $\log_4 8 = \dfrac{3}{2}$, para simplificar expresiones, para resolver ecuaciones a mano y en exámenes donde solo se permiten log y ln. La propia tecla usa internamente el cambio de base.

Q: ¿A cuántos decimales debo redondear?

A: A los que pida el enunciado. Si no dice nada, lo habitual son de 2 a 4 decimales (por ejemplo $\log_3 50 \approx 3{,}56$ o $3{,}5609$). Redondea siempre una sola vez, al final.

Q: ¿Por qué $\log_b a \cdot \log_a b = 1$?

A: Con el cambio de base, $\log_b a = \dfrac{\log a}{\log b}$ y $\log_a b = \dfrac{\log b}{\log a}$. Al multiplicar las dos fracciones todo se simplifica y queda $1$. Por tanto, los dos logaritmos son recíprocos.