Comprobar la regla con números

Demuestra que $\log_2\left(\dfrac{32}{4}\right) = \log_2 32 - \log_2 4$.

Calcular directamente el lado izquierdo: $\dfrac{32}{4} = 8$ y $2^3 = 8$ = $\log_2 8 = 3$

Calcular cada logaritmo del lado derecho: $2^5 = 32$ y $2^2 = 4$ = $\log_2 32 = 5$, $\log_2 4 = 2$

Restar: $5 - 2 = 3$ = $3$

Comparar los dos lados: Lado izquierdo $3$, lado derecho $3$ = Los dos lados son iguales

Answer: Los dos lados valen $3$, así que $\log_2\left(\dfrac{32}{4}\right) = \log_2 32 - \log_2 4$.

Compactar una diferencia

Escribe $\log_3 54 - \log_3 2$ como un solo logaritmo y calcúlalo.

Comprobar que las bases coinciden: Los dos logaritmos tienen base $3$ = Se puede aplicar la regla del cociente

Juntar en un solo logaritmo (numerador: el primer término): $\log_3 54 - \log_3 2 = \log_3\left(\dfrac{54}{2}\right)$ = $\log_3 27$

Calcular: $3^3 = 27$ = $\log_3 27 = 3$

Answer: $\log_3 54 - \log_3 2 = \log_3 27 = 3$

Desarrollar un cociente con una variable

Desarrolla $\log_5\left(\dfrac{x}{25}\right)$ para $x > 0$ y simplifica todo lo posible.

Aplicar la regla del cociente: Numerador menos denominador: $\log_5\left(\dfrac{x}{25}\right) = \log_5 x - \log_5 25$ = $\log_5 x - \log_5 25$

Calcular la parte numérica: $5^2 = 25$ = $\log_5 25 = 2$

Escribir la forma simplificada: $\log_5 x$ no se puede simplificar más = $\log_5 x - 2$

Answer: $\log_5\left(\dfrac{x}{25}\right) = \log_5 x - 2$

Regla del cociente y regla del producto juntas

Desarrolla $\log\left(\dfrac{ab}{c}\right)$ para $a, b, c > 0$.

Separar primero el cociente: $\log\left(\dfrac{ab}{c}\right) = \log(ab) - \log c$ = $\log(ab) - \log c$

Separar el producto con la regla del producto: $\log(ab) = \log a + \log b$ = $\log a + \log b - \log c$

Comprobar con números ($a = 20$, $b = 5$, $c = 10$): $\log\left(\dfrac{100}{10}\right) = \log 10 = 1$ y $\log 20 + \log 5 - \log 10 = \log 100 - 1 = 1$ = Los dos dan $1$

Answer: $\log\left(\dfrac{ab}{c}\right) = \log a + \log b - \log c$

Compactar tres logaritmos

Calcula $\log 40 + \log 50 - \log 2$ sin calculadora ($\log$ es el logaritmo decimal, de base 10).

Juntar la suma con la regla del producto: $\log 40 + \log 50 = \log(40 \cdot 50)$ = $\log 2000$

Juntar la diferencia con la regla del cociente: $\log 2000 - \log 2 = \log\left(\dfrac{2000}{2}\right)$ = $\log 1000$

Escribir $1000$ como potencia de $10$: $1000 = 10^3$ = $\log 1000 = 3$

Answer: $\log 40 + \log 50 - \log 2 = \log 1000 = 3$

Mistake: Escribir $\dfrac{\log M}{\log N} = \log\left(\dfrac{M}{N}\right)$

Why: Un cociente de dos logaritmos no es el logaritmo de un cociente. Compruébalo: $\dfrac{\log 100}{\log 10} = \dfrac{2}{1} = 2$, pero $\log\left(\dfrac{100}{10}\right) = \log 10 = 1$.

Correct: La regla convierte una división DENTRO del logaritmo en una resta: $\log\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log M - \log N$. La fracción $\dfrac{\log M}{\log N}$ no tiene ningún atajo de este tipo.

