¿Uso log o ln en la fórmula?

Cualquiera de los dos. $\dfrac{\log 50}{\log 3}$ y $\dfrac{\ln 50}{\ln 3}$ valen ambos $\approx 3{,}56$. Solo usa el mismo tipo de logaritmo arriba y abajo.

Mi calculadora tiene una tecla $\log_b$. ¿Sigo necesitando la fórmula?

La tecla te da el número, pero la fórmula sigue haciendo falta para hallar valores exactos como $\log_4 8 = \dfrac{3}{2}$, para simplificar expresiones, para resolver ecuaciones a mano y en exámenes donde solo se permiten log y ln. La propia tecla usa internamente el cambio de base.

¿A cuántos decimales debo redondear?

A los que pida el enunciado. Si no dice nada, lo habitual son de 2 a 4 decimales (por ejemplo $\log_3 50 \approx 3{,}56$ o $3{,}5609$). Redondea siempre una sola vez, al final.

¿Por qué $\log_b a \cdot \log_a b = 1$?

Con el cambio de base, $\log_b a = \dfrac{\log a}{\log b}$ y $\log_a b = \dfrac{\log b}{\log a}$. Al multiplicar las dos fracciones todo se simplifica y queda $1$. Por tanto, los dos logaritmos son recíprocos.

Recursos para profesores

Fórmula del cambio de base

Usa la fórmula del cambio de base para calcular un logaritmo de cualquier base con la tecla log o ln de tu calculadora.

Avanzado25 minLección

Ficha imprimible

Definición

La mayoría de las calculadoras solo tienen dos teclas de logaritmo: log (base 10, el logaritmo decimal) y ln (base

e

, el logaritmo natural o neperiano). La fórmula del cambio de base te permite calcular un logaritmo de cualquier base con una de esas teclas:

\log_b x = \frac{\log_c x}{\log_c b}

Aquí

x > 0

b > 0

b \neq 1

, y la nueva base

c

puede ser cualquier número positivo distinto de

1

. En la práctica eliges

c = 10

c = e

\log_b x = \frac{\log x}{\log b} = \frac{\ln x}{\ln b}

Por qué funciona: sea

y = \log_b x

. Entonces

b^y = x

. Toma el logaritmo decimal en los dos lados:

\log(b^y) = \log x

. La regla de la potencia lo convierte en

y \cdot \log b = \log x

, así que

y = \dfrac{\log x}{\log b}

Ejemplo:

\log_3 50 = \dfrac{\log 50}{\log 3} \approx \dfrac{1{,}69897}{0{,}47712} \approx 3{,}56

(redondeado a 2 decimales). Comprobación:

3^{3{,}56} \approx 50

Un caso especial útil: si intercambias la base y el argumento, obtienes el recíproco,

\log_b a = \frac{1}{\log_a b}

Redondeo: haz toda la división en la calculadora y redondea solo el resultado final, al número de decimales que pida el enunciado.

Pruébalo ahora

¿Qué expresión es igual a

\log_5 20

Ejemplos resueltos

Calcula $\log_3 50$ . Redondea a 2 decimales.

Escribe la fórmula del cambio de base con base 10

$\log_3 50 = \dfrac{\log 50}{\log 3}$

Calcula los dos logaritmos decimales con la calculadora

$\log 50 \approx 1{,}69897$ y $\log 3 \approx 0{,}47712$ → De momento guarda todas las cifras

Divide y redondea solo al final

$1{,}69897 \div 0{,}47712 \approx 3{,}56088$ → $\approx 3{,}56$

Comprueba con la definición

$3^3 = 27$ y $3^4 = 81$ , así que el resultado debe estar entre 3 y 4. Además $3^{3{,}56} \approx 50$ → Razonable

Respuesta: $\log_3 50 \approx 3{,}56$

Errores comunes

Escribir la fracción al revés: $\log_3 50 = \dfrac{\log 3}{\log 50} \approx 0{,}28$

Por qué está mal: La base va en el denominador. Una estimación rápida muestra el error: $3^3 = 27$ y $3^4 = 81$ , así que $\log_3 50$ debe estar entre 3 y 4, no por debajo de 1.

