Representar la función básica

Representa $y = \log_2 x$ e indica su dominio, su recorrido y su asíntota.

Elige valores de x que sean potencias de 2: $x = \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8$, porque el $\log_2$ de una potencia de 2 es fácil de hallar = Seis valores de x cómodos

Calcula cada valor de y: $\log_2 \frac{1}{4} = -2$, $\log_2 \frac{1}{2} = -1$, $\log_2 1 = 0$, $\log_2 2 = 1$, $\log_2 4 = 2$, $\log_2 8 = 3$ = $y = -2, -1, 0, 1, 2, 3$

Dibuja los puntos y la asíntota: Marca $\left(\frac{1}{4}, -2\right)$, $\left(\frac{1}{2}, -1\right)$, $(1, 0)$, $(2, 1)$, $(4, 2)$, $(8, 3)$ y traza la recta discontinua $x = 0$ = Puntos y asíntota $x = 0$

Únelos con una curva suave: La curva baja con fuerza cerca del eje $y$ sin tocarlo y sube despacio hacia la derecha = Curva creciente que pasa por $(1, 0)$

Answer: Dominio $x > 0$, recorrido todos los números reales, asíntota vertical $x = 0$, corte con el eje $x$ en $(1, 0)$.

Una base entre 0 y 1

Representa $y = \log_{1/2} x$ y compárala con $y = \log_2 x$.

Usa los puntos clave: $\left(\frac{1}{b}, -1\right) = (2, -1)$, $(1, 0)$, $(b, 1) = \left(\frac{1}{2}, 1\right)$ = $(2, -1)$, $(1, 0)$, $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$

Añade otro punto: $\left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 4$, así que $\log_{1/2} 4 = -2$ = $(4, -2)$

Describe cómo varía: Cuando $x$ aumenta, $y$ disminuye: $1, 0, -1, -2$ = La gráfica es decreciente

Compara con la base 2: En $x = 2$: $\log_2 2 = 1$ pero $\log_{1/2} 2 = -1$. Cada valor de y cambia de signo = $\log_{1/2} x = -\log_2 x$

Answer: La gráfica de $y = \log_{1/2} x$ es decreciente, pasa por $(1, 0)$, tiene la asíntota $x = 0$ y es la simétrica de $y = \log_2 x$ respecto del eje $x$.

Reflejar una gráfica exponencial

Usa puntos de $y = 3^x$ para hallar puntos de $y = \log_3 x$.

Escribe puntos de la función exponencial: $3^{-1} = \frac{1}{3}$, $3^0 = 1$, $3^1 = 3$, $3^2 = 9$ = $\left(-1, \frac{1}{3}\right)$, $(0, 1)$, $(1, 3)$, $(2, 9)$

Intercambia x e y en cada punto: La simetría respecto de $y = x$ convierte $(p, q)$ en $(q, p)$ = $\left(\frac{1}{3}, -1\right)$, $(1, 0)$, $(3, 1)$, $(9, 2)$

Intercambia también las asíntotas: $y = 3^x$ tiene la asíntota horizontal $y = 0$; tras el intercambio se convierte en $x = 0$ = Asíntota vertical $x = 0$

Intercambia dominio y recorrido: $y = 3^x$: dominio todos los reales, recorrido $y > 0$. $y = \log_3 x$: dominio $x > 0$, recorrido todos los reales = Dominio $x > 0$

Answer: $y = \log_3 x$ pasa por $\left(\frac{1}{3}, -1\right)$, $(1, 0)$, $(3, 1)$, $(9, 2)$ y tiene la asíntota $x = 0$.

Trasladar la gráfica

Representa $y = \log_2(x - 3) + 1$. Indica la asíntota, el dominio, el recorrido y el corte con el eje $x$.

Lee h y k: Compara con $y = \log_b(x - h) + k$: $b = 2$, $h = 3$, $k = 1$ = 3 a la derecha, 1 hacia arriba

Mueve la asíntota: $x = 0$ se desplaza 3 unidades a la derecha = Asíntota $x = 3$, dominio $x > 3$

Mueve los puntos clave: $(1, 0) \to (1 + 3, 0 + 1)$ y $(2, 1) \to (2 + 3, 1 + 1)$ = $(4, 1)$ y $(5, 2)$

Halla el corte con el eje x: $\log_2(x - 3) + 1 = 0 \Rightarrow \log_2(x - 3) = -1 \Rightarrow x - 3 = \frac{1}{2}$ = $x = 3{,}5$

Answer: Asíntota $x = 3$, dominio $x > 3$, recorrido todos los números reales, corte con el eje $x$ en $(3{,}5; 0)$, puntos clave $(4, 1)$ y $(5, 2)$.

Hallar la ecuación a partir de la gráfica

Una gráfica de la forma $y = \log_b(x - h) + k$ tiene la asíntota vertical $x = -1$ y pasa por $(0, 2)$ y $(1, 3)$. Halla $b$, $h$ y $k$.

