¿Hay una fórmula para $F_n$ sin escribir todos los términos?

Sí, se llama fórmula de Binet: $F_n = \frac{\varphi^n - (1 - \varphi)^n}{\sqrt{5}}$. Aunque contiene $\sqrt{5}$, siempre da un número entero. Su demostración llega más adelante en álgebra; por ahora, sumar términos es el método seguro.

¿La sucesión empieza por 0 o por 1?

Las dos versiones son habituales. Muchos libros añaden $F_0 = 0$ delante: $0, 1, 1, 2, 3, 5, \ldots$ Con $F_0 = 0$ y $F_1 = 1$ cada término conserva su número ($F_{10} = 55$ en ambos casos); las posiciones solo se desplazan si alguien llama a ese $0$ el primer término. En esta lección, $F_1 = F_2 = 1$.

¿De verdad está el número áureo en el Partenón y en la Mona Lisa?

Probablemente mucho menos de lo que se dice. Si eliges las líneas libremente, casi siempre encuentras dos longitudes cuyo cociente se acerca a $1{,}6$, y hay pocas pruebas históricas de que esos artistas lo buscaran. Las espirales de las plantas están mucho mejor documentadas, e incluso ahí los recuentos no siempre son números de Fibonacci.

Recursos para profesores

Sucesión de Fibonacci

Q: ¿Por qué los cocientes se acercan a $1{,}618$ y no a otro número?

Si el cociente se estabiliza en un número $r$, entonces $\frac{F_{n+1}}{F_n} = 1 + \frac{F_{n-1}}{F_n}$ se convierte en $r = 1 + \frac{1}{r}$, es decir, $r^2 = r + 1$. La solución positiva es $r = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$, el número áureo. Comprobación: $1{,}618^2 \approx 2{,}618 = 1{,}618 + 1$.

Aprende la sucesión de Fibonacci, en la que cada término es la suma de los dos anteriores, sus patrones ocultos y por qué el cociente entre términos vecinos se acerca al número áureo.

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Definición

La sucesión de Fibonacci es la lista de números

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, \ldots

en la que cada término, a partir del tercero, es la suma de los dos términos anteriores:

1 + 1 = 2

1 + 2 = 3

2 + 3 = 5

3 + 5 = 8

, y así sucesivamente.

La regla recursiva

Llamamos a los términos

F_1, F_2, F_3, \ldots

y escribimos:

F_1 = 1, \quad F_2 = 1, \quad F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \text{ para } n \geq 3

También verás la notación

F(n) = F(n-1) + F(n-2)

. Es una regla recursiva (o ley de recurrencia): para obtener un término necesitas los términos justo anteriores. En una sucesión aritmética siempre sumas la misma diferencia

d

, en una sucesión geométrica siempre multiplicas por la misma razón

r

, pero aquí la cantidad que sumas no deja de crecer.

Los conejos de Fibonacci

En 1202, Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci, planteó un problema de conejos en su libro *Liber Abaci*. Hoy se suele contar así: se coloca una pareja de conejos recién nacidos en un campo. Una pareja es adulta al cabo de un mes y, a partir de entonces, cada pareja adulta tiene una nueva pareja cada mes. Ningún conejo muere. Si cuentas las parejas mes a mes, obtienes

1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots

(En la versión del propio Fibonacci, la primera pareja ya tenía crías el primer mes, así que su cuenta empezaba por

1, 2, 3, 5, \ldots

, los mismos números. Estudiosos de la India ya los habían encontrado siglos antes, al contar ritmos de sílabas largas y breves en la poesía.)

Patrones ocultos

Uno de cada tres términos es par: $F_3 = 2$ , $F_6 = 8$ , $F_9 = 34$ , $F_{12} = 144$ , y todos los demás son impares.
**Suma de los $n$ primeros términos**: $F_1 + F_2 + \cdots + F_n = F_{n+2} - 1$ . Por ejemplo, $1 + 1 + 2 + 3 + 5 = 12 = 13 - 1$ .
Cociente entre vecinos: $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ se acerca cada vez más al número áureo

\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618

Pruébalo ahora

¿Qué número viene a continuación?

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots

Ejemplos resueltos

La sucesión de Fibonacci empieza así:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \ldots

Calcula

F_{10}

F_{11}

F_{12}

Localiza los dos últimos términos conocidos

F_8 = 21

F_9 = 34

→

F_8 = 21

F_9 = 34

Súmalos para obtener $F_{10}$

F_{10} = F_9 + F_8 = 34 + 21

→

F_{10} = 55

Suma los dos términos más nuevos para obtener $F_{11}$

F_{11} = F_{10} + F_9 = 55 + 34

→

F_{11} = 89

Repite una vez más para $F_{12}$

F_{12} = F_{11} + F_{10} = 89 + 55

→

F_{12} = 144

Respuesta: $F_{10} = 55$ , $F_{11} = 89$ y $F_{12} = 144$ . Suma siempre los dos términos más recientes.

