Problemas de aplicación de logaritmos

Usa los logaritmos para resolver problemas reales: pH, decibelios, magnitud de terremotos, tiempo de duplicación, vida media y cuánto tarda en crecer el dinero.

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Definición

Un problema de aplicación de logaritmos describe una situación real en la que la incógnita es un exponente: un tiempo, una magnitud o un nivel. Lo resuelves en tres pasos: escribir la fórmula, aislar la potencia y aplicar un logaritmo a los dos miembros.
Hay dos tipos de problemas que aparecen una y otra vez:
1. Escalas logarítmicas (la fórmula ya contiene un logaritmo):
  • pH de una disolución: pH=−log⁡[H+]\text{pH} = -\log[H^+], donde [H+][H^+] es la concentración de iones de hidrógeno en mol/L
  • Nivel sonoro en decibelios: L=10log⁡(II0)L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right), donde I0I_0 es el umbral de audición
  • Magnitud en la escala de Richter: dos terremotos cuyas magnitudes difieren en dd tienen amplitudes en la razón 10d10^{d}
2. Crecimiento y decrecimiento en el tiempo (la incógnita tt está en el exponente):
A=P(1+r)t⇒t=ln⁡(AP)ln⁡(1+r)A = P(1 + r)^t \quad\Rightarrow\quad t = \frac{\ln\left(\frac{A}{P}\right)}{\ln(1 + r)}
Para un crecimiento continuo, A=PertA = Pe^{rt} da t=ln⁡(A/P)rt = \frac{\ln(A/P)}{r}, y para una vida media hh, la cantidad N=N0(12)t/hN = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/h} da t=h⋅ln⁡(N/N0)ln⁡(0,5)t = h \cdot \frac{\ln(N/N_0)}{\ln(0{,}5)}.
Aquí log⁡\log es el logaritmo decimal (base 10) y ln⁡\ln el logaritmo natural o neperiano (base ee). Casi todas las respuestas son decimales, así que cada problema indica cómo redondear, y solo redondeas al final.

Pruébalo ahora

Se compara un terremoto de magnitud 66 con uno de magnitud 44 en la escala de Richter. ¿Cuántas veces mayor es la amplitud del terremoto más fuerte?

Ejemplos resueltos

Un refresco tiene una concentración de iones de hidrógeno [H+]=3,2×10−4[H^+] = 3{,}2 \times 10^{-4} mol/L. Halla su pH, redondeado a dos decimales.

1

Escribir la fórmula

pH=−log⁡[H+]=−log⁡(0,00032)\text{pH} = -\log[H^+] = -\log(0{,}00032) → pH=−log⁡(0,00032)\text{pH} = -\log(0{,}00032)

2

Calcular el logaritmo decimal

log⁡(0,00032)≈−3,49485\log(0{,}00032) \approx -3{,}49485

3

Aplicar el signo menos

pH=−(−3,49485)=3,49485\text{pH} = -(-3{,}49485) = 3{,}49485

4

Redondear a dos decimales

La tercera cifra decimal es 44, así que se redondea hacia abajo → pH≈3,49\text{pH} \approx 3{,}49

Errores comunes

Decir que un terremoto de magnitud 8 es "2 veces" o "el doble" de fuerte que uno de magnitud 6

Por qué está mal: La escala de Richter es logarítmica: cada grado entero multiplica la amplitud por 10. Las diferencias de magnitud son exponentes, no factores.

Correcto: Razón de amplitudes =108−6=102=100= 10^{8 - 6} = 10^2 = 100 veces.

Olvidar el signo menos en pH=−log⁡[H+]\text{pH} = -\log[H^+] y obtener un pH negativo como −3,49-3{,}49

Por qué está mal: Concentraciones como 0,000320{,}00032 son menores que 1, así que su logaritmo es negativo. El signo menos de la fórmula hace que el pH sea positivo.

Correcto: pH=−log⁡(0,00032)=−(−3,49485)≈3,49\text{pH} = -\log(0{,}00032) = -(-3{,}49485) \approx 3{,}49

Usar el tipo de interés en lugar del factor de crecimiento: t=ln⁡2ln⁡0,05t = \frac{\ln 2}{\ln 0{,}05}

Por qué está mal: El saldo se multiplica cada año por 1+r=1,051 + r = 1{,}05, no por 0,050{,}05. Además, ln⁡0,05\ln 0{,}05 es negativo, lo que daría un tiempo negativo.

Correcto: t=ln⁡2ln⁡(1,05)≈14,21t = \frac{\ln 2}{\ln(1{,}05)} \approx 14{,}21 años. Para un decrecimiento usa 1−r1 - r, por ejemplo 0,850{,}85 para una pérdida del 15 %15\,\%.

