¿Una solución negativa es siempre extraña?

No. Lo que importa es el signo de cada argumento, no el de $x$. En $\log_2(x + 5) = 1$ se obtiene $x + 5 = 2$, luego $x = -3$, y el argumento $-3 + 5 = 2$ es positivo. La solución $x = -3$ es válida.

¿Uso log o ln para resolver $3^x = 20$?

Cualquiera de los dos. $\frac{\log 20}{\log 3}$ y $\frac{\ln 20}{\ln 3}$ dan el mismo número, aproximadamente $2{,}73$. Es justo la fórmula del cambio de base: los dos son iguales a $\log_3 20$.

¿Puede una ecuación logarítmica no tener solución?

Sí. En $\log_2(x - 4) = \log_2(2x - 1)$ los argumentos dan $x - 4 = 2x - 1$, luego $x = -3$. Pero entonces los dos argumentos valen $-7$, lo que no está permitido. El único candidato se descarta, así que la ecuación no tiene solución.

Recursos para profesores

Resolver ecuaciones logarítmicas

Q: ¿Por qué aparecen soluciones extrañas?

Compactar cambia el dominio. $\log_2 x + \log_2(x - 2)$ necesita $x > 2$, pero $\log_2\big(x(x - 2)\big)$ solo necesita $x(x - 2) > 0$, que también se cumple para $x < 0$. Por eso la ecuación compactada puede tener soluciones que la original no tiene, y siempre se comprueba en la ecuación original.

Resuelve ecuaciones con la incógnita dentro de un logaritmo, descarta las soluciones extrañas y usa logaritmos para resolver ecuaciones como 3^x = 20.

Avanzado30 minLección

Ficha imprimible

Definición

Una ecuación logarítmica es una ecuación en la que la incógnita aparece dentro del argumento de un logaritmo, por ejemplo

\log_2 x = 3

\log_3(2x + 1) = 2

Dos herramientas resuelven casi cualquier ecuación logarítmica:

1. Pasar a forma exponencial. Un logaritmo es un exponente, así que

\log_b A = c \iff A = b^c

Por ejemplo,

\log_2 x = 3

significa que

x = 2^3 = 8

. En la gráfica, la recta

y = 3

corta la curva

y = \log_2 x

justo en

x = 8

2. Usar la igualdad de logaritmos. Si dos logaritmos de la misma base son iguales, sus argumentos son iguales:

\log_b M = \log_b N \implies M = N

El método:

1.Compactar cada miembro en un solo logaritmo con las reglas del producto, del cociente y de la potencia.
2.Reescribir en forma exponencial, o igualar los argumentos.
3.Resolver la ecuación que resulta (normalmente lineal o de segundo grado).
4.Comprobar el dominio: cada argumento de la ecuación ORIGINAL debe ser positivo. Un candidato que hace que un argumento sea cero o negativo es una solución extraña y se descarta.

Ecuaciones exponenciales con bases distintas. Cuando los dos miembros de una ecuación exponencial no se pueden escribir con la misma base, se toma el logaritmo de ambos miembros y se aplica la regla de la potencia:

3^x = 20 \implies x \log 3 = \log 20 \implies x = \frac{\log 20}{\log 3} \approx 2{,}73

Aquí

\log

es el logaritmo decimal (base 10). El logaritmo natural

\ln

da el mismo resultado.

Pruébalo ahora

¿Qué ecuación es la forma exponencial de

\log_4 x = 3

Ejemplos resueltos

Resuelve $\log_2 x = 3$ .

Identificar las partes

Base $2$ , argumento $x$ , valor del logaritmo $3$ → $\log_2 x = 3$

Pasar a forma exponencial

$\log_b A = c \iff A = b^c$ → $x = 2^3$

Calcular la potencia

$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2$ → $x = 8$

Comprobar

$\log_2 8 = 3$ porque $2^3 = 8$ ✓, y el argumento $8$ es positivo → La solución es válida

Respuesta: $x = 8$

Errores comunes

Quedarse con los dos candidatos: $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3 \implies x = 4$ o $x = -2$

Por qué está mal: Al compactar en $\log_2\big(x(x - 2)\big)$ parece que se permiten valores negativos de $x$ , porque el producto de dos números negativos es positivo. Pero la ecuación original contiene $\log_2 x$ , que no está definido para $x = -2$ .