Errores comunes

Duplicar el último término: $1, 1, 2, 4, 8, 16, \ldots$

Por qué está mal: Duplicar da una sucesión geométrica. La regla de Fibonacci suma los DOS últimos términos, y no son iguales (salvo justo al principio).

Correcto: Después de $2$ viene $1 + 2 = 3$ , luego $2 + 3 = 5$ : $1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots$

Contar mal las posiciones, por ejemplo decir que $F_{10} = 89$

Por qué está mal: Los dos primeros términos valen $1$ , así que es fácil saltarse uno. Además, algunos libros ponen un $0$ al principio ( $0, 1, 1, 2, \ldots$ ); si cuentas ese $0$ como primer término, cada posición se desplaza en uno.

Correcto: Escribe las posiciones encima de los términos: $F_1 = 1$ , $F_2 = 1$ , $F_3 = 2$ , ..., $F_{10} = 55$ , $F_{11} = 89$ . Comprueba con qué inicio trabaja tu libro.

Pensar que los cocientes suben poco a poco hasta $1{,}618$ , o que algún cociente es exactamente $\varphi$

Por qué está mal: Los cocientes saltan por encima y por debajo de $\varphi$ : $1{,}6$ , $1{,}625$ , $1{,}615$ , $1{,}619$ , ... Cada cociente es una fracción y $\varphi$ es irracional, así que ningún cociente es nunca igual a $\varphi$ .

Correcto: Di que los cocientes se acercan a $\varphi$ por los dos lados, tanto como queramos, pero sin alcanzarlo nunca.

Creer que toda espiral y todo rectángulo bonito es de Fibonacci o áureo

Por qué está mal: La concha del nautilo es una espiral, pero su razón de crecimiento no es $\varphi$ . Muchas afirmaciones sobre el número áureo en el Partenón o la Mona Lisa dependen de dónde se decida trazar las líneas.

Correcto: Primero cuenta o mide. Los números de espirales en girasoles y piñas suelen ser números de Fibonacci, pero no siempre, y las afirmaciones sobre arte necesitan mediciones reales.

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Añade cuadrados de lado 1, 1, 2, 3, 5, 8... y mira cómo el cociente se acerca a 1,618

Rectángulo: 5 × 8

La sucesión

11235

2 + 3 = 5

Cada término nuevo es la suma de los dos anteriores.

Cociente de vecinos: término nuevo ÷ término anterior

1 ÷ 1 = 1< φ
2 ÷ 1 = 2> φ
3 ÷ 2 = 1,5< φ
5 ÷ 3 = 1,66667> φ

Los cocientes saltan por encima y por debajo de φ = 1,618034 y se acercan cada vez más (ahora a 0,048633).

Los conejos de Fibonacci: parejas mes a mes

Una pareja joven se hace adulta en un mes. Cada pareja adulta tiene una pareja joven cada mes. Ningún conejo se va.

Mes	Adultas	Jóvenes	Total
1	0	1	1
2	1	0	1
3	1	1	2
4	2	1	3

pareja adultapareja joven

Parejas de conejos, mes a mes

1123

1 + 2 = 3

Cada término nuevo es la suma de los dos anteriores.

Cociente de vecinos: término nuevo ÷ término anterior

1 ÷ 1 = 1< φ
2 ÷ 1 = 2> φ
3 ÷ 2 = 1,5< φ

Los cocientes saltan por encima y por debajo de φ = 1,618034 y se acercan cada vez más (ahora a 0,118034).

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Problemas de práctica

18 problemas

Problema 1 de 18

Fácil

¿Qué número viene a continuación?

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots

Por qué es importante

La sucesión de Fibonacci es uno de los patrones más conocidos de las matemáticas y aparece en lugares sorprendentes:

Plantas: muchos girasoles muestran 34 espirales en un sentido y 55 en el otro, las piñas de pino suelen mostrar 8 y 13, y las piñas tropicales (ananás) también 8 y 13. Colocar las semillas girando siempre el mismo ángulo (unos $137{,}5°$ , relacionado con $\varphi$ ) las reparte de forma regular, casi sin huecos, y de ahí salen los números de espirales de Fibonacci.
Contar: el número de formas de subir una escalera subiendo 1 o 2 peldaños cada vez es un número de Fibonacci.
Unidades: como $\varphi \approx 1{,}618$ está cerca de $1{,}609$ (kilómetros en una milla), dos números de Fibonacci vecinos convierten millas en kilómetros: 5 millas son unos 8 km, 8 millas unos 13 km.
Pensamiento recursivo: construir cada paso a partir de los anteriores es como funcionan muchos programas informáticos y modelos de crecimiento.

Una aclaración honesta: no todas las espirales de la naturaleza son espirales de Fibonacci, los recuentos en plantas a veces fallan por uno, y muchas afirmaciones sobre el número áureo en cuadros y edificios famosos son exageradas. Un buen matemático comprueba los números antes de creerse la historia.

