Sucesiones geométricas
Aprende sobre sucesiones donde cada término se multiplica por una razón constante para obtener el siguiente.
Definición
Pruébalo ahora
Ejemplos resueltos
¿Es la sucesión geométrica? Si es así, encuentra la razón.
Verifica la razón entre términos consecutivos
, , , → Todas las razones son iguales
Confirma razón constante
Como cada razón es igual a , es geométrica → Sí, es geométrica
Indica la razón
→ La razón es
Respuesta: Sí, esta es una sucesión geométrica con razón . Cada término es el doble del anterior.
Errores comunes
Confundir el exponente: usar en lugar de
Por qué está mal: El primer término tiene exponente 0: . Así que el término n tiene exponente .
Correcto: Siempre usa . Para el 5to término, el exponente es .
Pensar que una razón negativa significa que no es geométrica
Por qué está mal: ¡Las sucesiones geométricas pueden tener razones negativas! Los signos alternarán.
Correcto: Ejemplo: es geométrica con .
Sumar en lugar de multiplicar para encontrar el siguiente término
Por qué está mal: Esta es la diferencia entre sucesiones aritméticas (sumar) y geométricas (multiplicar).
Correcto: En sucesiones geométricas, siempre MULTIPLICA por : si y , entonces , NO .
Olvidar que puede ser una fracción (causando decrecimiento)
Por qué está mal: Cuando , cada término se hace más pequeño. Esto modela decrecimiento, no crecimiento.
Correcto: Ejemplo: tiene (cada término es la mitad del anterior).
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Observa cómo las potencias de un número crecen en la recta numérica. Cambia la base y el exponente.
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Problemas de práctica
16 problemas¿Cuál de estas es una sucesión geométrica?
Por qué es importante
- Interés compuesto: Tus ahorros crecen geométricamente con el interés compuesto
- Crecimiento poblacional: Las bacterias se duplican cada hora, creando un patrón geométrico
- Depreciación: Un automóvil pierde un porcentaje de su valor cada año
- Física: Las pelotas que rebotan pierden una fracción de altura con cada rebote
- Tecnología: La Ley de Moore describe el crecimiento geométrico del poder de cómputo
Aplicaciones del mundo real
Interés compuesto
Cuando el dinero gana interés compuesto, el saldo forma una sucesión geométrica donde la razón es $(1 + \text{tasa de interés})$.
Ejemplo:
Inviertes 1000 euros al 5% de interés anual. Cada año, tu saldo se multiplica por : - Año 0: 1000 euros - Año 1: 1050 euros - Año 2: 1102,50 euros - Año 3: 1157,63 euros
Depositas 500 euros en una cuenta que gana 8% de interés anual.
¿Cuánto tendrás después de 10 años?
Paso 1: Escribe la expresión matemática
Usa con , , :
Crecimiento bacteriano
Las bacterias a menudo se duplican a intervalos regulares, creando una sucesión geométrica con $r = 2$.
Ejemplo:
Si un cultivo comienza con 100 bacterias y se duplica cada hora: - Hora 0: 100 bacterias - Hora 1: 200 bacterias - Hora 2: 400 bacterias - Hora 5: bacterias
Una colonia bacteriana comienza con 50 células y se triplica cada 2 horas.
¿Cuántas bacterias habrá después de 8 horas?
Paso 1: Escribe la expresión matemática
Encuentra el número de término para 8 horas, luego usa la fórmula:
Depreciación
Los automóviles y equipos pierden valor con el tiempo. Si algo pierde un porcentaje fijo cada año, sigue una sucesión geométrica con $r < 1$.
Ejemplo:
Un automóvil valorado en 20000 euros se deprecia 15% cada año (conserva 85%): - Año 0: 20000 euros - Año 1: 17000 euros - Año 2: 14450 euros - Año 3: 12282,50 euros
Un ordenador valorado en 1200 euros pierde 20% de su valor cada año.
¿Cuánto vale después de 4 años?
Paso 1: Escribe la expresión matemática
Usa (conserva 80% cada año):
Puntos clave
- 1Una sucesión geométrica multiplica cada término por una razón constante para obtener el siguiente
- 2La fórmula del término general es
- 3Encuentra la razón dividiendo cualquier término entre su anterior:
- 4Si , la sucesión crece; si , decrece
- 5Si , los términos alternan entre positivo y negativo
- 6Las sucesiones geométricas modelan interés compuesto, crecimiento poblacional, depreciación y más
Preguntas frecuentes
Glosario
- Sucesión geométrica
- Una sucesión donde cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una razón constante
- Razón ()
- El multiplicador constante entre términos consecutivos
- Crecimiento exponencial
- Cuando , causando que la sucesión crezca rápidamente
- Decrecimiento exponencial
- Cuando , causando que la sucesión se reduzca hacia cero
- Progresión geométrica
- Otro nombre para una sucesión geométrica
Tarjeta de fórmulas
Termino general
Encuentra cualquier termino dado el primer termino y la razon
Razon
Encuentra la razon dividiendo terminos consecutivos
Formula recursiva
Cada termino es igual al termino anterior por $r$