Sucesión de Fibonacci

La **sucesión de Fibonacci** es la lista de números $$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, \ldots$$ en la que cada término, a partir del tercero, es la **suma de los dos términos anteriores**: $1 + 1 = 2$, $1 + 2 = 3$, $2 + 3 = 5$, $3 + 5 = 8$, y así sucesivamente. ### La regla recursiva Llamamos a los términos $F_1, F_2, F_3, \ldots$ y escribimos: $$F_1 = 1, \quad F_2 = 1, \quad F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \text{ para } n \geq 3$$ También verás la notación $F(n) = F(n-1) + F(n-2)$. Es una **regla recursiva** (o ley de recurrencia): para obtener un término necesitas los términos justo anteriores. En una sucesión aritmética siempre sumas la misma diferencia $d$, en una sucesión geométrica siempre multiplicas por la misma razón $r$, pero aquí la cantidad que sumas no deja de crecer. ### Los conejos de Fibonacci En 1202, Leonardo de Pisa, conocido como **Fibonacci**, planteó un problema de conejos en su libro *Liber Abaci*. Hoy se suele contar así: se coloca una pareja de conejos recién nacidos en un campo. Una pareja es adulta al cabo de un mes y, a partir de entonces, cada pareja adulta tiene una nueva pareja cada mes. Ningún conejo muere. Si cuentas las parejas mes a mes, obtienes $1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots$ (En la versión del propio Fibonacci, la primera pareja ya tenía crías el primer mes, así que su cuenta empezaba por $1, 2, 3, 5, \ldots$, los mismos números. Estudiosos de la India ya los habían encontrado siglos antes, al contar ritmos de sílabas largas y breves en la poesía.) ### Patrones ocultos - **Uno de cada tres términos es par**: $F_3 = 2$, $F_6 = 8$, $F_9 = 34$, $F_{12} = 144$, y todos los demás son impares. - **Suma de los $n$ primeros términos**: $F_1 + F_2 + \cdots + F_n = F_{n+2} - 1$. Por ejemplo, $1 + 1 + 2 + 3 + 5 = 12 = 13 - 1$. - **Cociente entre vecinos**: $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ se acerca cada vez más al **número áureo** $$\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$$

Continuar la sucesión

La sucesión de Fibonacci empieza así: $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \ldots$ Calcula $F_{10}$, $F_{11}$ y $F_{12}$.

Localiza los dos últimos términos conocidos: $F_8 = 21$ y $F_9 = 34$ = $F_8 = 21$, $F_9 = 34$

Súmalos para obtener $F_{10}$: $F_{10} = F_9 + F_8 = 34 + 21$ = $F_{10} = 55$

Suma los dos términos más nuevos para obtener $F_{11}$: $F_{11} = F_{10} + F_9 = 55 + 34$ = $F_{11} = 89$

Repite una vez más para $F_{12}$: $F_{12} = F_{11} + F_{10} = 89 + 55$ = $F_{12} = 144$

Answer: $F_{10} = 55$, $F_{11} = 89$ y $F_{12} = 144$. Suma siempre los dos términos más recientes.

El problema de los conejos de Fibonacci

En el mes 1 vive en un campo una pareja de conejos recién nacidos. Una pareja es adulta al cabo de un mes, y cada pareja adulta tiene una nueva pareja cada mes. Ningún conejo muere. ¿Cuántas parejas hay en el mes 8?

Cuenta los primeros meses: Mes 1: una pareja de crías. Mes 2: esa pareja ya es adulta, pero todavía no tiene crías. Mes 3: tiene su primera pareja de crías. = $1, 1, 2$

Encuentra la regla: Parejas este mes = parejas del mes pasado (ninguna muere) + una pareja de crías por cada pareja que ya vivía hace dos meses (esas ya son adultas) = $R_n = R_{n-1} + R_{n-2}$

Sigue hasta el mes 8: $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21$ = Mes 8: $21$ parejas

Separa adultas y crías: Parejas adultas en el mes 8 = todas las parejas del mes 7 = 13; crías = adultas del mes 7 = todas las parejas del mes 6 = 8 = $13 + 8 = 21$

Answer: En el mes 8 hay $21$ parejas: $13$ parejas adultas y $8$ parejas de crías. Los recuentos de conejos son exactamente los números de Fibonacci.

Los cocientes se acercan al número áureo

Divide cada número de Fibonacci entre el anterior, desde $\frac{5}{3}$ hasta $\frac{34}{21}$. ¿A qué número se acercan los cocientes?