Correcto: Comprueba cada candidato en la ecuación ORIGINAL. Solo sirve $x = 4$ ; $x = -2$ es una solución extraña.

Quitar los logaritmos sin más: $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3 \implies x + (x - 2) = 3$

Por qué está mal: Solo puedes quitar los logaritmos cuando cada miembro es un único logaritmo de la misma base (igualdad de logaritmos). Aquí el miembro izquierdo es una suma de logaritmos y el derecho es un número.

Correcto: Primero compacta, $\log_2\big(x(x - 2)\big) = 3$ , y después pasa a forma exponencial: $x(x - 2) = 2^3 = 8$ .

Intercambiar base y exponente: $\log_3(2x + 1) = 2 \implies 2x + 1 = 2^3$

Por qué está mal: En $\log_b A = c$ la base $b$ se eleva a $c$ . La base del logaritmo sigue siendo la base de la potencia.

Correcto: $2x + 1 = 3^2 = 9$ , así que $x = 4$ . Comprobación: $\log_3 9 = 2$ ✓

Dividir en lugar de tomar logaritmos: $3^x = 20 \implies x = \frac{20}{3} \approx 6{,}67$

Por qué está mal: $3^x$ es una potencia, no el producto $3 \cdot x$ . Una comprobación rápida muestra el error: $3^{6{,}67}$ vale unos $1500$ , mucho más que $20$ .

Correcto: $x = \frac{\log 20}{\log 3} \approx 2{,}73$ . Ojo: $\frac{\log 20}{\log 3}$ NO es lo mismo que $\log \frac{20}{3}$ .

Visual interactivo

Gráfica de la función

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

y = log₂(x)y = 3Asíntota

Punto de intersección: (8; 3)

Tabla de valores

x	1	2	4	8	16
log₂(x)	0	1	2	3	4
3	3	3	3	3	3

Gráfica de la función

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Toca un nombre para mostrar u ocultar su gráfica.

Asíntota

Punto de intersección: (-2; 3)
Punto de intersección: (4; 3)
Las gráficas coinciden: infinitos puntos en común.

Sandbox interactivo

Graficador interactivo

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Prueba estos ejemplos:

y = 2x + 1

m=2, b=1

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

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Problemas de práctica

18 problemas

Problema 1 de 18

Fácil

¿Qué ecuación es la forma exponencial de $\log_4 x = 3$ ?

Por qué es importante

Las ecuaciones logarítmicas responden a preguntas de ¿cuánto tiempo? y ¿con qué intensidad? siempre que algo crece o disminuye por un factor constante:

Finanzas: ¿en cuántos años se duplican unos ahorros al 8 % de interés? Resuelve $1{,}08^t = 2$ .
Biología: ¿cuándo alcanza un cultivo de bacterias un tamaño que no es una potencia de 2?
Acústica: ¿cuántas veces más intenso es un cortacésped de 90 dB que el sonido más débil que puedes oír?
Química y geología: el pH y la escala de Richter son logaritmos. Para hallar la concentración o la energía que hay detrás hay que resolver una ecuación logarítmica.

En la lección Resolver ecuaciones exponenciales solo podías decir que la solución de

2^x = 20

está entre

4

5

. Con logaritmos obtienes el valor exacto

x = \frac{\log 20}{\log 2} \approx 4{,}32

. Además, comprobar el dominio es un hábito que necesitarás en toda ecuación con raíces, fracciones o logaritmos.

Aplicaciones del mundo real

Duplicar los ahorros

El dinero que crece cada año un porcentaje fijo sigue $A = P \cdot (1 + r)^t$. Si despejas el exponente $t$ con logaritmos, sabes cuándo alcanzas una meta de ahorro.

Ejemplo:

Al 6 % de interés anual, el dinero se duplica cuando $1{,}06^t = 2$ , es decir, al cabo de $t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}06} \approx 11{,}9$ años.

1Inténtalo tú mismo

Ingresas 1000 dólares en una cuenta de ahorro que paga un 8 % de interés anual. Después de $t$ años tienes $1000 \cdot 1{,}08^t$ dólares.

¿Después de cuántos años se ha duplicado el dinero hasta 2000 dólares?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Resuelve $1000 \cdot 1{,}08^t = 2000$ y escribe el valor exacto de $t$ como cociente de dos logaritmos, en la forma ln(a)/ln(b) (todavía sin redondear):

El volumen en decibelios

El nivel sonoro en decibelios es $L = 10 \log r$, donde $r = \frac{I}{I_0}$ compara la intensidad de un sonido con la del sonido más débil que puede oír una persona.

