¿La gráfica logarítmica tiene una asíntota horizontal como la exponencial?

No. La gráfica exponencial tiene la asíntota horizontal $y = 0$; tras la simetría respecto de $y = x$ se convierte en la asíntota vertical $x = 0$. La gráfica logarítmica sigue subiendo (para $b > 1$), solo que muy despacio.

¿Cómo son las gráficas de $\log x$ y de $\ln x$?

Las dos tienen una base mayor que 1 ($10$ y $e \approx 2{,}718$), así que las dos son crecientes, pasan por $(1, 0)$ y tienen la asíntota $x = 0$. $\ln x$ pasa por $(e, 1)$ y $\log x$ por $(10, 1)$, por eso $\ln x$ sube más rápido.

¿Cómo sé si una gráfica logarítmica crece o decrece?

Fíjate en la base. Si $b > 1$, la gráfica crece; si $0 < b < 1$, decrece. Un signo menos delante, como en $y = -\log_2 x$, también convierte una gráfica creciente en decreciente.

Recursos para profesores

Gráficas de funciones logarítmicas

Q: ¿Por qué la gráfica nunca toca el eje $y$?

En el eje $y$ se cumple $x = 0$, y $\log_b 0$ exigiría $b^y = 0$. Una base positiva elevada a cualquier potencia es positiva, así que ningún $y$ sirve. Cerca de $x = 0$ los valores son números negativos muy grandes en valor absoluto (para $b > 1$), por eso la curva cae a lo largo de la asíntota.

Aprende a representar funciones logarítmicas: puntos clave, dominio, recorrido, asíntota vertical, simetría con la función exponencial y traslaciones.

Avanzado30 minLección

Ficha imprimible

Definición

Una función logarítmica tiene la forma

f(x) = \log_b x

con base

b > 0

b \neq 1

. Es la función inversa de la función exponencial

y = b^x

y = \log_b x

significa

b^y = x

Puntos clave (salen directamente de la definición):

$\left(\frac{1}{b}, -1\right)$ porque $b^{-1} = \frac{1}{b}$
$(1, 0)$ porque $b^0 = 1$
$(b, 1)$ porque $b^1 = b$

**Características de la gráfica de

y = \log_b x

:**

Dominio: $x > 0$ (solo se puede calcular el logaritmo de un número positivo)
Recorrido: todos los números reales
Asíntota vertical: la recta $x = 0$ (el eje $y$ ); la gráfica se acerca cada vez más a ella, pero nunca la toca
**Corte con el eje $x$ **: $(1, 0)$ ; no hay corte con el eje $y$
Si $b > 1$ , la gráfica es creciente; si $0 < b < 1$ , es decreciente

La gráfica de

y = \log_b x

es la simétrica de la gráfica de

y = b^x

respecto de la recta

y = x

: cada punto

(p, q)

y = b^x

se convierte en el punto

(q, p)

Transformaciones:

y = \log_b(x - h) + k

desplaza la gráfica $h$ unidades a la derecha (a la izquierda si $h < 0$ ) y $k$ unidades hacia arriba (hacia abajo si $k < 0$ )
asíntota vertical $x = h$ , dominio $x > h$ , puntos clave $(1 + h, k)$ y $(b + h, 1 + k)$
$y = -\log_b x$ refleja la gráfica respecto del eje $x$ ; $y = \log_b(-x)$ la refleja respecto del eje $y$ (dominio $x < 0$ )

En la gráfica interactiva, mueve los deslizadores

b

h

k

y observa cómo se mueven la asíntota y los dos puntos clave.

Pruébalo ahora

¿Cuál es el dominio de

y = \log_3 x

Ejemplos resueltos

Representa $y = \log_2 x$ e indica su dominio, su recorrido y su asíntota.

Elige valores de x que sean potencias de 2

$x = \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8$ , porque el $\log_2$ de una potencia de 2 es fácil de hallar → Seis valores de x cómodos

Calcula cada valor de y

$\log_2 \frac{1}{4} = -2$ , $\log_2 \frac{1}{2} = -1$ , $\log_2 1 = 0$ , $\log_2 2 = 1$ , $\log_2 4 = 2$ , $\log_2 8 = 3$ → $y = -2, -1, 0, 1, 2, 3$

Dibuja los puntos y la asíntota

Marca $\left(\frac{1}{4}, -2\right)$ , $\left(\frac{1}{2}, -1\right)$ , $(1, 0)$ , $(2, 1)$ , $(4, 2)$ , $(8, 3)$ y traza la recta discontinua $x = 0$ → Puntos y asíntota $x = 0$

Únelos con una curva suave

La curva baja con fuerza cerca del eje $y$ sin tocarlo y sube despacio hacia la derecha → Curva creciente que pasa por $(1, 0)$

Respuesta: Dominio $x > 0$ , recorrido todos los números reales, asíntota vertical $x = 0$ , corte con el eje $x$ en $(1, 0)$ .