Calcula los dos primeros cocientes: $\frac{5}{3} \approx 1{,}667$ y $\frac{8}{5} = 1{,}600$ = $1{,}667$, $1{,}600$

Calcula los dos siguientes: $\frac{13}{8} = 1{,}625$ y $\frac{21}{13} \approx 1{,}615$ = $1{,}625$, $1{,}615$

Un cociente más: $\frac{34}{21} \approx 1{,}619$ = $1{,}619$

Compara con $\varphi$: $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$. Los cocientes quedan alternativamente por encima y por debajo de $\varphi$, y la distancia se reduce cada vez = Los cocientes se acercan a $1{,}618$

Answer: Los cocientes oscilan por encima y por debajo de $\varphi \approx 1{,}618$ y se acercan cada vez más. Con $\frac{89}{55} \approx 1{,}6182$ ya coinciden con $\varphi$ en tres decimales.

El atajo para la suma

Calcula $1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21$ sin sumar todos los términos uno a uno.

Cuenta los términos: Son los términos $F_1$ a $F_8$ = $n = 8$

Usa la regla de la suma: $F_1 + \cdots + F_n = F_{n+2} - 1$, así que la suma es $F_{10} - 1$ = Suma $= F_{10} - 1$

Busca $F_{10}$: $F_9 = 34$, así que $F_{10} = 21 + 34 = 55$ = Suma $= 55 - 1 = 54$

Comprueba sumando: $1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 = 54$ = Confirmado: $54$

Answer: La suma es $54$, es decir, $F_{10} - 1$. La suma de los $n$ primeros números de Fibonacci siempre es uno menos que el término que está dos lugares más adelante.

Nuevos valores iniciales: los números de Lucas

Usa la misma regla (sumar los dos términos anteriores), pero empieza con $2$ y $1$. Halla los 10 primeros términos y el cociente entre el 10.º término y el 9.º.

Construye los términos 3 a 6: $2 + 1 = 3$, $1 + 3 = 4$, $3 + 4 = 7$, $4 + 7 = 11$ = $2, 1, 3, 4, 7, 11$

Construye los términos 7 a 10: $7 + 11 = 18$, $11 + 18 = 29$, $18 + 29 = 47$, $29 + 47 = 76$ = $18, 29, 47, 76$

Divide el 10.º término entre el 9.º: $\frac{76}{47} \approx 1{,}617$ = $\approx 1{,}617$

Compara con el cociente de Fibonacci: Fibonacci: $\frac{55}{34} \approx 1{,}618$. Los dos están cerca de $\varphi \approx 1{,}618$ = Mismo límite $\varphi$

Answer: Los números de Lucas son $2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, \ldots$ y $\frac{76}{47} \approx 1{,}617$. Con dos números iniciales positivos cualesquiera, el cociente entre vecinos sigue acercándose a $\varphi$.

La sucesión de Fibonacci es uno de los patrones más conocidos de las matemáticas y aparece en lugares sorprendentes: - **Plantas**: muchos girasoles muestran 34 espirales en un sentido y 55 en el otro, las piñas de pino suelen mostrar 8 y 13, y las piñas tropicales (ananás) también 8 y 13. Colocar las semillas girando siempre el mismo ángulo (unos $137{,}5°$, relacionado con $\varphi$) las reparte de forma regular, casi sin huecos, y de ahí salen los números de espirales de Fibonacci. - **Contar**: el número de formas de subir una escalera subiendo 1 o 2 peldaños cada vez es un número de Fibonacci. - **Unidades**: como $\varphi \approx 1{,}618$ está cerca de $1{,}609$ (kilómetros en una milla), dos números de Fibonacci vecinos convierten millas en kilómetros: 5 millas son unos 8 km, 8 millas unos 13 km. - **Pensamiento recursivo**: construir cada paso a partir de los anteriores es como funcionan muchos programas informáticos y modelos de crecimiento. Una aclaración honesta: no todas las espirales de la naturaleza son espirales de Fibonacci, los recuentos en plantas a veces fallan por uno, y muchas afirmaciones sobre el número áureo en cuadros y edificios famosos son exageradas. Un buen matemático comprueba los números antes de creerse la historia.

Mistake: Duplicar el último término: $1, 1, 2, 4, 8, 16, \ldots$

Why: Duplicar da una sucesión geométrica. La regla de Fibonacci suma los DOS últimos términos, y no son iguales (salvo justo al principio).

Correct: Después de $2$ viene $1 + 2 = 3$, luego $2 + 3 = 5$: $1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots$

Mistake: Contar mal las posiciones, por ejemplo decir que $F_{10} = 89$

Why: Los dos primeros términos valen $1$, así que es fácil saltarse uno. Además, algunos libros ponen un $0$ al principio ($0, 1, 1, 2, \ldots$); si cuentas ese $0$ como primer término, cada posición se desplaza en uno.

Correct: Escribe las posiciones encima de los términos: $F_1 = 1$, $F_2 = 1$, $F_3 = 2$, ..., $F_{10} = 55$, $F_{11} = 89$. Comprueba con qué inicio trabaja tu libro.

Mistake: Pensar que los cocientes suben poco a poco hasta $1{,}618$, o que algún cociente es exactamente $\varphi$

Why: Los cocientes saltan por encima y por debajo de $\varphi$: $1{,}6$, $1{,}625$, $1{,}615$, $1{,}619$, ... Cada cociente es una fracción y $\varphi$ es irracional, así que ningún cociente es nunca igual a $\varphi$.

