Logaritmos de potencias de 10

Calcula $\log 100\,000$ y $\log 1$ sin calculadora.

Plantea la pregunta para 100 000: ¿10 elevado a qué da $100\,000$? = $10^n = 100\,000$

Cuenta los ceros: $100\,000$ es un 1 seguido de 5 ceros, así que $100\,000 = 10^5$ = $\log 100\,000 = 5$

Plantea la pregunta para 1: Cualquier número distinto de cero elevado a 0 es 1: $10^0 = 1$ = $\log 1 = 0$

Answer: $\log 100\,000 = 5$ y $\log 1 = 0$

Logaritmos de decimales pequeños

Calcula $\log 0{,}001$.

Escribe el decimal como fracción: $0{,}001 = \dfrac{1}{1\,000}$ = $\dfrac{1}{10^3}$

Usa un exponente negativo: $\dfrac{1}{10^3} = 10^{-3}$ = $0{,}001 = 10^{-3}$

Lee el exponente: $\log(10^{-3}) = -3$ = $\log 0{,}001 = -3$

Answer: $\log 0{,}001 = -3$. Los números entre 0 y 1 tienen logaritmos negativos.

Estimar log 50

¿Entre qué dos números enteros está $\log 50$? Después calcúlalo con la calculadora.

Busca las potencias de 10 alrededor de 50: $10 < 50 < 100$, es decir, $10^1 < 50 < 10^2$ = Vecinos: $10$ y $100$

Toma los logaritmos de los vecinos: $\log 10 = 1$ y $\log 100 = 2$ = $1 < \log 50 < 2$

Usa la tecla LOG: Escribe log(50) = $\log 50 \approx 1{,}699$

Comprueba el tamaño: La mitad en una escala logarítmica es $10^{1{,}5} \approx 31{,}6$, no 55. Como $50 > 31{,}6$, $\log 50$ está por encima de $1{,}5$ = $1{,}699$ tiene sentido

Answer: $1 < \log 50 < 2$ y $\log 50 \approx 1{,}699$

Logaritmos y notación científica

Escribe $3\,000$ en notación científica, predice la parte entera de $\log 3\,000$ y compruébala con la calculadora.

Escríbelo en notación científica: $3\,000 = 3 \times 10^3$ = Exponente: $3$

Busca las potencias de 10 que lo rodean: $10^3 = 1\,000 \le 3\,000 < 10\,000 = 10^4$ = $3 \le \log 3\,000 < 4$

Usa la tecla LOG: Escribe log(3000) = $\log 3\,000 \approx 3{,}477$

Compara: La parte entera $3$ es el exponente de la notación científica = El orden de magnitud es $3$

Answer: $\log 3\,000 \approx 3{,}477$: parte entera $3$, igual que el exponente de $3 \times 10^3$

Del logaritmo al número

Un número positivo $x$ cumple $\log x = 2{,}5$. ¿Entre qué potencias de 10 está $x$ y cuánto vale $x$ (con 2 decimales)?

Reescribe con potencias de 10: $\log x = 2{,}5$ significa $x = 10^{2{,}5}$ = $x = 10^{2{,}5}$

Sitúa el exponente: $2 < 2{,}5 < 3$, así que $10^2 < x < 10^3$ = $100 < x < 1\,000$

Usa la calculadora: Escribe 10^2,5 = $x \approx 316{,}23$

Answer: $x = 10^{2{,}5} \approx 316{,}23$, un número entre $100$ y $1\,000$ (3 cifras)

Mistake: Pensar que $\log 50 = 1{,}5$ porque 50 está más o menos a mitad de camino entre 10 y 100

Why: Una escala logarítmica no es uniforme. Cada paso de 1 en el logaritmo multiplica el número por 10, así que la mitad entre 10 y 100 es $10^{1{,}5} \approx 31{,}6$.

Correct: $\log 50 \approx 1{,}699$. Primero acota entre dos enteros ($1 < \log 50 < 2$) y después usa la calculadora.

Mistake: Escribir $\log 0{,}01 = 2$ o decir que el logaritmo de un decimal no existe

Why: $0{,}01 = 10^{-2}$, así que el exponente es negativo. Los logaritmos de números entre 0 y 1 existen, simplemente son negativos.

Correct: $\log 0{,}01 = -2$, $\log 0{,}1 = -1$, $\log 0{,}001 = -3$.

Mistake: Escribir $\log 0 = 0$ o $\log(-100) = -2$

Why: $10^n$ es positivo para cualquier exponente $n$. Ninguna potencia de 10 es igual a 0 o a un número negativo.

Correct: $\log 0$ y $\log(-100)$ no están definidos, la calculadora da error. Recuerda: $\log 1 = 0$, no $\log 0$.

Mistake: Contar todas las cifras: $\log 1\,000 = 4$

Why: $1\,000$ tiene 4 cifras pero solo 3 ceros. El logaritmo cuenta los factores 10, no las cifras.

Correct: $\log 1\,000 = 3$ porque $10^3 = 1\,000$. Un número entero de $d$ cifras tiene un logaritmo entre $d - 1$ y $d$.

Órdenes de magnitud

En ciencias se comparan cantidades enormes y diminutas por su orden de magnitud: la parte entera de su logaritmo decimal.

Un cabello humano mide unos $0{,}0001$ m de grosor, y $\log 0{,}0001 = -4$. La Tierra mide unos $10\,000\,000$ m de ancho, y $\log 10\,000\,000 = 7$. La diferencia de 11 órdenes de magnitud significa que la Tierra es unas $10^{11}$ veces más ancha.

El pH en química

El pH de una disolución es $\text{pH} = -\log[H^+]$, donde $[H^+]$ es la concentración de iones hidrógeno en mol/L. Cuanto más bajo es el pH, más ácida es la disolución.

El agua pura tiene $[H^+] = 0{,}0000001 = 10^{-7}$, así que $\text{pH} = -(-7) = 7$ (neutra).

Decibelios y sonido

El nivel sonoro en decibelios es $L = 10 \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$, donde $\dfrac{I}{I_0}$ indica cuántas veces es más intenso un sonido que el más débil que podemos oír.

Un susurro es unas $100$ veces más intenso que el umbral de audición: $L = 10 \log 100 = 10 \times 2 = 20$ dB.

Q: ¿Por qué el logaritmo de base 10 se llama decimal?

A: Nuestro sistema de numeración es decimal, es decir, de base 10. Durante siglos las tablas de logaritmos fueron de base 10, y hoy todas las calculadoras científicas tienen la tecla LOG. Como se usa tanto, la base no se escribe: $\log x$ significa $\log_{10} x$.

Q: ¿Cómo calcula la calculadora $\log 50$?

A: Usa un método numérico rápido para encontrar el exponente $n$ con $10^n = 50$. Puedes comprobar su resultado: $10^{1{,}699} \approx 50$. La estimación $1 < \log 50 < 2$ te dice si has pulsado las teclas correctas.

Q: ¿Por qué son negativos los logaritmos de decimales como $0{,}01$?

A: Los números entre 0 y 1 se obtienen con exponentes negativos: $0{,}01 = \dfrac{1}{100} = 10^{-2}$. Por eso $\log 0{,}01 = -2$. Solo el argumento tiene que ser positivo; el logaritmo puede ser cualquier número real.

Q: ¿La tecla $\log$ de mi calculadora es lo mismo que $\ln$?

A: No. LOG usa base 10, mientras que LN usa otra base, el número $e \approx 2{,}718$. Por ejemplo, $\log 100 = 2$, pero $\ln 100 \approx 4{,}605$. La lección Logaritmo natural (ln) explica esa tecla.