¿Por qué se llama logaritmo natural?

Porque su base $e$ aparece de forma natural: en el crecimiento continuo, en el interés continuo y en el cálculo, donde $e^x$ y $\ln x$ tienen las tasas de cambio más sencillas. La "n" de $\ln$ viene del latín "logarithmus naturalis". También se llama neperiano, por John Napier.

¿Es ln lo mismo que log?

No. $\log x$ (logaritmo decimal) tiene base 10 y $\ln x$ tiene base $e$. Por ejemplo, $\log 100 = 2$ pero $\ln 100 \approx 4{,}605$. Los dos responden al mismo tipo de pregunta, solo cambia la base.

¿Por qué mi calculadora da error con ln(0)?

Porque $e^y$ siempre es positivo: no hay ninguna potencia de $e$ que valga $0$ o un número negativo. La gráfica de $y = \ln x$ solo está a la derecha del eje $y$, que es una asíntota vertical.

¿Qué relación hay entre las gráficas de $y = e^x$ e $y = \ln x$?

Son simétricas respecto a la recta $y = x$, porque son funciones inversas. El punto $(0, 1)$ de $y = e^x$ corresponde al punto $(1, 0)$ de $y = \ln x$, y $(1, e)$ corresponde a $(e, 1)$.

Recursos para profesores

Logaritmo natural (ln)

Aprende qué significa ln x, por qué ln e = 1 y ln 1 = 0, cómo ln deshace e^x y cómo resolver ecuaciones como e^x = 20 con la calculadora.

Avanzado25 minLección

Ficha imprimible

Definición

El logaritmo natural (o neperiano) es el logaritmo en base

e

, donde

e \approx 2{,}71828

es el número de Euler. En lugar de escribir

\log_e x

, escribimos

\ln x

(se lee "logaritmo natural de x" o "ele ene de x").

\ln x = \log_e x

Como todo logaritmo,

\ln x

responde a una pregunta: **"¿A qué potencia tengo que elevar

e

para obtener

x

?"**

\ln x = y \iff e^y = x

Dos valores que debes saber de memoria:

$\ln 1 = 0$ , porque $e^0 = 1$
$\ln e = 1$ , porque $e^1 = e$

ln deshace e^x (y al revés): la función

y = \ln x

es la función inversa de

y = e^x

, así que

\ln(e^x) = x \quad \text{y} \quad e^{\ln x} = x \; (x > 0)

El argumento tiene que ser positivo:

\ln x

solo existe para

x > 0

, porque

e^y

nunca es cero ni negativo. Por tanto, el dominio de

y = \ln x

x > 0

Pruébalo ahora

¿Cuál es el valor de

\ln 1

Ejemplos resueltos

Calcula $\ln(e^5)$ sin calculadora.

Plantear la pregunta

$\ln(e^5)$ pregunta: ¿a qué potencia tengo que elevar $e$ para obtener $e^5$ ? → $e^{?} = e^5$

Leer el exponente

La potencia que convierte $e$ en $e^5$ es $5$ → $? = 5$

Usar la regla inversa

$\ln$ deshace $e^x$ : $\ln(e^x) = x$ → $\ln(e^5) = 5$

Respuesta: $\ln(e^5) = 5$

Errores comunes

Escribir $\ln 1 = 1$ o $\ln e = 0$

Por qué está mal: Es fácil intercambiar los dos valores clave. $\ln$ da un exponente, no el propio número.

Correcto: $\ln 1 = 0$ porque $e^0 = 1$ , y $\ln e = 1$ porque $e^1 = e$ .

Calcular el $\ln$ de cero o de un número negativo, como $\ln 0$ o $\ln(-3)$

Por qué está mal: $e^y$ siempre es positivo, sea cual sea $y$ . Ninguna potencia de $e$ da $0$ o un número negativo.

Correcto: $\ln x$ solo existe para $x > 0$ . La calculadora muestra un error para $\ln 0$ y $\ln(-3)$ .

Pulsar LOG en lugar de LN en la calculadora

Por qué está mal: LOG es el logaritmo decimal (base 10) y LN es el logaritmo natural (base $e$ ). Dan resultados distintos.

Correcto: $\log 10 = 1$ , pero $\ln 10 \approx 2{,}303$ . Usa LN siempre que la base sea $e$ .

Resolver $e^x = 20$ dividiendo: $x = \frac{20}{e}$

Por qué está mal: $x$ es un exponente, no un factor. Dividir entre $e$ no deshace la potencia de $e$ .

Correcto: Deshaz $e^x$ con $\ln$ : $x = \ln 20 \approx 2{,}996$ .

Visual interactivo

Gráfica de la función

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Toca un nombre para mostrar u ocultar su gráfica.

y = xAsíntota

Tabla de valores

x	0,5	1	2	3	5
e^x	1,64872	2,71828	7,38906	20,0855	148,413
ln(x)	-0,693147	0	0,693147	1,09861	1,60944

Sandbox interactivo

Graficador interactivo

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Prueba estos ejemplos:

y = 2x + 1

m=2, b=1

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

Aún no hay cálculos

Problemas de práctica

18 problemas

Problema 1 de 18

Fácil

¿Cuál es el valor de $\ln 1$ ?