Correct: Di que los cocientes se acercan a $\varphi$ por los dos lados, tanto como queramos, pero sin alcanzarlo nunca.

Mistake: Creer que toda espiral y todo rectángulo bonito es de Fibonacci o áureo

Why: La concha del nautilo es una espiral, pero su razón de crecimiento no es $\varphi$. Muchas afirmaciones sobre el número áureo en el Partenón o la Mona Lisa dependen de dónde se decida trazar las líneas.

Correct: Primero cuenta o mide. Los números de espirales en girasoles y piñas suelen ser números de Fibonacci, pero no siempre, y las afirmaciones sobre arte necesitan mediciones reales.

Espirales del girasol

Las semillas de un girasol forman dos familias de espirales, una en el sentido de las agujas del reloj y otra en sentido contrario. Sus cantidades suelen ser dos números de Fibonacci vecinos.

Un girasol típico muestra 34 espirales en un sentido y 55 en el otro. Los más pequeños pueden mostrar 21 y 34, y los muy grandes 89 y 144. Algunos no siguen el patrón, así que cuenta siempre.

Subir escaleras

Si subes una escalera de 1 en 1 o de 2 en 2 peldaños, el número de formas distintas de llegar arriba sigue la regla de Fibonacci.

1 peldaño: 1 forma. 2 peldaños: 2 formas (1 + 1 o 2). 3 peldaños: 3 formas. Para llegar al peldaño $n$, tu último paso sale del peldaño $n - 1$ (paso de 1) o del peldaño $n - 2$ (paso de 2), así que formas($n$) = formas($n - 1$) + formas($n - 2$).

De millas a kilómetros

Una milla son unos $1{,}609$ km, muy cerca de $\varphi \approx 1{,}618$. Por eso, un número de Fibonacci de millas es aproximadamente el siguiente número de Fibonacci de kilómetros.

5 millas $\approx$ 8 km (exactamente $8{,}05$ km), 8 millas $\approx$ 13 km (exactamente $12{,}87$ km), 13 millas $\approx$ 21 km (exactamente $20{,}92$ km).

La sucesión de Fibonacci $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$ sigue la regla recursiva $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ con $F_1 = F_2 = 1$

El problema de los conejos de Fibonacci (1202) da exactamente estos números mes a mes

Uno de cada tres términos es par ($F_3, F_6, F_9, \ldots$) y todos los demás son impares

La suma de los $n$ primeros términos es $F_{n+2} - 1$

El cociente $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ se acerca al número áureo $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$, quedando alternativamente por encima y por debajo

Otros valores iniciales, como los números de Lucas $2, 1, 3, 4, 7, \ldots$, tienen el mismo límite $\varphi$; los números de Fibonacci aparecen a menudo en las plantas, pero no en todas las espirales

Q: ¿Por qué los cocientes se acercan a $1{,}618$ y no a otro número?

A: Si el cociente se estabiliza en un número $r$, entonces $\frac{F_{n+1}}{F_n} = 1 + \frac{F_{n-1}}{F_n}$ se convierte en $r = 1 + \frac{1}{r}$, es decir, $r^2 = r + 1$. La solución positiva es $r = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$, el número áureo. Comprobación: $1{,}618^2 \approx 2{,}618 = 1{,}618 + 1$.

Q: ¿Hay una fórmula para $F_n$ sin escribir todos los términos?

A: Sí, se llama fórmula de Binet: $F_n = \frac{\varphi^n - (1 - \varphi)^n}{\sqrt{5}}$. Aunque contiene $\sqrt{5}$, siempre da un número entero. Su demostración llega más adelante en álgebra; por ahora, sumar términos es el método seguro.

Q: ¿La sucesión empieza por 0 o por 1?

A: Las dos versiones son habituales. Muchos libros añaden $F_0 = 0$ delante: $0, 1, 1, 2, 3, 5, \ldots$ Con $F_0 = 0$ y $F_1 = 1$ cada término conserva su número ($F_{10} = 55$ en ambos casos); las posiciones solo se desplazan si alguien llama a ese $0$ el primer término. En esta lección, $F_1 = F_2 = 1$.

Q: ¿De verdad está el número áureo en el Partenón y en la Mona Lisa?

A: Probablemente mucho menos de lo que se dice. Si eliges las líneas libremente, casi siempre encuentras dos longitudes cuyo cociente se acerca a $1{,}6$, y hay pocas pruebas históricas de que esos artistas lo buscaran. Las espirales de las plantas están mucho mejor documentadas, e incluso ahí los recuentos no siempre son números de Fibonacci.

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Sucesión de Fibonacci

Aprende la sucesión de Fibonacci, en la que cada término es la suma de los dos anteriores, sus patrones ocultos y por qué el cociente entre términos vecinos se acerca al número áureo.

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