¿Qué pasa cuando el cociente es menor que 1?

Entonces el logaritmo es negativo (con una base mayor que 1), y la regla muestra por qué: $\log_2\left(\dfrac{1}{8}\right) = \log_2 1 - \log_2 8 = 0 - 3 = -3$. En general, $\log_b\left(\dfrac{1}{N}\right) = -\log_b N$.

¿Puedo desarrollar $\log\left(\dfrac{x}{x - 2}\right)$?

Sí, para $x > 2$: $\log x - \log(x - 2)$. Pero $\log(x - 2)$ se queda como está, porque no hay ninguna regla para el logaritmo de una diferencia.

¿Por qué se dice que es la gemela de la regla del producto?

Dividir entre $N$ es multiplicar por $\dfrac{1}{N}$, así que $\log\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log M + \log\left(\dfrac{1}{N}\right) = \log M - \log N$. Cada paso con la regla del cociente es un paso con la regla del producto disfrazado.

Recursos para profesores

Regla del cociente de los logaritmos

Q: ¿Los dos logaritmos tienen que tener la misma base?

Sí. $\log_b M - \log_b N = \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)$ solo funciona cuando los dos términos tienen la misma base $b$. Una diferencia como $\log_2 8 - \log_3 9$ no se puede compactar en un solo logaritmo con esta regla.

Aprende por qué el logaritmo de un cociente es una diferencia de logaritmos y usa la regla para desarrollar y compactar expresiones.

Avanzado25 minLección

Ficha imprimible

Definición

La regla del cociente de los logaritmos dice: el logaritmo de un cociente es el logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N

La regla se cumple para

M > 0

N > 0

y una base

b > 0

con

b \neq 1

Por qué funciona: un logaritmo es un exponente. Escribe

\log_b M = x

\log_b N = y

, así que

M = b^x

N = b^y

. Al dividir potencias de la misma base se restan los exponentes:

\dfrac{M}{N} = \dfrac{b^x}{b^y} = b^{x-y} \quad\Rightarrow\quad \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = x - y = \log_b M - \log_b N

Es la gemela de la regla del producto (

\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N

): multiplicar dentro del logaritmo se convierte en sumar fuera, y dividir dentro se convierte en restar fuera.

Ejemplo:

\log_2\left(\dfrac{32}{4}\right) = \log_2 32 - \log_2 4 = 5 - 2 = 3

, y en efecto

\log_2 8 = 3

Puedes usar la regla en dos direcciones:

Desarrollar: separar el logaritmo de un cociente en una diferencia, $\log_3\left(\dfrac{x}{7}\right) = \log_3 x - \log_3 7$
Compactar: juntar una diferencia en un solo logaritmo, $\log 500 - \log 5 = \log 100 = 2$

Pruébalo ahora

¿Qué expresión es igual a

\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)

(para

M, N > 0

Ejemplos resueltos

Demuestra que $\log_2\left(\dfrac{32}{4}\right) = \log_2 32 - \log_2 4$ .

Calcular directamente el lado izquierdo

$\dfrac{32}{4} = 8$ y $2^3 = 8$ → $\log_2 8 = 3$

Calcular cada logaritmo del lado derecho

$2^5 = 32$ y $2^2 = 4$ → $\log_2 32 = 5$ , $\log_2 4 = 2$

Restar

$5 - 2 = 3$

Comparar los dos lados

Lado izquierdo $3$ , lado derecho $3$ → Los dos lados son iguales

Respuesta: Los dos lados valen $3$ , así que $\log_2\left(\dfrac{32}{4}\right) = \log_2 32 - \log_2 4$ .

Errores comunes

Escribir $\dfrac{\log M}{\log N} = \log\left(\dfrac{M}{N}\right)$

Por qué está mal: Un cociente de dos logaritmos no es el logaritmo de un cociente. Compruébalo: $\dfrac{\log 100}{\log 10} = \dfrac{2}{1} = 2$ , pero $\log\left(\dfrac{100}{10}\right) = \log 10 = 1$ .

Correcto: La regla convierte una división DENTRO del logaritmo en una resta: $\log\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log M - \log N$ . La fracción $\dfrac{\log M}{\log N}$ no tiene ningún atajo de este tipo.

