El pH de un refresco

Un refresco tiene una concentración de iones de hidrógeno $[H^+] = 3{,}2 \times 10^{-4}$ mol/L. Halla su pH, redondeado a dos decimales.

Escribir la fórmula: $\text{pH} = -\log[H^+] = -\log(0{,}00032)$ = $\text{pH} = -\log(0{,}00032)$

Calcular el logaritmo decimal: $\log(0{,}00032) \approx -3{,}49485$ = $\log(0{,}00032) \approx -3{,}49485$

Aplicar el signo menos: $\text{pH} = -(-3{,}49485) = 3{,}49485$ = $3{,}49485$

Redondear a dos decimales: La tercera cifra decimal es $4$, así que se redondea hacia abajo = $\text{pH} \approx 3{,}49$

Answer: $\text{pH} \approx 3{,}49$ (ácido, porque es menor que 7)

El nivel sonoro de una aspiradora

Una aspiradora produce un sonido $5\,000\,000$ de veces más intenso que el umbral de audición, es decir, $\frac{I}{I_0} = 5\,000\,000$. Halla su nivel sonoro en decibelios, redondeado a un decimal.

Escribir la fórmula: $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right) = 10 \log(5\,000\,000)$ = $L = 10 \log(5\,000\,000)$

Calcular el logaritmo: $5\,000\,000 = 5 \times 10^6$, así que $\log(5\,000\,000) = \log 5 + 6 \approx 6{,}69897$ = $\approx 6{,}69897$

Multiplicar por 10: $L \approx 10 \times 6{,}69897 = 66{,}9897$ = $66{,}9897$

Redondear a un decimal: La segunda cifra decimal es $8$, así que se redondea hacia arriba = $L \approx 67{,}0$ dB

Answer: $L \approx 67{,}0$ dB

Comparar dos terremotos

Un terremoto mide $7{,}3$ en la escala de Richter y otro mide $5{,}1$. ¿Cuántas veces mayor es la amplitud del más fuerte? Redondea al número entero más cercano.

Hallar la diferencia de magnitud: $d = 7{,}3 - 5{,}1 = 2{,}2$ = $d = 2{,}2$

Convertir la diferencia en una razón: Cada grado entero de la escala multiplica la amplitud por $10$, así que la razón es $10^{d} = 10^{2{,}2}$ = $10^{2{,}2}$

Calcular la potencia: $10^{2{,}2} = 10^2 \times 10^{0{,}2} \approx 100 \times 1{,}58489 = 158{,}489$ = $\approx 158{,}489$

Redondear al entero más cercano: $158{,}489 \approx 158$ = $158$

Answer: La amplitud es unas $158$ veces mayor (¡no $2{,}2$ veces!)

¿Cuándo se duplican los ahorros?

Depositas 1000 dólares al $5\,\%$ de interés compuesto una vez al año. ¿Cuánto tiempo tarda el saldo en llegar a 2000 dólares? Da $t$ redondeado a dos decimales y luego el número de años completos necesarios.

Escribir la ecuación de crecimiento: $1000 \cdot 1{,}05^t = 2000$ = $1000 \cdot 1{,}05^t = 2000$

Aislar la potencia: Dividir los dos miembros entre $1000$ = $1{,}05^t = 2$

Aplicar ln a los dos miembros y usar la regla de la potencia: $\ln(1{,}05^t) = \ln 2 \Rightarrow t \cdot \ln 1{,}05 = \ln 2$ = $t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}05}$

Calcular y redondear a dos decimales: $t \approx \frac{0{,}693147}{0{,}048790} \approx 14{,}2067$ = $t \approx 14{,}21$ años

Interpretar: el interés se abona una vez al año: Tras 14 años: $1000 \cdot 1{,}05^{14} \approx 1979{,}93$ (todavía no). Tras 15 años: $1000 \cdot 1{,}05^{15} \approx 2078{,}93$ = $15$ años completos

Answer: $t \approx 14{,}21$ años, así que el saldo llega por primera vez a 2000 dólares tras $15$ años completos

La vida media de un medicamento

Una paciente toma $400$ mg de un medicamento con una vida media de $6$ horas. ¿Después de cuántas horas quedarán solo $30$ mg? Redondea a un decimal.