Por qué es importante

El número

e

aparece siempre que algo crece o disminuye de forma continua, y

\ln

es la herramienta que saca el tiempo o la tasa del exponente:

Crecimiento continuo: si unas bacterias crecen según $N = 500e^{0{,}4t}$ , $\ln$ te dice cuándo habrá 2000.
Dinero: con interés compuesto continuo $A = Pe^{rt}$ , el tiempo de duplicación es $t = \frac{\ln 2}{r}$ .
Medicina: cuánto tiempo se mantiene un medicamento por encima de un nivel seguro en la sangre se calcula con $\ln$ .
Ciencias y cálculo: $\ln x$ aparece en física, química y en cualquier curso de cálculo, porque $e^x$ y $\ln x$ tienen las derivadas más sencillas.

Sin

\ln

, una ecuación como

e^x = 20

solo se podría resolver probando. Con

\ln

, basta un paso:

x = \ln 20 \approx 2{,}996

Aplicaciones del mundo real

Biología: ¿cuándo alcanzará el cultivo su objetivo?

Un cultivo de bacterias con alimento de sobra crece de forma continua según $N = N_0 e^{rt}$. Para saber CUÁNDO alcanza un tamaño, necesitas $\ln$ para bajar $t$ del exponente.

Ejemplo:

Con $N = 1000e^{0{,}3t}$ , el cultivo llega a 3000 cuando $e^{0{,}3t} = 3$ , es decir, $0{,}3t = \ln 3$ y $t = \frac{\ln 3}{0{,}3} \approx 3{,}66$ horas.

1Inténtalo tú mismo

Un cultivo empieza con 500 bacterias y crece según $N = 500e^{0{,}4t}$ , con $t$ en horas.

¿Al cabo de cuántas horas hay 2000 bacterias? Redondea a 2 decimales.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $t = \frac{\ln 4}{0{,}4}$ :

Finanzas: tiempo de duplicación con interés continuo

Los bancos comparan ofertas de ahorro con interés compuesto continuo, $A = Pe^{rt}$. El tiempo que tarda el dinero en duplicarse es $t = \frac{\ln 2}{r}$.

Ejemplo:

Al 7 % con capitalización continua, el dinero se duplica en $\frac{\ln 2}{0{,}07} \approx 9{,}90$ años. Como $\ln 2 \approx 0{,}693$ , los banqueros usan la "regla del 70": 70 dividido entre el tipo de interés en porcentaje.

2Inténtalo tú mismo

Inviertes 1000 dólares al 5 % de interés compuesto continuo, así que $A = 1000e^{0{,}05t}$ .

¿Al cabo de cuántos años tendrás 2000 dólares? Redondea a 2 decimales.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $t = \frac{\ln 2}{0{,}05}$ :

Medicina: cuánto tiempo permanece un fármaco en la sangre

Muchos medicamentos se eliminan de forma continua, así que la cantidad en sangre sigue $C = C_0 e^{-kt}$. Los médicos usan $\ln$ para saber cuándo toca la siguiente dosis.

Ejemplo:

Un fármaco con $k = 0{,}25$ por hora tiene una vida media de $\frac{\ln 2}{0{,}25} \approx 2{,}77$ horas: pasado ese tiempo, queda la mitad.

3Inténtalo tú mismo

Una paciente toma 100 mg de un medicamento. La cantidad que queda después de $t$ horas es $C = 100e^{-0{,}25t}$ .

¿Al cabo de cuántas horas quedan 40 mg? Redondea a 2 decimales.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $t = \frac{\ln 0{,}4}{-0{,}25}$ :

Puntos clave

1El logaritmo natural es el logaritmo en base $e \approx 2{,}71828$ : $\ln x = \log_e x$
2 $\ln x = y$ significa $e^y = x$ : ln da la potencia de $e$ que produce $x$
3Valores clave: $\ln 1 = 0$ y $\ln e = 1$
4 $\ln$ y $e^x$ son funciones inversas: $\ln(e^x) = x$ y $e^{\ln x} = x$ para $x > 0$
5 $\ln x$ solo existe para $x > 0$ ; es negativo si $0 < x < 1$ y positivo si $x > 1$
6Para resolver $e^x = k$ (con $k > 0$ ), aplica ln a los dos miembros: $x = \ln k$

Preguntas frecuentes

Porque su base

e

aparece de forma natural: en el crecimiento continuo, en el interés continuo y en el cálculo, donde

e^x

\ln x

tienen las tasas de cambio más sencillas. La "n" de

\ln

viene del latín "logarithmus naturalis". También se llama neperiano, por John Napier.

Glosario

Logaritmo natural: El logaritmo en base $e$ , que se escribe $\ln x$ ; $\ln x = y$ significa $e^y = x$
Número de Euler $e$: El número irracional $e \approx 2{,}71828$ , la base del crecimiento continuo
Función inversa: Una función que deshace otra; $\ln x$ y $e^x$ son funciones inversas entre sí
Argumento: El número del que se calcula el logaritmo, la $x$ de $\ln x$ ; tiene que ser positivo
Dominio: Todos los valores permitidos de la variable; para $y = \ln x$ es $x > 0$
Ecuación exponencial: Una ecuación con la incógnita en el exponente, como $e^x = 20$

Tarjeta de fórmulas

Definición

\ln x = \log_e x

Logaritmo en base $e \approx 2{,}71828$

Forma exponencial

\ln x = y \iff e^y = x

Pasar de una forma a la otra

Valores clave

\ln 1 = 0, \quad \ln e = 1

Porque $e^0 = 1$ y $e^1 = e$

Reglas inversas

\ln(e^x) = x, \quad e^{\ln x} = x

La segunda, para $x > 0$

Resolver $e^x = k$

x = \ln k

Solo para $k > 0$

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Finanzas: tiempo de duplicación con interés continuo

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Tarjeta de fórmulas

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Forma exponencial

Valores clave

Reglas inversas

Resolver $e^x = k$

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