Escribir $\log(M - N) = \log M - \log N$

Por qué está mal: La regla trata de un cociente dentro del logaritmo, no de una diferencia. Compruébalo: $\log(100 - 10) = \log 90 \approx 1{,}954$ , pero $\log 100 - \log 10 = 1$ .

Correcto: No hay ninguna regla que separe $\log(M - N)$ . Solo $\log\left(\dfrac{M}{N}\right)$ se convierte en $\log M - \log N$ .

Restar en el orden equivocado: $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b N - \log_b M$

Por qué está mal: La resta no es conmutativa, así que el orden importa. $\log_2\left(\dfrac{8}{2}\right) = \log_2 4 = 2$ , pero $\log_2 2 - \log_2 8 = 1 - 3 = -2$ .

Correcto: Primero el numerador, menos el denominador: $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N$ .

Escribir $\log\left(\dfrac{M}{NP}\right) = \log M - \log N + \log P$

Por qué está mal: Tanto $N$ como $P$ están en el denominador, así que se restan los dos logaritmos. El $+$ trata a $P$ como si estuviera en el numerador.

Correcto: $\log\left(\dfrac{M}{NP}\right) = \log M - \log(NP) = \log M - \log N - \log P$ . Usa paréntesis: $\log M - (\log N + \log P)$ .

Visual interactivo

Gráfica de la función

a = 2

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Toca un nombre para mostrar u ocultar su gráfica.

Asíntota

Tabla de valores

x	1	2	4	5	10	20
log(x/a)	-0,30103	0	0,30103	0,39794	0,69897	1
log(x) - log(a)	-0,30103	0	0,30103	0,39794	0,69897	1
log(x) / log(a) (INCORRECTO: no es igual a log(x/a))	0	1	2	2,32193	3,32193	4,32193

Sandbox interactivo

Graficador interactivo

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Prueba estos ejemplos:

y = log(x/2)

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

Aún no hay cálculos

Problemas de práctica

18 problemas

Problema 1 de 18

Fácil

¿Qué expresión es igual a $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)$ (para $M, N > 0$ )?

Por qué es importante

La regla del cociente convierte una división en una resta, y eso es justo lo que necesitan muchas fórmulas:

Comparar dos mediciones: los decibelios, el pH y la escala de Richter comparan una magnitud con un valor de referencia mediante $\log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$ . La regla del cociente muestra que la diferencia entre dos niveles solo depende de la razón entre las dos magnitudes.
Sonido: dos sonidos cuyas intensidades están en razón $1000$ se diferencian en $10 \log 1000 = 30$ decibelios, sin importar lo fuertes que sean.
Química: dos disoluciones cuyas concentraciones de iones hidrógeno difieren en un factor $100$ se diferencian exactamente en $2$ en la escala de pH.
Simplificar expresiones: desarrollar $\log\left(\dfrac{ab}{c}\right)$ como $\log a + \log b - \log c$ hace mucho más fácil el álgebra posterior (y el cálculo).
Resolver ecuaciones: compactar $\log_3 x - \log_3 4$ en $\log_3\left(\dfrac{x}{4}\right)$ suele ser el primer paso para resolver una ecuación logarítmica.

Junto con la regla del producto y la regla de la potencia, la regla del cociente te permite reescribir casi cualquier expresión logarítmica en la forma que necesitas.

Aplicaciones del mundo real

Comparar niveles de sonido en decibelios

El nivel sonoro es $L = 10 \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$ decibelios, donde $I$ es la intensidad e $I_0$ una referencia fija. Por la regla del cociente, la diferencia entre dos niveles es $10(\log I_A - \log I_B) = 10 \log\left(\dfrac{I_A}{I_B}\right)$: la referencia $I_0$ se cancela.

Ejemplo:

Un sonido 100 veces más intenso que otro suena $10 \log 100 = 20$ decibelios más fuerte.

1Inténtalo tú mismo

Un altavoz produce una intensidad de $I_A = 0{,}01$ W/m², y una calle tranquila $I_B = 0{,}00001$ W/m².

¿Cuántos decibelios más fuerte suena el altavoz que la calle?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $10 \log\left(\dfrac{I_A}{I_B}\right)$ :

Comparar la acidez con el pH

En química, $\text{pH} = -\log[H^+]$, donde $[H^+]$ es la concentración de iones hidrógeno. Por la regla del cociente, la diferencia de pH entre dos disoluciones es el logaritmo de la razón de sus concentraciones.