Aplicaciones del mundo real

Espirales del girasol

Las semillas de un girasol forman dos familias de espirales, una en el sentido de las agujas del reloj y otra en sentido contrario. Sus cantidades suelen ser dos números de Fibonacci vecinos.

Ejemplo:

Un girasol típico muestra 34 espirales en un sentido y 55 en el otro. Los más pequeños pueden mostrar 21 y 34, y los muy grandes 89 y 144. Algunos no siguen el patrón, así que cuenta siempre.

1Inténtalo tú mismo

Un girasol gigante tiene 55 espirales en el sentido de las agujas del reloj. Sus espirales en sentido contrario siguen el siguiente número de Fibonacci.

¿Cuántas espirales en sentido contrario esperas?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Suma 55 y el número de Fibonacci justo anterior:

Subir escaleras

Si subes una escalera de 1 en 1 o de 2 en 2 peldaños, el número de formas distintas de llegar arriba sigue la regla de Fibonacci.

Ejemplo:

1 peldaño: 1 forma. 2 peldaños: 2 formas (1 + 1 o 2). 3 peldaños: 3 formas. Para llegar al peldaño $n$ , tu último paso sale del peldaño $n - 1$ (paso de 1) o del peldaño $n - 2$ (paso de 2), así que formas( $n$ ) = formas( $n - 1$ ) + formas( $n - 2$ ).

2Inténtalo tú mismo

Una escalera tiene 8 peldaños. Subes de 1 en 1 o de 2 en 2. 1 peldaño tiene 1 forma, 2 peldaños tienen 2 formas, y cada cantidad siguiente es la suma de las dos anteriores.

¿De cuántas formas distintas puedes subir los 8 peldaños?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Suma las formas para 6 y 7 peldaños:

De millas a kilómetros

Una milla son unos $1{,}609$ km, muy cerca de $\varphi \approx 1{,}618$. Por eso, un número de Fibonacci de millas es aproximadamente el siguiente número de Fibonacci de kilómetros.

Ejemplo:

5 millas $\approx$ 8 km (exactamente $8{,}05$ km), 8 millas $\approx$ 13 km (exactamente $12{,}87$ km), 13 millas $\approx$ 21 km (exactamente $20{,}92$ km).

3Inténtalo tú mismo

Una ruta en bicicleta mide 21 millas. Quieres una estimación rápida en kilómetros.

¿Aproximadamente cuántos kilómetros son 21 millas?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa el número de Fibonacci que sigue a 21:

Puntos clave

1La sucesión de Fibonacci $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$ sigue la regla recursiva $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ con $F_1 = F_2 = 1$
2El problema de los conejos de Fibonacci (1202) da exactamente estos números mes a mes
3Uno de cada tres términos es par ( $F_3, F_6, F_9, \ldots$ ) y todos los demás son impares
4La suma de los $n$ primeros términos es $F_{n+2} - 1$
5El cociente $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ se acerca al número áureo $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$ , quedando alternativamente por encima y por debajo
6Otros valores iniciales, como los números de Lucas $2, 1, 3, 4, 7, \ldots$ , tienen el mismo límite $\varphi$ ; los números de Fibonacci aparecen a menudo en las plantas, pero no en todas las espirales

Preguntas frecuentes

Si el cociente se estabiliza en un número

r

, entonces

\frac{F_{n+1}}{F_n} = 1 + \frac{F_{n-1}}{F_n}

se convierte en

r = 1 + \frac{1}{r}

, es decir,

r^2 = r + 1

. La solución positiva es

r = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618

, el número áureo. Comprobación:

1{,}618^2 \approx 2{,}618 = 1{,}618 + 1

Glosario

Sucesión de Fibonacci: La sucesión $1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots$ en la que cada término es la suma de los dos anteriores
Regla recursiva: Una regla que calcula cada término a partir de términos anteriores, como $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$
Número áureo ( $\varphi$ ): El número $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$ , límite del cociente entre números de Fibonacci vecinos
Números de Lucas: La sucesión $2, 1, 3, 4, 7, 11, \ldots$ construida con la regla de Fibonacci a partir de los números 2 y 1
Espiral áurea: La espiral formada por cuartos de circunferencia dibujados en cuadrados cuyos lados son números de Fibonacci

Tarjeta de fórmulas

Regla recursiva

F_n = F_{n-1} + F_{n-2}

F_1 = F_2 = 1

Cada término es la suma de los dos anteriores

Suma de los $n$ primeros términos

F_1 + F_2 + \cdots + F_n = F_{n+2} - 1

Uno menos que el término dos lugares más adelante

Número áureo

\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618

El límite de $\frac{F_{n+1}}{F_n}$

Propiedad clave de $\varphi$

\varphi^2 = \varphi + 1

Elevar $\varphi$ al cuadrado es lo mismo que sumarle 1

Reto de hoyUn problema, tres intentos

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