Sucesiones geométricas

Aprende sobre sucesiones donde cada término se multiplica por una razón constante para obtener el siguiente.

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Definición

Una sucesión geométrica es una sucesión donde cada término se obtiene multiplicando el término anterior por un número fijo llamado la razón (rr).
Si el primer término es a1a_1 y la razón es rr, la sucesión se ve así:
a1,a1⋅r,a1⋅r2,a1⋅r3,…a_1, \quad a_1 \cdot r, \quad a_1 \cdot r^2, \quad a_1 \cdot r^3, \quad \ldots
La fórmula del término general es:
an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1}
Para encontrar la razón, divide cualquier término entre su término anterior:
r=anan−1r = \frac{a_{n}}{a_{n-1}}

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¿Cuál de estas es una sucesión geométrica?

Ejemplos resueltos

¿Es la sucesión 3,6,12,24,48,…3, 6, 12, 24, 48, \ldots geométrica? Si es así, encuentra la razón.
1

Verifica la razón entre términos consecutivos

63=2\frac{6}{3} = 2, 126=2\frac{12}{6} = 2, 2412=2\frac{24}{12} = 2, 4824=2\frac{48}{24} = 2 → Todas las razones son iguales
2

Confirma razón constante

Como cada razón es igual a 22, es geométrica → Sí, es geométrica
3

Indica la razón

r=2r = 2 → La razón es 22

Errores comunes

Confundir el exponente: usar rnr^n en lugar de rn−1r^{n-1}

Por qué está mal: El primer término tiene exponente 0: a1=a1⋅r0a_1 = a_1 \cdot r^0. Así que el término n tiene exponente n−1n-1.

Correcto: Siempre usa an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1}. Para el 5to término, el exponente es 5−1=45-1=4.

Pensar que una razón negativa significa que no es geométrica

Por qué está mal: ¡Las sucesiones geométricas pueden tener razones negativas! Los signos alternarán.

Correcto: Ejemplo: 2,−6,18,−54,…2, -6, 18, -54, \ldots es geométrica con r=−3r = -3.

Sumar en lugar de multiplicar para encontrar el siguiente término

Por qué está mal: Esta es la diferencia entre sucesiones aritméticas (sumar) y geométricas (multiplicar).

Correcto: En sucesiones geométricas, siempre MULTIPLICA por rr: si a3=12a_3 = 12 y r=2r = 2, entonces a4=12×2=24a_4 = 12 \times 2 = 24, NO 12+2=1412 + 2 = 14.

Olvidar que rr puede ser una fracción (causando decrecimiento)

Por qué está mal: Cuando 0<r<10 < r < 1, cada término se hace más pequeño. Esto modela decrecimiento, no crecimiento.

Correcto: Ejemplo: 100,50,25,12,5,…100, 50, 25, 12{,}5, \ldots tiene r=0,5r = 0{,}5 (cada término es la mitad del anterior).

Visual interactivo

Explorador de sucesiones

3,
6,
12,
24,
48,
96,
192,
384
, ...

Fórmula

a_n = 3 × 2^(n-1)
12345678
a_1

3

a_5

48

a_10

1536

a_20

1.572.864

Explorador de sucesiones

256,
128,
64,
32,
16,
8
, ...

Fórmula

a_n = 256 × 0,5^(n-1)
123456
a_1

256

a_5

16

a_10

0,5

a_20

0,000488

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Problemas de práctica

16 problemas
Problema 1 de 16
Fácil
¿Cuál de estas es una sucesión geométrica?

Por qué es importante

Las sucesiones geométricas modelan muchos fenómenos del mundo real:
  • Interés compuesto: Tus ahorros crecen geométricamente con el interés compuesto
  • Crecimiento poblacional: Las bacterias se duplican cada hora, creando un patrón geométrico
  • Depreciación: Un automóvil pierde un porcentaje de su valor cada año
  • Física: Las pelotas que rebotan pierden una fracción de altura con cada rebote
  • Tecnología: La Ley de Moore describe el crecimiento geométrico del poder de cómputo
¡Entender las sucesiones geométricas es esencial para la planificación financiera, biología, física e informática!

Aplicaciones del mundo real

Interés compuesto

Cuando el dinero gana interés compuesto, el saldo forma una sucesión geométrica donde la razón es $(1 + \text{tasa de interés})$.

Ejemplo:

Inviertes 1000 euros al 5% de interés anual. Cada año, tu saldo se multiplica por 1,051,05: - Año 0: 1000 euros - Año 1: 1050 euros - Año 2: 1102,50 euros - Año 3: 1157,63 euros

1Inténtalo tú mismo

Depositas 500 euros en una cuenta que gana 8% de interés anual.