Ejemplo:

El café tiene $[H^+] = 10^{-5}$ y el agua pura $10^{-7}$ . La diferencia de pH es $\log\left(\dfrac{10^{-5}}{10^{-7}}\right) = \log 100 = 2$ (pH 5 frente a pH 7).

2Inténtalo tú mismo

El zumo de tomate tiene $[H^+] = 10^{-4}$ y el agua pura tiene $[H^+] = 10^{-7}$ .

¿Cuánto más bajo es el pH del zumo de tomate que el del agua?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $\log\left(\dfrac{10^{-4}}{10^{-7}}\right)$ :

Comparar terremotos en la escala de Richter

La magnitud de Richter es $M = \log\left(\dfrac{A}{A_0}\right)$, donde $A$ es la amplitud del movimiento del suelo y $A_0$ una amplitud de referencia. Para dos terremotos medidos a la misma distancia, la regla del cociente da $M_1 - M_2 = \log\left(\dfrac{A_1}{A_2}\right)$.

Ejemplo:

Si un terremoto tiene 10 veces la amplitud de otro, su magnitud es $\log 10 = 1$ mayor.

3Inténtalo tú mismo

Dos terremotos se registran a la misma distancia. El primero tiene una amplitud $A_1 = 50000$ micrómetros y el segundo $A_2 = 500$ micrómetros. El segundo terremoto tiene magnitud $4$ .

¿Qué magnitud tiene el primer terremoto?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $4 + \log\left(\dfrac{A_1}{A_2}\right)$ :

Puntos clave

1Regla del cociente: $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N$ para $M, N > 0$
2Viene de la regla de los exponentes $\dfrac{b^x}{b^y} = b^{x-y}$ : al dividir potencias se restan los exponentes
3Desarrollar separa el logaritmo de un cociente en una diferencia; compactar junta una diferencia en un solo logaritmo
4Primero el numerador: siempre se resta el logaritmo del denominador
5Con la regla del producto: $\log\left(\dfrac{ab}{c}\right) = \log a + \log b - \log c$ y $\log\left(\dfrac{a}{bc}\right) = \log a - \log b - \log c$
6 $\dfrac{\log M}{\log N}$ y $\log(M - N)$ NO son iguales a $\log\left(\dfrac{M}{N}\right)$

Preguntas frecuentes

Sí.

\log_b M - \log_b N = \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)

solo funciona cuando los dos términos tienen la misma base

b

. Una diferencia como

\log_2 8 - \log_3 9

no se puede compactar en un solo logaritmo con esta regla.

Glosario

Regla del cociente: La propiedad $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N$ para $M, N > 0$
Cociente: El resultado de una división; en $\dfrac{M}{N}$ , $M$ es el numerador y $N$ el denominador
Desarrollar: Reescribir el logaritmo de un producto o de un cociente como suma o diferencia de logaritmos más sencillos
Compactar: Juntar una suma o diferencia de logaritmos con la misma base en un solo logaritmo
Argumento: El número dentro de un logaritmo, como $M$ en $\log_b M$ ; tiene que ser positivo

Tarjeta de fórmulas

Regla del cociente

\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N

Para $M > 0$, $N > 0$, $b > 0$, $b \neq 1$

Inverso

\log_b\left(\dfrac{1}{N}\right) = -\log_b N

Caso especial con $M = 1$, porque $\log_b 1 = 0$

Con la regla del producto

\log_b\left(\dfrac{MN}{P}\right) = \log_b M + \log_b N - \log_b P

Los factores del numerador se suman y los del denominador se restan

No es una regla

\dfrac{\log_b M}{\log_b N} \neq \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)

Un cociente de logaritmos no es el logaritmo de un cociente

Más sobre este tema

Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Visual interactivo

Gráfica de la función

Tabla de valores

Sandbox interactivo

Graficador interactivo

Calculadora de expresiones

Historial

Problemas de práctica

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Comparar niveles de sonido en decibelios

Comparar la acidez con el pH

Comparar terremotos en la escala de Richter

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Regla del cociente

Inverso

Con la regla del producto

No es una regla

Más sobre este tema

Introducción a los logaritmos

Definición de logaritmo

Logaritmo decimal (base 10)

Logaritmo natural (ln)