Errores comunes

Desplazar $y = \log_2(x - 3)$ tres unidades a la izquierda

Por qué está mal: El signo menos parece indicar un movimiento a la izquierda, pero el argumento $x - 3$ tiene que ser positivo, es decir, $x > 3$ : toda la gráfica está a la derecha de $x = 3$ .

Correcto: $y = \log_b(x - h)$ desplaza la gráfica $h$ unidades a la derecha. $y = \log_2(x - 3)$ tiene la asíntota $x = 3$ .

Dejar que la gráfica toque o cruce el eje $y$

Por qué está mal: $\log_b 0$ y el logaritmo de un número negativo no existen, porque $b^y$ siempre es positivo.

Correcto: La gráfica de $y = \log_b x$ se acerca cada vez más a $x = 0$ pero nunca llega. El dominio es $x > 0$ .

Pensar que la gráfica se estabiliza a cierta altura

Por qué está mal: La curva sube despacio y parece plana, pero nunca deja de subir: $\log_2 1024 = 10$ y $\log_2 1048576 = 20$ .

Correcto: Una gráfica logarítmica no tiene asíntota horizontal. El recorrido son todos los números reales.

Mantener el dominio $x > 0$ después de una traslación horizontal

Por qué está mal: El dominio depende del argumento, no de $x$ solo.

Correcto: En $y = \log_3(x + 5)$ el argumento $x + 5$ debe ser positivo, así que el dominio es $x > -5$ .

Visual interactivo

Gráfica de la función

b = 2h = 0k = 0

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

y = log_b(x - h) + kAsíntota

Tabla de valores

x	0,5	1	2	4	8
y	-1	0	1	2	3

Gráfica de la función

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Toca un nombre para mostrar u ocultar su gráfica.

y = xAsíntota

Gráfica de la función

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Toca un nombre para mostrar u ocultar su gráfica.

Asíntota

Tabla de valores

x	0,25	0,5	1	2	4	8
log_2(x)	-2	-1	0	1	2	3
log_0.5(x)	2	1	0	-1	-2	-3

Sandbox interactivo

Graficador interactivo

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Prueba estos ejemplos:

y = log_2(x)

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

Aún no hay cálculos

Problemas de práctica

18 problemas

Problema 1 de 18

Fácil

¿Cuál es el dominio de $y = \log_3 x$ ?

Por qué es importante

Las gráficas de funciones logarítmicas muestran cómo crece una magnitud cuando cada nuevo paso necesita muchas veces más entrada:

Sonido: un sonómetro muestra $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$ decibelios; multiplicar la intensidad por $10$ solo añade $10$ dB, por eso la curva es tan plana.
Química: $\text{pH} = -\log[H^+]$ es una gráfica logarítmica reflejada: más iones de hidrógeno dan un pH más bajo.
Informática: la búsqueda binaria necesita unos $\log_2 n$ pasos para $n$ elementos; duplicar la lista solo añade un paso.
Terremotos: la escala de Richter sube $1$ cada vez que la amplitud se multiplica por $10$ .

Leer estas gráficas significa ver tres cosas de un vistazo: dónde está la asíntota, qué valores están permitidos (dominio) y lo rápido que sube la curva. Esta lección se apoya en «Definición de logaritmo» y te prepara para «Resolver ecuaciones logarítmicas».

Aplicaciones del mundo real

Nivel sonoro en decibelios

Un sonómetro muestra $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$ decibelios, donde $\frac{I}{I_0}$ indica cuántas veces es más intenso el sonido que el sonido más débil que podemos oír. La gráfica es una curva logarítmica estirada: muy plana para intensidades grandes.

Ejemplo:

Un sonido $100$ veces más intenso que $I_0$ da $L = 10 \log 100 = 20$ dB. Un sonido otras $10$ veces más intenso solo da $30$ dB.

1Inténtalo tú mismo

En una biblioteca tranquila el sonido es $1000$ veces más intenso que el sonido audible más débil, así que $\frac{I}{I_0} = 1000$ .

