Logaritmo decimal (base 10)

Aprende el logaritmo decimal log x de base 10: valores exactos de las potencias de 10, cómo acotar un logaritmo entre dos enteros y cómo usar la calculadora.

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Definición

El logaritmo decimal es el logaritmo de base 10. Se usa tanto que la base no se escribe:
log⁡x=log⁡10x\log x = \log_{10} x
log⁡x\log x responde a la pregunta: **"¿10 elevado a qué da xx?"**
log⁡x=n  ⟺  10n=x\log x = n \iff 10^n = x
Las potencias de 10 tienen logaritmos enteros:
xx0,0010{,}0010,010{,}010,10{,}11110101001001 0001\,0001 000 0001\,000\,000
log⁡x\log x−3-3−2-2−1-10011223366
Así que log⁡(10n)=n\log(10^n) = n para cualquier exponente nn.
Los números entre dos potencias de 10 tienen un logaritmo entre dos números enteros. Como 10<50<10010 < 50 < 100, sabemos que 1<log⁡50<21 < \log 50 < 2. La calculadora (tecla LOG) da log⁡50≈1,699\log 50 \approx 1{,}699.
El argumento debe ser positivo: log⁡0\log 0 y log⁡(−5)\log(-5) no existen.

Pruébalo ahora

¿Cuánto vale log⁡10 000\log 10\,000?

Ejemplos resueltos

Calcula log⁡100 000\log 100\,000 y log⁡1\log 1 sin calculadora.

1

Plantea la pregunta para 100 000

¿10 elevado a qué da 100 000100\,000? → 10n=100 00010^n = 100\,000

2

Cuenta los ceros

100 000100\,000 es un 1 seguido de 5 ceros, así que 100 000=105100\,000 = 10^5 → log⁡100 000=5\log 100\,000 = 5

3

Plantea la pregunta para 1

Cualquier número distinto de cero elevado a 0 es 1: 100=110^0 = 1 → log⁡1=0\log 1 = 0

Errores comunes

Pensar que log⁡50=1,5\log 50 = 1{,}5 porque 50 está más o menos a mitad de camino entre 10 y 100

Por qué está mal: Una escala logarítmica no es uniforme. Cada paso de 1 en el logaritmo multiplica el número por 10, así que la mitad entre 10 y 100 es 101,5≈31,610^{1{,}5} \approx 31{,}6.

Correcto: log⁡50≈1,699\log 50 \approx 1{,}699. Primero acota entre dos enteros (1<log⁡50<21 < \log 50 < 2) y después usa la calculadora.

Escribir log⁡0,01=2\log 0{,}01 = 2 o decir que el logaritmo de un decimal no existe

Por qué está mal: 0,01=10−20{,}01 = 10^{-2}, así que el exponente es negativo. Los logaritmos de números entre 0 y 1 existen, simplemente son negativos.

Correcto: log⁡0,01=−2\log 0{,}01 = -2, log⁡0,1=−1\log 0{,}1 = -1, log⁡0,001=−3\log 0{,}001 = -3.

Escribir log⁡0=0\log 0 = 0 o log⁡(−100)=−2\log(-100) = -2

Por qué está mal: 10n10^n es positivo para cualquier exponente nn. Ninguna potencia de 10 es igual a 0 o a un número negativo.

Correcto: log⁡0\log 0 y log⁡(−100)\log(-100) no están definidos, la calculadora da error. Recuerda: log⁡1=0\log 1 = 0, no log⁡0\log 0.

Contar todas las cifras: log⁡1 000=4\log 1\,000 = 4

Por qué está mal: 1 0001\,000 tiene 4 cifras pero solo 3 ceros. El logaritmo cuenta los factores 10, no las cifras.

Correcto: log⁡1 000=3\log 1\,000 = 3 porque 103=1 00010^3 = 1\,000. Un número entero de dd cifras tiene un logaritmo entre d−1d - 1 y dd.

