Identificar una sucesión geométrica

¿Es la sucesión $3, 6, 12, 24, 48, \ldots$ geométrica? Si es así, encuentra la razón.

Verifica la razón entre términos consecutivos: $\frac{6}{3} = 2$, $\frac{12}{6} = 2$, $\frac{24}{12} = 2$, $\frac{48}{24} = 2$ = Todas las razones son iguales

Confirma razón constante: Como cada razón es igual a $2$, es geométrica = Sí, es geométrica

Indica la razón: $r = 2$ = La razón es $2$

Answer: Sí, esta es una sucesión geométrica con razón $r = 2$. Cada término es el doble del anterior.

Encontrar el término general

Encuentra el 8vo término de la sucesión geométrica: $5, 15, 45, 135, \ldots$

Identifica el primer término: $a_1 = 5$ = El primer término es $5$

Encuentra la razón: $r = \frac{15}{5} = 3$ = La razón es $3$

Aplica la fórmula del término general: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ $a_8 = 5 \cdot 3^{8-1}$ $a_8 = 5 \cdot 3^7$ = Fórmula establecida

Calcula: $a_8 = 5 \cdot 2187 = 10935$ = $a_8 = 10935$

Answer: El 8vo término es $10935$.

Sucesión geométrica con razón fraccionaria

Una pelota se deja caer desde 256 cm. Cada rebote alcanza $\frac{1}{2}$ de la altura anterior. ¿Qué altura alcanza después del 5to rebote?

Identifica los parámetros de la sucesión: Altura inicial: $a_1 = 256$ cm Razón: $r = \frac{1}{2}$ = Configuración completa

Determina qué término necesitamos: Después del 5to rebote = 6to término (incluyendo la caída inicial) = Necesitamos $a_6$

Aplica la fórmula: $a_6 = 256 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{6-1}$ $a_6 = 256 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5$ = Fórmula establecida

Calcula: $a_6 = 256 \cdot \frac{1}{32} = 8$ cm = $a_6 = 8$ cm

Answer: Después del 5to rebote, la pelota alcanza una altura de $8$ cm.

Encontrar la razón dados dos términos

En una sucesión geométrica, $a_3 = 24$ y $a_6 = 192$. Encuentra la razón y el primer término.

Escribe ecuaciones usando la fórmula del término general: $a_3 = a_1 \cdot r^2 = 24$ $a_6 = a_1 \cdot r^5 = 192$ = Dos ecuaciones

Divide las ecuaciones para eliminar $a_1$: $\frac{a_6}{a_3} = \frac{a_1 \cdot r^5}{a_1 \cdot r^2} = \frac{192}{24}$ $r^3 = 8$ = $r^3 = 8$

Resuelve para r: $r = \sqrt[3]{8} = 2$ = $r = 2$

Encuentra $a_1$ usando $a_3 = 24$: $a_1 \cdot 2^2 = 24$ $a_1 \cdot 4 = 24$ $a_1 = 6$ = $a_1 = 6$

Answer: La razón es $r = 2$ y el primer término es $a_1 = 6$. La sucesión es $6, 12, 24, 48, 96, 192, \ldots$

Mistake: Confundir el exponente: usar $r^n$ en lugar de $r^{n-1}$

Why: El primer término tiene exponente 0: $a_1 = a_1 \cdot r^0$. Así que el término n tiene exponente $n-1$.

Correct: Siempre usa $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$. Para el 5to término, el exponente es $5-1=4$.

Mistake: Pensar que una razón negativa significa que no es geométrica

Why: ¡Las sucesiones geométricas pueden tener razones negativas! Los signos alternarán.

Correct: Ejemplo: $2, -6, 18, -54, \ldots$ es geométrica con $r = -3$.

Mistake: Sumar en lugar de multiplicar para encontrar el siguiente término

Why: Esta es la diferencia entre sucesiones aritméticas (sumar) y geométricas (multiplicar).

Correct: En sucesiones geométricas, siempre MULTIPLICA por $r$: si $a_3 = 12$ y $r = 2$, entonces $a_4 = 12 \times 2 = 24$, NO $12 + 2 = 14$.

Mistake: Olvidar que $r$ puede ser una fracción (causando decrecimiento)

Why: Cuando $0 < r < 1$, cada término se hace más pequeño. Esto modela decrecimiento, no crecimiento.

Correct: Ejemplo: $100, 50, 25, 12{,}5, \ldots$ tiene $r = 0{,}5$ (cada término es la mitad del anterior).

Interés compuesto

Cuando el dinero gana interés compuesto, el saldo forma una sucesión geométrica donde la razón es $(1 + \text{tasa de interés})$.

Inviertes 1000 euros al 5% de interés anual. Cada año, tu saldo se multiplica por $1,05$: - Año 0: 1000 euros - Año 1: 1050 euros - Año 2: 1102,50 euros - Año 3: 1157,63 euros

Crecimiento bacteriano

Las bacterias a menudo se duplican a intervalos regulares, creando una sucesión geométrica con $r = 2$.

Si un cultivo comienza con 100 bacterias y se duplica cada hora: - Hora 0: 100 bacterias - Hora 1: 200 bacterias - Hora 2: 400 bacterias - Hora 5: $100 \times 2^5 = 3200$ bacterias

Depreciación

Los automóviles y equipos pierden valor con el tiempo. Si algo pierde un porcentaje fijo cada año, sigue una sucesión geométrica con $r < 1$.

Un automóvil valorado en 20000 euros se deprecia 15% cada año (conserva 85%): - Año 0: 20000 euros - Año 1: 17000 euros - Año 2: 14450 euros - Año 3: 12282,50 euros

Q: ¿Cuál es la diferencia entre sucesiones aritméticas y geométricas?

A: En una sucesión aritmética, SUMAS el mismo número para obtener el siguiente término (diferencia $d$). En una sucesión geométrica, MULTIPLICAS por el mismo número (razón $r$). Ejemplo: $2, 5, 8, 11$ es aritmética ($d = 3$); $2, 6, 18, 54$ es geométrica ($r = 3$).

Q: ¿Puede la razón ser negativa?

A: ¡Sí! Cuando $r < 0$, los términos alternan entre positivo y negativo. Por ejemplo, $2, -6, 18, -54, \ldots$ tiene $r = -3$.

Q: ¿Qué pasa cuando $r = 1$ o $r = 0$?

A: Si $r = 1$, cada término es igual: $a, a, a, a, \ldots$ (sucesión constante). Si $r = 0$, cada término después del primero es cero: $a, 0, 0, 0, \ldots$

Q: ¿Cómo sé si una sucesión es geométrica?

A: Divide términos consecutivos. Si todas las razones son iguales, es geométrica. Por ejemplo, en $4, 12, 36$: $\frac{12}{4} = 3$ y $\frac{36}{12} = 3$, así que es geométrica con $r = 3$.