Calcular el ln de una potencia de e

Calcula $\ln(e^5)$ sin calculadora.

Plantear la pregunta: $\ln(e^5)$ pregunta: ¿a qué potencia tengo que elevar $e$ para obtener $e^5$? = $e^{?} = e^5$

Leer el exponente: La potencia que convierte $e$ en $e^5$ es $5$ = $? = 5$

Usar la regla inversa: $\ln$ deshace $e^x$: $\ln(e^x) = x$ = $\ln(e^5) = 5$

Answer: $\ln(e^5) = 5$

Pasar de la forma ln a la forma exponencial

(a) Escribe $\ln x = 3$ en forma exponencial y halla $x$. (b) Escribe $e^0 = 1$ en forma logarítmica.

Usar la definición en (a): $\ln x = y$ significa $e^y = x$, así que $\ln x = 3$ significa $e^3 = x$ = $x = e^3$

Calcular con la calculadora: $e^3 \approx 20{,}09$ = $x \approx 20{,}09$

Reescribir (b) con ln: En $e^0 = 1$ el exponente es $0$ y el resultado es $1$, así que $\ln 1 = 0$ = $\ln 1 = 0$

Answer: (a) $x = e^3 \approx 20{,}09$. (b) $\ln 1 = 0$.

Simplificar con las reglas inversas

Simplifica $e^{\ln 7}$ y $\ln \sqrt{e}$.

Simplificar $e^{\ln 7}$: $e^x$ deshace $\ln$: $e^{\ln x} = x$ para $x > 0$ = $e^{\ln 7} = 7$

Escribir $\sqrt{e}$ como potencia de $e$: Una raíz cuadrada es la potencia $\frac{1}{2}$ = $\sqrt{e} = e^{1/2}$

Aplicar $\ln(e^x) = x$: $\ln(e^{1/2})$ es el exponente $\frac{1}{2}$ = $\ln \sqrt{e} = \frac{1}{2}$

Answer: $e^{\ln 7} = 7$ y $\ln \sqrt{e} = \frac{1}{2} = 0{,}5$

Calcular ln con la calculadora

Halla $\ln 10$ con 3 decimales y comprueba el resultado.

Pulsar la tecla LN (no LOG): Escribe ln(10) en la calculadora = $\ln 10 = 2{,}302585...$

Redondear a 3 decimales: La 4.ª cifra decimal es $5$, así que se redondea hacia arriba = $\ln 10 \approx 2{,}303$

Comprobar con $e^x$: $e^{2{,}303} \approx 10{,}004$, que está muy cerca de $10$ = Comprobación correcta

Ver si el tamaño tiene sentido: $e^2 \approx 7{,}39$ y $e^3 \approx 20{,}09$, y $10$ está entre ambos = $2 < \ln 10 < 3$

Answer: $\ln 10 \approx 2{,}303$

Resolver una ecuación exponencial con ln

Resuelve $3e^{2x} = 60$. Redondea a 3 decimales.

Aislar la potencia de $e$: Divide los dos miembros entre $3$: $e^{2x} = \frac{60}{3}$ = $e^{2x} = 20$

Aplicar $\ln$ a los dos miembros: $\ln(e^{2x}) = \ln 20$, y $\ln(e^{2x}) = 2x$ = $2x = \ln 20$

Calcular $\ln 20$: Calculadora: $\ln 20 \approx 2{,}9957$ = $2x \approx 2{,}9957$

Dividir entre 2: $x = \frac{\ln 20}{2} \approx 1{,}4979$ = $x \approx 1{,}498$

Comprobar: $3e^{2 \cdot 1{,}498} = 3e^{2{,}996} \approx 3 \cdot 20{,}005 \approx 60$ = Comprobación correcta

Answer: $x = \frac{\ln 20}{2} \approx 1{,}498$

Mistake: Escribir $\ln 1 = 1$ o $\ln e = 0$

Why: Es fácil intercambiar los dos valores clave. $\ln$ da un exponente, no el propio número.