¿Cuál es el nivel sonoro $L$ en decibelios?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $L = 10 \log(1000)$ :

Búsqueda binaria en informática

La búsqueda binaria encuentra un nombre en una lista ordenada partiéndola por la mitad una y otra vez. Para $n$ nombres necesita unas $\log_2 n$ divisiones, así que la gráfica del número de pasos es la gráfica de $y = \log_2 x$.

Ejemplo:

Una lista de $8$ nombres necesita $\log_2 8 = 3$ divisiones: $8 \to 4 \to 2 \to 1$ .

2Inténtalo tú mismo

Una lista de contactos ordenada tiene $1024$ nombres. Cada paso de la búsqueda binaria divide la lista por la mitad.

¿Cuántas divisiones hacen falta para quedarse con un solo nombre?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $\log_2(1024)$ :

La escala de pH en química

La acidez se mide con $\text{pH} = -\log[H^+]$, donde $[H^+]$ es la concentración de iones de hidrógeno. El signo menos refleja la gráfica logarítmica respecto del eje $x$, por eso el pH baja cuando la concentración sube.

Ejemplo:

El zumo de limón tiene $[H^+] = 0{,}01 = 10^{-2}$ , así que $\text{pH} = -\log(10^{-2}) = 2$ .

3Inténtalo tú mismo

Una muestra de agua de lluvia tiene $[H^+] = 0{,}0001$ .

¿Cuál es su pH?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $\text{pH} = -\log(0{,}0001)$ :

Puntos clave

1 $y = \log_b x$ es la inversa de $y = b^x$ : su gráfica es la simétrica de $y = b^x$ respecto de la recta $y = x$
2Puntos clave de $y = \log_b x$ : $\left(\frac{1}{b}, -1\right)$ , $(1, 0)$ y $(b, 1)$
3Dominio $x > 0$ , recorrido todos los números reales, asíntota vertical $x = 0$ , sin corte con el eje $y$
4Para $b > 1$ la gráfica es creciente; para $0 < b < 1$ es decreciente
5 $y = \log_b(x - h) + k$ desplaza la gráfica $h$ a la derecha y $k$ hacia arriba: asíntota $x = h$ , dominio $x > h$
6Un signo menos delante del logaritmo refleja la gráfica respecto del eje $x$ ; $\log_b(-x)$ la refleja respecto del eje $y$

Preguntas frecuentes

En el eje

y

se cumple

x = 0

, y

\log_b 0

exigiría

b^y = 0

. Una base positiva elevada a cualquier potencia es positiva, así que ningún

y

sirve. Cerca de

x = 0

los valores son números negativos muy grandes en valor absoluto (para

b > 1

), por eso la curva cae a lo largo de la asíntota.

Glosario

Función logarítmica: Una función $f(x) = \log_b x$ con $b > 0$ , $b \neq 1$ ; da el exponente al que hay que elevar $b$ para obtener $x$
Asíntota vertical: Una recta vertical $x = h$ a la que la gráfica se acerca cada vez más sin tocarla; para $y = \log_b x$ es $x = 0$
Dominio: Todos los valores de x en los que la función está definida; para $y = \log_b(x - h)$ es $x > h$
Recorrido (imagen): Todos los valores de y que toma la función; para toda función logarítmica son todos los números reales
Función inversa: Una función que deshace otra; su gráfica es la simétrica respecto de $y = x$ , como $y = \log_b x$ para $y = b^x$
Puntos clave: Puntos fáciles de dibujar: $\left(\frac{1}{b}, -1\right)$ , $(1, 0)$ y $(b, 1)$ para $y = \log_b x$

Tarjeta de fórmulas

Función básica

y = \log_b x \iff b^y = x

Base $b > 0$, $b \neq 1$; dominio $x > 0$, recorrido todos los números reales

Puntos clave

\left(\tfrac{1}{b}, -1\right),\ (1, 0),\ (b, 1)

Dibuja primero estos tres puntos

Función transformada

y = \log_b(x - h) + k

Asíntota $x = h$, dominio $x > h$, puntos clave $(1 + h, k)$ y $(b + h, 1 + k)$

Simetrías

y = -\log_b x,\quad y = \log_b(-x)

Respecto del eje $x$ y respecto del eje $y$ (dominio $x < 0$)

Inversa de la exponencial

(p, q) \text{ en } y = b^x \iff (q, p) \text{ en } y = \log_b x

Simetría respecto de la recta $y = x$

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