Visual interactivo

10³ = 1000
3

Observa cómo las potencias de un número crecen en la recta numérica. Cambia la base y el exponente.

Gráfico de barras

Logaritmo decimal de x

0,01(-2)
0,1(-1)
1(0)
5(0,7)
10(1)
50(1,7)
100(2)
1000(3)

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¿Cuánto vale log⁡10 000\log 10\,000?

Por qué es importante

Nuestro sistema de numeración es de base 10, así que el logaritmo decimal te dice de un vistazo el tamaño de un número:
  • Órdenes de magnitud: la parte entera de log⁡x\log x es el exponente de xx en notación científica. log⁡(3 000)≈3,477\log(3\,000) \approx 3{,}477 y 3 000=3×1033\,000 = 3 \times 10^3.
  • Química: el pH de una disolución es −log⁡-\log de la concentración de iones hidrógeno.
  • Sonido: los decibelios usan 10log⁡10 \log de un cociente de intensidades.
  • Terremotos y estrellas: la escala de Richter y las escalas de brillo de las estrellas se basan en logaritmos de base 10.
  • Gráficas científicas: una escala logarítmica coloca 11, 1010, 100100 y 1 000 0001\,000\,000 en un mismo eje legible.
Si te sabes de memoria los logaritmos de las potencias de 10, puedes comprobar cualquier resultado de la calculadora en segundos.

Aplicaciones del mundo real

Órdenes de magnitud

En ciencias se comparan cantidades enormes y diminutas por su orden de magnitud: la parte entera de su logaritmo decimal.

Ejemplo:

Un cabello humano mide unos 0,00010{,}0001 m de grosor, y log⁡0,0001=−4\log 0{,}0001 = -4. La Tierra mide unos 10 000 00010\,000\,000 m de ancho, y log⁡10 000 000=7\log 10\,000\,000 = 7. La diferencia de 11 órdenes de magnitud significa que la Tierra es unas 101110^{11} veces más ancha.

1Inténtalo tú mismo

La población mundial es de unos 8 000 000 0008\,000\,000\,000 de personas.

¿Cuál es su orden de magnitud, es decir, la parte entera de log⁡8 000 000 000\log 8\,000\,000\,000?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe la parte entera del logaritmo:

El pH en química

El pH de una disolución es $\text{pH} = -\log[H^+]$, donde $[H^+]$ es la concentración de iones hidrógeno en mol/L. Cuanto más bajo es el pH, más ácida es la disolución.

Ejemplo:

El agua pura tiene [H+]=0,0000001=10−7[H^+] = 0{,}0000001 = 10^{-7}, así que pH=−(−7)=7\text{pH} = -(-7) = 7 (neutra).

2Inténtalo tú mismo

Una muestra de zumo de naranja tiene [H+]=0,0001[H^+] = 0{,}0001 mol/L.

¿Cuál es su pH?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula −log⁡0,0001-\log 0{,}0001:

Decibelios y sonido

El nivel sonoro en decibelios es $L = 10 \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$, donde $\dfrac{I}{I_0}$ indica cuántas veces es más intenso un sonido que el más débil que podemos oír.

Ejemplo:

Un susurro es unas 100100 veces más intenso que el umbral de audición: L=10log⁡100=10×2=20L = 10 \log 100 = 10 \times 2 = 20 dB.

3Inténtalo tú mismo

Una conversación normal es unas 1 000 0001\,000\,000 de veces más intensa que el umbral de audición.