Correct: $\ln 1 = 0$ porque $e^0 = 1$, y $\ln e = 1$ porque $e^1 = e$.

Mistake: Calcular el $\ln$ de cero o de un número negativo, como $\ln 0$ o $\ln(-3)$

Why: $e^y$ siempre es positivo, sea cual sea $y$. Ninguna potencia de $e$ da $0$ o un número negativo.

Correct: $\ln x$ solo existe para $x > 0$. La calculadora muestra un error para $\ln 0$ y $\ln(-3)$.

Mistake: Pulsar LOG en lugar de LN en la calculadora

Why: LOG es el logaritmo decimal (base 10) y LN es el logaritmo natural (base $e$). Dan resultados distintos.

Correct: $\log 10 = 1$, pero $\ln 10 \approx 2{,}303$. Usa LN siempre que la base sea $e$.

Mistake: Resolver $e^x = 20$ dividiendo: $x = \frac{20}{e}$

Why: $x$ es un exponente, no un factor. Dividir entre $e$ no deshace la potencia de $e$.

Correct: Deshaz $e^x$ con $\ln$: $x = \ln 20 \approx 2{,}996$.

Biología: ¿cuándo alcanzará el cultivo su objetivo?

Un cultivo de bacterias con alimento de sobra crece de forma continua según $N = N_0 e^{rt}$. Para saber CUÁNDO alcanza un tamaño, necesitas $\ln$ para bajar $t$ del exponente.

Con $N = 1000e^{0{,}3t}$, el cultivo llega a 3000 cuando $e^{0{,}3t} = 3$, es decir, $0{,}3t = \ln 3$ y $t = \frac{\ln 3}{0{,}3} \approx 3{,}66$ horas.

Finanzas: tiempo de duplicación con interés continuo

Los bancos comparan ofertas de ahorro con interés compuesto continuo, $A = Pe^{rt}$. El tiempo que tarda el dinero en duplicarse es $t = \frac{\ln 2}{r}$.

Al 7 % con capitalización continua, el dinero se duplica en $\frac{\ln 2}{0{,}07} \approx 9{,}90$ años. Como $\ln 2 \approx 0{,}693$, los banqueros usan la "regla del 70": 70 dividido entre el tipo de interés en porcentaje.

Medicina: cuánto tiempo permanece un fármaco en la sangre

Muchos medicamentos se eliminan de forma continua, así que la cantidad en sangre sigue $C = C_0 e^{-kt}$. Los médicos usan $\ln$ para saber cuándo toca la siguiente dosis.

Un fármaco con $k = 0{,}25$ por hora tiene una vida media de $\frac{\ln 2}{0{,}25} \approx 2{,}77$ horas: pasado ese tiempo, queda la mitad.

Q: ¿Por qué se llama logaritmo natural?

A: Porque su base $e$ aparece de forma natural: en el crecimiento continuo, en el interés continuo y en el cálculo, donde $e^x$ y $\ln x$ tienen las tasas de cambio más sencillas. La "n" de $\ln$ viene del latín "logarithmus naturalis". También se llama neperiano, por John Napier.

Q: ¿Es ln lo mismo que log?

A: No. $\log x$ (logaritmo decimal) tiene base 10 y $\ln x$ tiene base $e$. Por ejemplo, $\log 100 = 2$ pero $\ln 100 \approx 4{,}605$. Los dos responden al mismo tipo de pregunta, solo cambia la base.

Q: ¿Por qué mi calculadora da error con ln(0)?

A: Porque $e^y$ siempre es positivo: no hay ninguna potencia de $e$ que valga $0$ o un número negativo. La gráfica de $y = \ln x$ solo está a la derecha del eje $y$, que es una asíntota vertical.

Q: ¿Qué relación hay entre las gráficas de $y = e^x$ e $y = \ln x$?

A: Son simétricas respecto a la recta $y = x$, porque son funciones inversas. El punto $(0, 1)$ de $y = e^x$ corresponde al punto $(1, 0)$ de $y = \ln x$, y $(1, e)$ corresponde a $(e, 1)$.