Redondear demasiado pronto, por ejemplo escribir ln⁡1,05≈0,05\ln 1{,}05 \approx 0{,}05

Por qué está mal: Los pequeños redondeos dentro de un cociente crecen: 0,69310,05≈13,86\frac{0{,}6931}{0{,}05} \approx 13{,}86 en lugar de 14,2114{,}21, un error de unos 4 meses.

Correcto: Mantén toda la precisión de la calculadora (o al menos 5 cifras significativas) y redondea solo el resultado final, como pide el problema.

Visual interactivo

Gráfica de la función

05101520253001000200030004000AñosDólares(14,21; 2000)

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Toca un nombre para mostrar u ocultar su gráfica.

  • Punto de intersección: (14,21; 2000)
10³ = 1000
3

Observa cómo las potencias de un número crecen en la recta numérica. Cambia la base y el exponente.

10³ = 1000
3

Observa cómo las potencias de un número crecen en la recta numérica. Cambia la base y el exponente.

Calculadora de interés

Fórmula
Interés compuesto:A = P(1 + r/n)^(nt)A = 1000 · (1 + 0,05)^15 = 2078,93 US$

Interés compuesto

Intereses ganados:1078,93 US$
Monto total:2078,93 US$

Crecimiento en el tiempo

añosMonto

Sandbox interactivo

Graficador interactivo

051015202530-10-50510xy

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Prueba estos ejemplos:

y = 2x + 1

m=2, b=1

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

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Problemas de práctica

18 problemas
Problema 1 de 18
Fácil

Se compara un terremoto de magnitud 66 con uno de magnitud 44 en la escala de Richter. ¿Cuántas veces mayor es la amplitud del terremoto más fuerte?

Por qué es importante

Los logaritmos convierten rangos enormes de números en números pequeños y fáciles de leer, y son la única herramienta que saca una incógnita de un exponente:
  • Química: el zumo de limón (pH de unos 2) tiene 100 000100\,000 veces más iones de hidrógeno que el agua pura (pH 7).
  • Salud: un concierto de 110 dB es 10001000 veces más intenso que una calle de 80 dB, por eso importa la protección auditiva.
  • Geología: un terremoto de magnitud 7 tiene una amplitud 100100 veces mayor que uno de magnitud 5.
  • Dinero: bancos, ahorradores y asesores se preguntan "¿en cuántos años se duplica mi dinero?" y lo responden con ln⁡\ln.
  • Medicina: los médicos usan la vida media para saber cuándo un medicamento ha bajado de un nivel eficaz.
Cada una de estas preguntas trata de un exponente, y un logaritmo la responde.

Aplicaciones del mundo real

La lluvia ácida

Los científicos ambientales comparan la acidez de la lluvia con el pH. Como el pH es un logaritmo, una pequeña diferencia de pH significa una gran diferencia de iones de hidrógeno.

Ejemplo:

La lluvia normal tiene un pH de unos 5,65{,}6. Una lluvia con pH 4,64{,}6 tiene 101=1010^{1} = 10 veces más iones de hidrógeno.

1Inténtalo tú mismo

La lluvia normal tiene un pH de 5,65{,}6. Una tormenta trae lluvia ácida con un pH de 4,34{,}3.

¿Cuántas veces más iones de hidrógeno contiene la lluvia ácida? Redondea al número entero más cercano.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula 105,6−4,310^{5{,}6 - 4{,}3} y redondea al entero más cercano:

Protección auditiva en los conciertos

Los técnicos de sonido y los audiólogos trabajan en decibelios. Los tapones para los oídos se clasifican según cuánto reducen la intensidad del sonido.

Ejemplo:

Dividir la intensidad entre 1010 baja el nivel 1010 dB, dividirla entre 100100 lo baja 2020 dB.

2Inténtalo tú mismo

Un concierto de rock alcanza 110110 dB. Unos tapones reducen la intensidad del sonido que llega a tu oído a 11000\frac{1}{1000} de su valor.

¿Qué nivel sonoro, en decibelios, llega a tu oído? (La respuesta es un número entero, no hace falta redondear.)

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe el nuevo nivel como 10log⁡(10111000)10 \log\left(\frac{10^{11}}{1000}\right) y calcúlalo:

Planificar una meta de ahorro

Los asesores financieros usan logaritmos para saber cuántos años necesita una inversión para alcanzar una meta.

Ejemplo:

Al 4 %4\,\% anual, el dinero se multiplica por 1,041{,}04 cada año, así que el número de años es t=ln⁡(meta/inicio)ln⁡1,04t = \frac{\ln(\text{meta}/\text{inicio})}{\ln 1{,}04}.

3Inténtalo tú mismo

Inviertes 5000 dólares al 4 %4\,\% de interés compuesto una vez al año. Tu meta son 8000 dólares.