¿Cuánto tendrás después de 10 años?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} con a1=500a_1 = 500, r=1,08r = 1,08, n=11n = 11:

Crecimiento bacteriano

Las bacterias a menudo se duplican a intervalos regulares, creando una sucesión geométrica con $r = 2$.

Ejemplo:

Si un cultivo comienza con 100 bacterias y se duplica cada hora: - Hora 0: 100 bacterias - Hora 1: 200 bacterias - Hora 2: 400 bacterias - Hora 5: 100×25=3200100 \times 2^5 = 3200 bacterias

2Inténtalo tú mismo

Una colonia bacteriana comienza con 50 células y se triplica cada 2 horas.

¿Cuántas bacterias habrá después de 8 horas?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Encuentra el número de término para 8 horas, luego usa la fórmula:

Depreciación

Los automóviles y equipos pierden valor con el tiempo. Si algo pierde un porcentaje fijo cada año, sigue una sucesión geométrica con $r < 1$.

Ejemplo:

Un automóvil valorado en 20000 euros se deprecia 15% cada año (conserva 85%): - Año 0: 20000 euros - Año 1: 17000 euros - Año 2: 14450 euros - Año 3: 12282,50 euros

3Inténtalo tú mismo

Un ordenador valorado en 1200 euros pierde 20% de su valor cada año.

¿Cuánto vale después de 4 años?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa r=0,80r = 0,80 (conserva 80% cada año):

Puntos clave

  • 1Una sucesión geométrica multiplica cada término por una razón constante rr para obtener el siguiente
  • 2La fórmula del término general es an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1}
  • 3Encuentra la razón dividiendo cualquier término entre su anterior: r=anan−1r = \frac{a_n}{a_{n-1}}
  • 4Si ∣r∣>1|r| > 1, la sucesión crece; si ∣r∣<1|r| < 1, decrece
  • 5Si r<0r < 0, los términos alternan entre positivo y negativo
  • 6Las sucesiones geométricas modelan interés compuesto, crecimiento poblacional, depreciación y más

Preguntas frecuentes

En una sucesión aritmética, SUMAS el mismo número para obtener el siguiente término (diferencia dd). En una sucesión geométrica, MULTIPLICAS por el mismo número (razón rr). Ejemplo: 2,5,8,112, 5, 8, 11 es aritmética (d=3d = 3); 2,6,18,542, 6, 18, 54 es geométrica (r=3r = 3).
En una sucesión aritmética, SUMAS el mismo número para obtener el siguiente término (diferencia dd). En una sucesión geométrica, MULTIPLICAS por el mismo número (razón rr). Ejemplo: 2,5,8,112, 5, 8, 11 es aritmética (d=3d = 3); 2,6,18,542, 6, 18, 54 es geométrica (r=3r = 3).
¡Sí! Cuando r<0r < 0, los términos alternan entre positivo y negativo. Por ejemplo, 2,−6,18,−54,…2, -6, 18, -54, \ldots tiene r=−3r = -3.
Si r=1r = 1, cada término es igual: a,a,a,a,…a, a, a, a, \ldots (sucesión constante). Si r=0r = 0, cada término después del primero es cero: a,0,0,0,…a, 0, 0, 0, \ldots
Divide términos consecutivos. Si todas las razones son iguales, es geométrica. Por ejemplo, en 4,12,364, 12, 36: 124=3\frac{12}{4} = 3 y 3612=3\frac{36}{12} = 3, así que es geométrica con r=3r = 3.

Glosario

Sucesión geométrica
Una sucesión donde cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una razón constante
Razón (rr)
El multiplicador constante entre términos consecutivos
Crecimiento exponencial
Cuando ∣r∣>1|r| > 1, causando que la sucesión crezca rápidamente
Decrecimiento exponencial
Cuando ∣r∣<1|r| < 1, causando que la sucesión se reduzca hacia cero
Progresión geométrica
Otro nombre para una sucesión geométrica

Tarjeta de fórmulas

Término general

an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

Encuentra cualquier término dado el primer término y la razón

Razón

r=anan−1r = \frac{a_n}{a_{n-1}}

Encuentra la razón dividiendo términos consecutivos

Fórmula recursiva

an=an−1⋅ra_n = a_{n-1} \cdot r

Cada término es igual al término anterior por $r$

Reto de hoyUn problema, tres intentos

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