Pasar a forma exponencial

Resuelve $\log_2 x = 3$.

Identificar las partes: Base $2$, argumento $x$, valor del logaritmo $3$ = $\log_2 x = 3$

Pasar a forma exponencial: $\log_b A = c \iff A = b^c$ = $x = 2^3$

Calcular la potencia: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2$ = $x = 8$

Comprobar: $\log_2 8 = 3$ porque $2^3 = 8$ ✓, y el argumento $8$ es positivo = La solución es válida

Answer: $x = 8$

Una expresión dentro del logaritmo

Resuelve $\log_3(2x + 1) = 2$.

Pasar a forma exponencial: La base $3$ se eleva al valor $2$: $2x + 1 = 3^2$ = $2x + 1 = 9$

Resolver la ecuación lineal: $2x = 9 - 1 = 8$ = $x = 4$

Comprobar el dominio: Argumento: $2 \cdot 4 + 1 = 9 > 0$ = El argumento es positivo

Comprobar la ecuación: $\log_3 9 = 2$ porque $3^2 = 9$ ✓ = La solución es válida

Answer: $x = 4$

Logaritmos en los dos miembros

Resuelve $\log_5(3x - 2) = \log_5(x + 6)$.

Usar la igualdad de logaritmos: Cada miembro es un solo logaritmo de base $5$, así que los argumentos son iguales = $3x - 2 = x + 6$

Resolver la ecuación lineal: $3x - x = 6 + 2$, luego $2x = 8$ = $x = 4$

Comprobar los dos argumentos: $3 \cdot 4 - 2 = 10 > 0$ y $4 + 6 = 10 > 0$ = Ambos argumentos son positivos ✓

Answer: $x = 4$

Primero compactar: dos candidatos, uno descartado

Resuelve $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3$.

Compactar con la regla del producto: $\log_2 x + \log_2(x - 2) = \log_2\big(x(x - 2)\big)$ = $\log_2\big(x(x - 2)\big) = 3$

Pasar a forma exponencial: $x(x - 2) = 2^3$ = $x^2 - 2x = 8$

Resolver la ecuación de segundo grado: $x^2 - 2x - 8 = 0$, luego $(x - 4)(x + 2) = 0$ = Candidatos: $x = 4$ o $x = -2$

Comprobar cada candidato en la ecuación original: $x = 4$: los argumentos $4$ y $2$ son positivos ✓. $x = -2$: $\log_2(-2)$ no está definido ✗ = $x = -2$ es una solución extraña

Answer: $x = 4$ (el candidato $x = -2$ se descarta). La segunda gráfica muestra el motivo: la curva compactada $y = \log_2\big(x(x-2)\big)$ también existe para $x$ negativos y corta $y = 3$ dos veces, pero la curva original solo la corta en $x = 4$. Para $x > 2$ las dos curvas coinciden; actívalas y desactívalas en la leyenda para compararlas.

Bases distintas: tomar logaritmos en ambos miembros

Resuelve $3^x = 20$. Redondea a dos decimales.

Buscar una base común: $3^2 = 9$ y $3^3 = 27$, así que $20$ no es una potencia de $3$ = No hay base común, pero $2 < x < 3$

Tomar el logaritmo decimal de ambos miembros: $\log(3^x) = \log 20$ y después la regla de la potencia = $x \log 3 = \log 20$

Dividir entre $\log 3$: $\log 3$ es un número, aproximadamente $0{,}4771$ = $x = \frac{\log 20}{\log 3}$ (valor exacto)

Usar la calculadora: $\frac{1{,}3010}{0{,}4771} \approx 2{,}727$ = $x \approx 2{,}73$

Comprobar: $3^{2{,}73} \approx 20{,}07 \approx 20$ ✓, y $2{,}73$ está entre $2$ y $3$ = La solución es válida

Answer: $x = \frac{\log 20}{\log 3} \approx 2{,}73$

Mistake: Quedarse con los dos candidatos: $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3 \implies x = 4$ o $x = -2$

Why: Al compactar en $\log_2\big(x(x - 2)\big)$ parece que se permiten valores negativos de $x$, porque el producto de dos números negativos es positivo. Pero la ecuación original contiene $\log_2 x$, que no está definido para $x = -2$.