¿Cuántos años completos debes esperar hasta que el saldo alcance la meta por primera vez?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Resuelve 5000⋅1,04t=80005000 \cdot 1{,}04^t = 8000 y redondea hacia arriba a años enteros:

Puntos clave

  • 1En un problema de aplicación de logaritmos la incógnita es un exponente: un tiempo, una magnitud o un nivel
  • 2pH: pH=−log⁡[H+]\text{pH} = -\log[H^+]; al revés: [H+]=10−pH[H^+] = 10^{-\text{pH}}
  • 3Decibelios: L=10log⁡(II0)L = 10\log\left(\frac{I}{I_0}\right); cada 1010 dB más significan 1010 veces la intensidad
  • 4Richter: magnitudes que difieren en dd significan amplitudes en la razón 10d10^{d}
  • 5Tiempo en crecimiento o decrecimiento: aísla la potencia, aplica ln⁡\ln a los dos miembros y luego t=ln⁡(A/P)ln⁡(1±r)t = \frac{\ln(A/P)}{\ln(1 \pm r)}; tiempo de duplicación ln⁡2ln⁡(1+r)\frac{\ln 2}{\ln(1+r)}
  • 6Redondea solo al final, tal como pide el problema, y comprueba si la situación necesita años completos

Preguntas frecuentes

Los dos sirven, siempre que uses el mismo arriba y abajo: log⁡2log⁡1,05=ln⁡2ln⁡1,05≈14,21\frac{\log 2}{\log 1{,}05} = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}05} \approx 14{,}21. Las fórmulas del pH y de los decibelios se definen con el logaritmo decimal log⁡\log (base 10), así que ahí usa log⁡\log.
Los dos sirven, siempre que uses el mismo arriba y abajo: log⁡2log⁡1,05=ln⁡2ln⁡1,05≈14,21\frac{\log 2}{\log 1{,}05} = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}05} \approx 14{,}21. Las fórmulas del pH y de los decibelios se definen con el logaritmo decimal log⁡\log (base 10), así que ahí usa log⁡\log.
La ecuación trata el tiempo como continuo, pero el banco solo abona el interés una vez al año. Tras 14 años el saldo sigue por debajo de la meta, así que necesitas el abono número 15. Pregúntate siempre si la situación admite fracciones de año.
Matemáticamente sí: [H+]=2[H^+] = 2 mol/L da pH=−log⁡2≈−0,30\text{pH} = -\log 2 \approx -0{,}30. Sin embargo, en la química cotidiana casi todas las disoluciones están entre 0 y 14.
La "regla del 72" dice que el tiempo de duplicación es aproximadamente 72÷(tipo en %)72 \div (\text{tipo en }\%). Al 5 %5\,\%: 72÷5=14,472 \div 5 = 14{,}4 años, cerca del valor exacto 14,2114{,}21. Usa logaritmos cuando el problema pida una respuesta exacta.

Glosario

pH
Medida de la acidez: pH=−log⁡[H+]\text{pH} = -\log[H^+]. Menos de 7 es ácido, 7 es neutro, más de 7 es básico.
Decibelio (dB)
Unidad del nivel sonoro: L=10log⁡(II0)L = 10\log\left(\frac{I}{I_0}\right), donde I0I_0 es el umbral de audición.
Escala de Richter
Escala logarítmica para terremotos: un grado entero más significa 1010 veces la amplitud del movimiento del suelo.
Tiempo de duplicación
Tiempo que tarda una cantidad que crece en duplicarse: t=ln⁡2ln⁡(1+r)t = \frac{\ln 2}{\ln(1 + r)} para un crecimiento de rr por periodo.
Vida media
Tiempo que tarda una cantidad que decrece en reducirse a la mitad de su valor.
Factor de crecimiento
Número por el que se multiplica una cantidad en cada periodo: 1+r1 + r si crece, 1−r1 - r si decrece.

Tarjeta de fórmulas

pH

pH=−log⁡[H+]  ⟺  [H+]=10−pH\text{pH} = -\log[H^+] \iff [H^+] = 10^{-\text{pH}}

La acidez a partir de la concentración de iones de hidrógeno

Nivel sonoro

L=10log⁡(II0)  ⟺  II0=10L/10L = 10\log\left(\frac{I}{I_0}\right) \iff \frac{I}{I_0} = 10^{L/10}

Los decibelios a partir de la razón de intensidades

Comparación en la escala de Richter

A1A2=10M1−M2\frac{A_1}{A_2} = 10^{M_1 - M_2}

Razón de las amplitudes de dos terremotos

Tiempo para alcanzar una meta

t=ln⁡(A/P)ln⁡(1+r)t = \frac{\ln(A/P)}{\ln(1 + r)}

A partir de $A = P(1 + r)^t$; usa $1 - r$ si decrece

Crecimiento continuo

t=ln⁡(A/P)rt = \frac{\ln(A/P)}{r}

A partir de $A = Pe^{rt}$

Vida media

t=h⋅ln⁡(N/N0)ln⁡0,5t = h \cdot \frac{\ln(N/N_0)}{\ln 0{,}5}

A partir de $N = N_0 \cdot 0{,}5^{t/h}$ con vida media $h$

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