Ejemplo:

Una conversación normal tiene unos 60 dB: $10 \log r = 60$ da $\log r = 6$ , así que $r = 10^6$ , un millón de veces el umbral de audición.

2Inténtalo tú mismo

Un cortacésped alcanza 90 dB. Su razón de intensidad $r$ cumple $10 \log r = 90$ .

¿Cuál es la razón de intensidad $r$ ?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe $r$ como una potencia de 10:

Bacterias que crecen

Una colonia que se duplica cada hora sigue $N = N_0 \cdot 2^t$. Cuando el tamaño buscado no es una potencia de 2, los logaritmos dan el tiempo exacto.

Ejemplo:

Una colonia de 200 células llega a 1000 células cuando $2^t = 5$ , es decir, al cabo de $t = \frac{\ln 5}{\ln 2} \approx 2{,}32$ horas.

3Inténtalo tú mismo

Un cultivo empieza con 500 bacterias y se duplica cada hora.

¿Después de cuántas horas hay 6000 bacterias?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Resuelve $500 \cdot 2^t = 6000$ y escribe el valor exacto de $t$ como cociente de dos logaritmos, en la forma ln(a)/ln(b) (todavía sin redondear):

Puntos clave

1En una ecuación logarítmica la incógnita está dentro de un logaritmo, como en $\log_2 x = 3$
2Forma exponencial: $\log_b A = c \iff A = b^c$
3Propiedad inyectiva: de $\log_b M = \log_b N$ se obtiene $M = N$
4Compacta las sumas y restas de logaritmos en un solo logaritmo antes de resolver
5Comprueba cada candidato en la ecuación ORIGINAL: todos los argumentos deben ser positivos; si no, el candidato es una solución extraña
6En ecuaciones exponenciales con bases distintas, toma logaritmos: $3^x = 20 \implies x = \frac{\log 20}{\log 3} \approx 2{,}73$

Preguntas frecuentes

Compactar cambia el dominio.

\log_2 x + \log_2(x - 2)

necesita

x > 2

, pero

\log_2\big(x(x - 2)\big)

solo necesita

x(x - 2) > 0

, que también se cumple para

x < 0

. Por eso la ecuación compactada puede tener soluciones que la original no tiene, y siempre se comprueba en la ecuación original.

Glosario

Ecuación logarítmica: Una ecuación en la que la incógnita aparece dentro del argumento de un logaritmo, como $\log_3(2x + 1) = 2$
Forma exponencial: La forma de potencia de un logaritmo: $\log_b A = c$ se escribe $A = b^c$
Propiedad inyectiva: Si $\log_b M = \log_b N$ , entonces $M = N$ (para $M, N > 0$ )
Candidato: Un valor que se obtiene al resolver y que todavía hay que comprobar en la ecuación original
Solución extraña: Un candidato que hace que un argumento de la ecuación original sea cero o negativo y que, por tanto, se descarta
Dominio de un logaritmo: Los valores para los que $\log_b A$ está definido: el argumento debe ser positivo, $A > 0$

Tarjeta de fórmulas

Forma exponencial

\log_b A = c \iff A = b^c

Válida para $b > 0$, $b \neq 1$. Úsala cuando un miembro es un solo logaritmo y el otro es un número.

Propiedad inyectiva

\log_b M = \log_b N \implies M = N

Úsala cuando cada miembro es un solo logaritmo de la misma base.

Comprobación del dominio

A > 0

Cada argumento $A$ de un logaritmo de la ecuación original debe ser positivo. Si no, el candidato es una solución extraña.

Logaritmo en ambos miembros

b^x = c \implies x = \frac{\log c}{\log b} = \frac{\ln c}{\ln b}

Resuelve ecuaciones exponenciales cuyos miembros no se pueden escribir con la misma base, por ejemplo $3^x = 20$.

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Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

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Gráfica de la función

Tabla de valores

Gráfica de la función

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Por qué es importante

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Duplicar los ahorros

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Preguntas frecuentes

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Tarjeta de fórmulas

Forma exponencial

Propiedad inyectiva

Comprobación del dominio

Logaritmo en ambos miembros

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