Correcto: El argumento arriba, la base abajo: $\log_3 50 = \dfrac{\log 50}{\log 3} \approx 3{,}56$

Convertir el cociente de logaritmos en el logaritmo de un cociente: $\dfrac{\log 50}{\log 3} = \log\dfrac{50}{3} \approx 1{,}22$

Por qué está mal: La regla del cociente dice que $\log 50 - \log 3 = \log \dfrac{50}{3}$ . Habla de una resta de logaritmos, no de una división.

Correcto: $\dfrac{\log 50}{\log 3}$ es una simple división de dos números: $1{,}69897 \div 0{,}47712 \approx 3{,}56$

Tachar la palabra log: $\dfrac{\log 50}{\log 3} = \dfrac{50}{3} \approx 16{,}67$

Por qué está mal: log es una función, no un factor. No se puede simplificar como un número común de una fracción.

Correcto: Calcula primero $\log 50$ y $\log 3$ , y luego divide: $\approx 3{,}56$

Redondear demasiado pronto: $\dfrac{1{,}70}{0{,}48} \approx 3{,}54$

Por qué está mal: Redondear $\log 50$ y $\log 3$ antes de dividir cambia la segunda cifra decimal del resultado.

Correcto: Divide con todas las cifras de la calculadora (o escribe log(50)/log(3) de una vez) y redondea solo el resultado final: $3{,}56$

Visual interactivo

Gráfica de la función

b = 3

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Toca un nombre para mostrar u ocultar su gráfica.

Asíntota

Tabla de valores

x	1	2	3	10	50
log(x) / log(b)	0	0,63093	1	2,0959	3,56088
ln(x) / ln(b)	0	0,63093	1	2,0959	3,56088

Sandbox interactivo

Graficador interactivo

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Prueba estos ejemplos:

y = 2x + 1

m=2, b=1

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

Aún no hay cálculos

Problemas de práctica

18 problemas

Problema 1 de 18

Fácil

¿Qué expresión es igual a $\log_5 20$ ?

Por qué es importante

La fórmula del cambio de base es lo que hace útiles los logaritmos en la práctica:

Cualquier base en cualquier calculadora: $\log_2$ , $\log_3$ o $\log_{1{,}05}$ se convierten en una sola división con la tecla log o ln.
Dinero y crecimiento: el tiempo que tarda un ahorro en duplicarse al 5 % anual es $\log_{1{,}05} 2 = \dfrac{\log 2}{\log 1{,}05} \approx 14{,}21$ años.
Informática: la búsqueda binaria y los bits usan base 2. Buscar entre 1 000 000 de elementos ordenados requiere unas $\log_2 1000000 \approx 19{,}93$ , es decir, 20 divisiones a la mitad.
Biología: una población que se triplica cada hora necesita $\log_3 500 \approx 5{,}66$ horas para hacerse 500 veces mayor.
Resolver ecuaciones: toda ecuación exponencial como $2^x = 50$ tiene la solución $x = \log_2 50$ , que calculas con esta fórmula.

Además explica por qué bastan

\log

\ln

: cualquier otro logaritmo es simplemente uno de ellos dividido entre una constante.

Aplicaciones del mundo real

¿Cuándo se duplicarán tus ahorros?

Con interés compuesto anual, el dinero se multiplica cada año por el mismo factor de crecimiento. El tiempo de duplicación es un logaritmo cuya base es ese factor.

Ejemplo:

Al 3 % anual el factor es $1{,}03$ , así que el dinero se duplica cuando $1{,}03^t = 2$ , es decir, después de $t = \log_{1{,}03} 2$ años.

1Inténtalo tú mismo

Ingresas 1000 dólares en una cuenta de ahorro que paga un 3 % de interés anual, abonado una vez al año.

¿Después de cuántos años se ha duplicado el dinero?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe $\log_{1{,}03} 2$ como cociente de dos logaritmos decimales (escribe la expresión en la forma log(a)/log(b), no el valor redondeado):

Búsqueda binaria en informática

La búsqueda binaria encuentra un elemento en una lista ordenada dividiéndola a la mitad una y otra vez. El número de divisiones es un logaritmo en base 2, y los ordenadores lo calculan con el cambio de base.