Mistake: Escribir $\log(M - N) = \log M - \log N$

Why: La regla trata de un cociente dentro del logaritmo, no de una diferencia. Compruébalo: $\log(100 - 10) = \log 90 \approx 1{,}954$, pero $\log 100 - \log 10 = 1$.

Correct: No hay ninguna regla que separe $\log(M - N)$. Solo $\log\left(\dfrac{M}{N}\right)$ se convierte en $\log M - \log N$.

Mistake: Restar en el orden equivocado: $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b N - \log_b M$

Why: La resta no es conmutativa, así que el orden importa. $\log_2\left(\dfrac{8}{2}\right) = \log_2 4 = 2$, pero $\log_2 2 - \log_2 8 = 1 - 3 = -2$.

Correct: Primero el numerador, menos el denominador: $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N$.

Mistake: Escribir $\log\left(\dfrac{M}{NP}\right) = \log M - \log N + \log P$

Why: Tanto $N$ como $P$ están en el denominador, así que se restan los dos logaritmos. El $+$ trata a $P$ como si estuviera en el numerador.

Correct: $\log\left(\dfrac{M}{NP}\right) = \log M - \log(NP) = \log M - \log N - \log P$. Usa paréntesis: $\log M - (\log N + \log P)$.

Comparar niveles de sonido en decibelios

El nivel sonoro es $L = 10 \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$ decibelios, donde $I$ es la intensidad e $I_0$ una referencia fija. Por la regla del cociente, la diferencia entre dos niveles es $10(\log I_A - \log I_B) = 10 \log\left(\dfrac{I_A}{I_B}\right)$: la referencia $I_0$ se cancela.

Un sonido 100 veces más intenso que otro suena $10 \log 100 = 20$ decibelios más fuerte.

Comparar la acidez con el pH

En química, $\text{pH} = -\log[H^+]$, donde $[H^+]$ es la concentración de iones hidrógeno. Por la regla del cociente, la diferencia de pH entre dos disoluciones es el logaritmo de la razón de sus concentraciones.

El café tiene $[H^+] = 10^{-5}$ y el agua pura $10^{-7}$. La diferencia de pH es $\log\left(\dfrac{10^{-5}}{10^{-7}}\right) = \log 100 = 2$ (pH 5 frente a pH 7).

Comparar terremotos en la escala de Richter

La magnitud de Richter es $M = \log\left(\dfrac{A}{A_0}\right)$, donde $A$ es la amplitud del movimiento del suelo y $A_0$ una amplitud de referencia. Para dos terremotos medidos a la misma distancia, la regla del cociente da $M_1 - M_2 = \log\left(\dfrac{A_1}{A_2}\right)$.

Si un terremoto tiene 10 veces la amplitud de otro, su magnitud es $\log 10 = 1$ mayor.

Q: ¿Los dos logaritmos tienen que tener la misma base?

A: Sí. $\log_b M - \log_b N = \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)$ solo funciona cuando los dos términos tienen la misma base $b$. Una diferencia como $\log_2 8 - \log_3 9$ no se puede compactar en un solo logaritmo con esta regla.

Q: ¿Qué pasa cuando el cociente es menor que 1?

A: Entonces el logaritmo es negativo (con una base mayor que 1), y la regla muestra por qué: $\log_2\left(\dfrac{1}{8}\right) = \log_2 1 - \log_2 8 = 0 - 3 = -3$. En general, $\log_b\left(\dfrac{1}{N}\right) = -\log_b N$.

Q: ¿Puedo desarrollar $\log\left(\dfrac{x}{x - 2}\right)$?

A: Sí, para $x > 2$: $\log x - \log(x - 2)$. Pero $\log(x - 2)$ se queda como está, porque no hay ninguna regla para el logaritmo de una diferencia.

Q: ¿Por qué se dice que es la gemela de la regla del producto?

A: Dividir entre $N$ es multiplicar por $\dfrac{1}{N}$, así que $\log\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log M + \log\left(\dfrac{1}{N}\right) = \log M - \log N$. Cada paso con la regla del cociente es un paso con la regla del producto disfrazado.