¿Cuál es su nivel sonoro en decibelios?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula 10log⁡1 000 00010 \log 1\,000\,000:

Puntos clave

  • 1El logaritmo decimal tiene base 10: log⁡x=log⁡10x\log x = \log_{10} x, y log⁡x=n\log x = n significa 10n=x10^n = x
  • 2Las potencias de 10 tienen logaritmos enteros: log⁡(10n)=n\log(10^n) = n, por ejemplo log⁡1 000=3\log 1\,000 = 3 y log⁡0,01=−2\log 0{,}01 = -2
  • 3log⁡1=0\log 1 = 0 y log⁡10=1\log 10 = 1; los números entre 0 y 1 tienen logaritmos negativos
  • 4Para estimar log⁡x\log x, busca las potencias de 10 alrededor de xx: 10<50<10010 < 50 < 100 da 1<log⁡50<21 < \log 50 < 2
  • 5La parte entera de log⁡x\log x es el orden de magnitud, el exponente de xx en notación científica
  • 6Usa la tecla LOG para los decimales exactos (log⁡50≈1,699\log 50 \approx 1{,}699); log⁡0\log 0 y los logaritmos de números negativos no existen

Preguntas frecuentes

Nuestro sistema de numeración es decimal, es decir, de base 10. Durante siglos las tablas de logaritmos fueron de base 10, y hoy todas las calculadoras científicas tienen la tecla LOG. Como se usa tanto, la base no se escribe: log⁡x\log x significa log⁡10x\log_{10} x.
Nuestro sistema de numeración es decimal, es decir, de base 10. Durante siglos las tablas de logaritmos fueron de base 10, y hoy todas las calculadoras científicas tienen la tecla LOG. Como se usa tanto, la base no se escribe: log⁡x\log x significa log⁡10x\log_{10} x.
Usa un método numérico rápido para encontrar el exponente nn con 10n=5010^n = 50. Puedes comprobar su resultado: 101,699≈5010^{1{,}699} \approx 50. La estimación 1<log⁡50<21 < \log 50 < 2 te dice si has pulsado las teclas correctas.
Los números entre 0 y 1 se obtienen con exponentes negativos: 0,01=1100=10−20{,}01 = \dfrac{1}{100} = 10^{-2}. Por eso log⁡0,01=−2\log 0{,}01 = -2. Solo el argumento tiene que ser positivo; el logaritmo puede ser cualquier número real.
No. LOG usa base 10, mientras que LN usa otra base, el número e≈2,718e \approx 2{,}718. Por ejemplo, log⁡100=2\log 100 = 2, pero ln⁡100≈4,605\ln 100 \approx 4{,}605. La lección Logaritmo natural (ln) explica esa tecla.

Glosario

Logaritmo decimal
El logaritmo de base 10, escrito log⁡x\log x: el exponente nn con 10n=x10^n = x
Base
El número que se eleva a una potencia; en el logaritmo decimal es 10
Argumento
El número del que se calcula el logaritmo, la xx de log⁡x\log x; tiene que ser positivo
Potencia de 10
Un número de la forma 10n10^n, como 1 000=1031\,000 = 10^3 o 0,01=10−20{,}01 = 10^{-2}
Orden de magnitud
La parte entera de log⁡x\log x, que es el exponente de xx en notación científica
Notación científica
Escribir un número como a×10na \times 10^n con 1≤a<101 \le a < 10, por ejemplo 3 000=3×1033\,000 = 3 \times 10^3

Tarjeta de fórmulas

Logaritmo decimal

log⁡x=n  ⟺  10n=x\log x = n \iff 10^n = x

La base 10 no se escribe

Logaritmo de una potencia de 10

log⁡(10n)=n\log(10^n) = n

Por ejemplo $\log 1\,000 = 3$, $\log 0{,}01 = -2$

Valores especiales

log⁡1=0,log⁡10=1\log 1 = 0, \quad \log 10 = 1

Porque $10^0 = 1$ y $10^1 = 10$

Estimación

10n≤x<10n+1⇒n≤log⁡x<n+110^n \le x < 10^{n+1} \Rightarrow n \le \log x < n + 1

Las potencias de 10 alrededor de $x$ dan la parte entera

Volver al número

10log⁡x=x10^{\log x} = x

Por ejemplo $10^{1{,}699} \approx 50$

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