Escribir el modelo de vida media: $400 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/6} = 30$ = $400 \cdot 0{,}5^{t/6} = 30$

Aislar la potencia: $0{,}5^{t/6} = \frac{30}{400} = 0{,}075$ = $0{,}5^{t/6} = 0{,}075$

Aplicar ln a los dos miembros: $\frac{t}{6} \cdot \ln 0{,}5 = \ln 0{,}075$ = $\frac{t}{6} = \frac{\ln 0{,}075}{\ln 0{,}5} \approx 3{,}73697$

Multiplicar por 6 y redondear: $t \approx 6 \times 3{,}73697 \approx 22{,}4218$ = $t \approx 22{,}4$ horas

Answer: Unas $22{,}4$ horas (algo menos de 4 vidas medias, ya que tras 4 vidas medias quedarían $25$ mg)

Mistake: Decir que un terremoto de magnitud 8 es "2 veces" o "el doble" de fuerte que uno de magnitud 6

Why: La escala de Richter es logarítmica: cada grado entero multiplica la amplitud por 10. Las diferencias de magnitud son exponentes, no factores.

Correct: Razón de amplitudes $= 10^{8 - 6} = 10^2 = 100$ veces.

Mistake: Olvidar el signo menos en $\text{pH} = -\log[H^+]$ y obtener un pH negativo como $-3{,}49$

Why: Concentraciones como $0{,}00032$ son menores que 1, así que su logaritmo es negativo. El signo menos de la fórmula hace que el pH sea positivo.

Correct: $\text{pH} = -\log(0{,}00032) = -(-3{,}49485) \approx 3{,}49$

Mistake: Usar el tipo de interés en lugar del factor de crecimiento: $t = \frac{\ln 2}{\ln 0{,}05}$

Why: El saldo se multiplica cada año por $1 + r = 1{,}05$, no por $0{,}05$. Además, $\ln 0{,}05$ es negativo, lo que daría un tiempo negativo.

Correct: $t = \frac{\ln 2}{\ln(1{,}05)} \approx 14{,}21$ años. Para un decrecimiento usa $1 - r$, por ejemplo $0{,}85$ para una pérdida del $15\,\%$.

Mistake: Redondear demasiado pronto, por ejemplo escribir $\ln 1{,}05 \approx 0{,}05$

Why: Los pequeños redondeos dentro de un cociente crecen: $\frac{0{,}6931}{0{,}05} \approx 13{,}86$ en lugar de $14{,}21$, un error de unos 4 meses.

Correct: Mantén toda la precisión de la calculadora (o al menos 5 cifras significativas) y redondea solo el resultado final, como pide el problema.

La lluvia ácida

Los científicos ambientales comparan la acidez de la lluvia con el pH. Como el pH es un logaritmo, una pequeña diferencia de pH significa una gran diferencia de iones de hidrógeno.

La lluvia normal tiene un pH de unos $5{,}6$. Una lluvia con pH $4{,}6$ tiene $10^{1} = 10$ veces más iones de hidrógeno.

Protección auditiva en los conciertos

Los técnicos de sonido y los audiólogos trabajan en decibelios. Los tapones para los oídos se clasifican según cuánto reducen la intensidad del sonido.

Dividir la intensidad entre $10$ baja el nivel $10$ dB, dividirla entre $100$ lo baja $20$ dB.

Planificar una meta de ahorro

Los asesores financieros usan logaritmos para saber cuántos años necesita una inversión para alcanzar una meta.

Al $4\,\%$ anual, el dinero se multiplica por $1{,}04$ cada año, así que el número de años es $t = \frac{\ln(\text{meta}/\text{inicio})}{\ln 1{,}04}$.

Q: ¿Uso log o ln para despejar el tiempo?

A: Los dos sirven, siempre que uses el mismo arriba y abajo: $\frac{\log 2}{\log 1{,}05} = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}05} \approx 14{,}21$. Las fórmulas del pH y de los decibelios se definen con el logaritmo decimal $\log$ (base 10), así que ahí usa $\log$.

Q: ¿Por qué la respuesta es 15 años si la calculadora dice 14,21?

A: La ecuación trata el tiempo como continuo, pero el banco solo abona el interés una vez al año. Tras 14 años el saldo sigue por debajo de la meta, así que necesitas el abono número 15. Pregúntate siempre si la situación admite fracciones de año.

Q: ¿Puede un pH ser negativo o mayor que 14?

A: Matemáticamente sí: $[H^+] = 2$ mol/L da $\text{pH} = -\log 2 \approx -0{,}30$. Sin embargo, en la química cotidiana casi todas las disoluciones están entre 0 y 14.

Q: ¿Hay una estimación rápida del tiempo de duplicación?

A: La "regla del 72" dice que el tiempo de duplicación es aproximadamente $72 \div (\text{tipo en }\%)$. Al $5\,\%$: $72 \div 5 = 14{,}4$ años, cerca del valor exacto $14{,}21$. Usa logaritmos cuando el problema pida una respuesta exacta.