Correct: Comprueba cada candidato en la ecuación ORIGINAL. Solo sirve $x = 4$; $x = -2$ es una solución extraña.

Mistake: Quitar los logaritmos sin más: $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3 \implies x + (x - 2) = 3$

Why: Solo puedes quitar los logaritmos cuando cada miembro es un único logaritmo de la misma base (igualdad de logaritmos). Aquí el miembro izquierdo es una suma de logaritmos y el derecho es un número.

Correct: Primero compacta, $\log_2\big(x(x - 2)\big) = 3$, y después pasa a forma exponencial: $x(x - 2) = 2^3 = 8$.

Mistake: Intercambiar base y exponente: $\log_3(2x + 1) = 2 \implies 2x + 1 = 2^3$

Why: En $\log_b A = c$ la base $b$ se eleva a $c$. La base del logaritmo sigue siendo la base de la potencia.

Correct: $2x + 1 = 3^2 = 9$, así que $x = 4$. Comprobación: $\log_3 9 = 2$ ✓

Mistake: Dividir en lugar de tomar logaritmos: $3^x = 20 \implies x = \frac{20}{3} \approx 6{,}67$

Why: $3^x$ es una potencia, no el producto $3 \cdot x$. Una comprobación rápida muestra el error: $3^{6{,}67}$ vale unos $1500$, mucho más que $20$.

Correct: $x = \frac{\log 20}{\log 3} \approx 2{,}73$. Ojo: $\frac{\log 20}{\log 3}$ NO es lo mismo que $\log \frac{20}{3}$.

Duplicar los ahorros

El dinero que crece cada año un porcentaje fijo sigue $A = P \cdot (1 + r)^t$. Si despejas el exponente $t$ con logaritmos, sabes cuándo alcanzas una meta de ahorro.

Al 6 % de interés anual, el dinero se duplica cuando $1{,}06^t = 2$, es decir, al cabo de $t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}06} \approx 11{,}9$ años.

El volumen en decibelios

El nivel sonoro en decibelios es $L = 10 \log r$, donde $r = \frac{I}{I_0}$ compara la intensidad de un sonido con la del sonido más débil que puede oír una persona.

Una conversación normal tiene unos 60 dB: $10 \log r = 60$ da $\log r = 6$, así que $r = 10^6$, un millón de veces el umbral de audición.

Bacterias que crecen

Una colonia que se duplica cada hora sigue $N = N_0 \cdot 2^t$. Cuando el tamaño buscado no es una potencia de 2, los logaritmos dan el tiempo exacto.

Una colonia de 200 células llega a 1000 células cuando $2^t = 5$, es decir, al cabo de $t = \frac{\ln 5}{\ln 2} \approx 2{,}32$ horas.

Q: ¿Por qué aparecen soluciones extrañas?

A: Compactar cambia el dominio. $\log_2 x + \log_2(x - 2)$ necesita $x > 2$, pero $\log_2\big(x(x - 2)\big)$ solo necesita $x(x - 2) > 0$, que también se cumple para $x < 0$. Por eso la ecuación compactada puede tener soluciones que la original no tiene, y siempre se comprueba en la ecuación original.

Q: ¿Una solución negativa es siempre extraña?

A: No. Lo que importa es el signo de cada argumento, no el de $x$. En $\log_2(x + 5) = 1$ se obtiene $x + 5 = 2$, luego $x = -3$, y el argumento $-3 + 5 = 2$ es positivo. La solución $x = -3$ es válida.

Q: ¿Uso log o ln para resolver $3^x = 20$?

A: Cualquiera de los dos. $\frac{\log 20}{\log 3}$ y $\frac{\ln 20}{\ln 3}$ dan el mismo número, aproximadamente $2{,}73$. Es justo la fórmula del cambio de base: los dos son iguales a $\log_3 20$.

Q: ¿Puede una ecuación logarítmica no tener solución?

A: Sí. En $\log_2(x - 4) = \log_2(2x - 1)$ los argumentos dan $x - 4 = 2x - 1$, luego $x = -3$. Pero entonces los dos argumentos valen $-7$, lo que no está permitido. El único candidato se descarta, así que la ecuación no tiene solución.