Ejemplo:

Una lista ordenada de 1024 nombres necesita $\log_2 1024 = 10$ divisiones a la mitad, porque $2^{10} = 1024$ .

2Inténtalo tú mismo

Una base de datos guarda 1 000 000 de registros ordenados. Cada paso de la búsqueda binaria divide a la mitad los registros que quedan.

¿Cuántas divisiones a la mitad hacen falta para quedarse con un solo registro?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe $\log_2 1000000$ como cociente de dos logaritmos decimales (escribe la expresión en la forma log(a)/log(b), no el valor redondeado):

Bacterias que se triplican cada hora

Algunos cultivos de bacterias se triplican cada hora. El tiempo para alcanzar cierto tamaño es un logaritmo en base 3.

Ejemplo:

Después de 2 horas el cultivo es $3^2 = 9$ veces mayor, después de 4 horas $3^4 = 81$ veces mayor.

3Inténtalo tú mismo

Un cultivo se triplica cada hora. Un laboratorio necesita que sea 500 veces mayor que al principio.

¿Cuántas horas tarda?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe $\log_3 500$ como cociente de dos logaritmos decimales (escribe la expresión en la forma log(a)/log(b), no el valor redondeado):

Puntos clave

1Fórmula del cambio de base: $\log_b x = \dfrac{\log_c x}{\log_c b}$ para cualquier nueva base $c > 0$ , $c \neq 1$
2En la calculadora usa $c = 10$ o $c = e$ : $\log_b x = \dfrac{\log x}{\log b} = \dfrac{\ln x}{\ln b}$ , las dos dan el mismo resultado
3El argumento va arriba y la base va abajo
4Funciona porque $b^y = x$ da $y \log b = \log x$ (regla de la potencia), así que $y = \dfrac{\log x}{\log b}$
5Intercambiar base y argumento da el recíproco: $\log_b a = \dfrac{1}{\log_a b}$
6Divide con todas las cifras y redondea solo el resultado final, a los decimales que te pidan

Preguntas frecuentes

Cualquiera de los dos.

\dfrac{\log 50}{\log 3}

\dfrac{\ln 50}{\ln 3}

valen ambos

\approx 3{,}56

. Solo usa el mismo tipo de logaritmo arriba y abajo.

Glosario

Fórmula del cambio de base: La regla $\log_b x = \dfrac{\log_c x}{\log_c b}$ que reescribe un logaritmo con una nueva base $c$
Base: El número $b$ en $\log_b x$ , el que se eleva a una potencia; debe ser positivo y distinto de $1$
Argumento: El número $x$ en $\log_b x$ del que se toma el logaritmo; debe ser positivo
Logaritmo decimal: El logaritmo en base 10, escrito $\log x$ (la tecla log)
Logaritmo natural (neperiano): El logaritmo en base $e \approx 2{,}718$ , escrito $\ln x$ (la tecla ln)
Recíproco: El número $\dfrac{1}{a}$ para un número $a \neq 0$ ; $\log_b a$ y $\log_a b$ son recíprocos

Tarjeta de fórmulas

Cambio de base (cualquier base)

\log_b x = \dfrac{\log_c x}{\log_c b}

Cualquier nueva base $c > 0$, $c \neq 1$

Con logaritmos decimales

\log_b x = \dfrac{\log x}{\log b}

Usa la tecla log

Con logaritmos naturales

\log_b x = \dfrac{\ln x}{\ln b}

Usa la tecla ln, mismo resultado

Regla del recíproco

\log_b a = \dfrac{1}{\log_a b}

Intercambiar base y argumento invierte el valor

Más sobre este tema

Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Visual interactivo

Gráfica de la función

Tabla de valores

Sandbox interactivo

Graficador interactivo

Calculadora de expresiones

Historial

Problemas de práctica

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

¿Cuándo se duplicarán tus ahorros?

Búsqueda binaria en informática

Bacterias que se triplican cada hora

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Cambio de base (cualquier base)

Con logaritmos decimales

Con logaritmos naturales

Regla del recíproco

Más sobre este tema

Introducción a los logaritmos

Definición de logaritmo

Logaritmo decimal (base 10)

Logaritmo natural (ln)