Usa la asíntota: La asíntota es $x = h$, así que $h = -1$ = $h = -1$

Usa el punto clave (1 + h, k): $1 + h = 1 + (-1) = 0$, así que el punto $(0, 2)$ da $k = 2$ = $k = 2$

Usa el punto clave (b + h, 1 + k): $1 + k = 3$ coincide con el punto $(1, 3)$, así que $b + h = 1$ y $b = 1 - (-1)$ = $b = 2$

Escribe la ecuación y compruébala: $y = \log_2(x + 1) + 2$. Comprobación: $x = 1$ da $\log_2 2 + 2 = 3$ = $y = \log_2(x + 1) + 2$

Answer: $y = \log_2(x + 1) + 2$, es decir, $b = 2$, $h = -1$, $k = 2$.

Mistake: Desplazar $y = \log_2(x - 3)$ tres unidades a la izquierda

Why: El signo menos parece indicar un movimiento a la izquierda, pero el argumento $x - 3$ tiene que ser positivo, es decir, $x > 3$: toda la gráfica está a la derecha de $x = 3$.

Correct: $y = \log_b(x - h)$ desplaza la gráfica $h$ unidades a la derecha. $y = \log_2(x - 3)$ tiene la asíntota $x = 3$.

Mistake: Dejar que la gráfica toque o cruce el eje $y$

Why: $\log_b 0$ y el logaritmo de un número negativo no existen, porque $b^y$ siempre es positivo.

Correct: La gráfica de $y = \log_b x$ se acerca cada vez más a $x = 0$ pero nunca llega. El dominio es $x > 0$.

Mistake: Pensar que la gráfica se estabiliza a cierta altura

Why: La curva sube despacio y parece plana, pero nunca deja de subir: $\log_2 1024 = 10$ y $\log_2 1048576 = 20$.

Correct: Una gráfica logarítmica no tiene asíntota horizontal. El recorrido son todos los números reales.

Mistake: Mantener el dominio $x > 0$ después de una traslación horizontal

Why: El dominio depende del argumento, no de $x$ solo.

Correct: En $y = \log_3(x + 5)$ el argumento $x + 5$ debe ser positivo, así que el dominio es $x > -5$.

Nivel sonoro en decibelios

Un sonómetro muestra $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$ decibelios, donde $\frac{I}{I_0}$ indica cuántas veces es más intenso el sonido que el sonido más débil que podemos oír. La gráfica es una curva logarítmica estirada: muy plana para intensidades grandes.

Un sonido $100$ veces más intenso que $I_0$ da $L = 10 \log 100 = 20$ dB. Un sonido otras $10$ veces más intenso solo da $30$ dB.

Búsqueda binaria en informática

La búsqueda binaria encuentra un nombre en una lista ordenada partiéndola por la mitad una y otra vez. Para $n$ nombres necesita unas $\log_2 n$ divisiones, así que la gráfica del número de pasos es la gráfica de $y = \log_2 x$.

Una lista de $8$ nombres necesita $\log_2 8 = 3$ divisiones: $8 \to 4 \to 2 \to 1$.

La escala de pH en química

La acidez se mide con $\text{pH} = -\log[H^+]$, donde $[H^+]$ es la concentración de iones de hidrógeno. El signo menos refleja la gráfica logarítmica respecto del eje $x$, por eso el pH baja cuando la concentración sube.

El zumo de limón tiene $[H^+] = 0{,}01 = 10^{-2}$, así que $\text{pH} = -\log(10^{-2}) = 2$.

Q: ¿Por qué la gráfica nunca toca el eje $y$?

A: En el eje $y$ se cumple $x = 0$, y $\log_b 0$ exigiría $b^y = 0$. Una base positiva elevada a cualquier potencia es positiva, así que ningún $y$ sirve. Cerca de $x = 0$ los valores son números negativos muy grandes en valor absoluto (para $b > 1$), por eso la curva cae a lo largo de la asíntota.

Q: ¿La gráfica logarítmica tiene una asíntota horizontal como la exponencial?

A: No. La gráfica exponencial tiene la asíntota horizontal $y = 0$; tras la simetría respecto de $y = x$ se convierte en la asíntota vertical $x = 0$. La gráfica logarítmica sigue subiendo (para $b > 1$), solo que muy despacio.

Q: ¿Cómo son las gráficas de $\log x$ y de $\ln x$?

A: Las dos tienen una base mayor que 1 ($10$ y $e \approx 2{,}718$), así que las dos son crecientes, pasan por $(1, 0)$ y tienen la asíntota $x = 0$. $\ln x$ pasa por $(e, 1)$ y $\log x$ por $(10, 1)$, por eso $\ln x$ sube más rápido.

Q: ¿Cómo sé si una gráfica logarítmica crece o decrece?

A: Fíjate en la base. Si $b > 1$, la gráfica crece; si $0 < b < 1$, decrece. Un signo menos delante, como en $y = -\log_2 x$, también convierte una gráfica creciente en decreciente.