Sacar cartas sin reposición

Un mazo estándar tiene 52 cartas. Sacas 2 cartas sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas cartas sean corazones?

Encuentra P(primer corazón): Hay 13 corazones de 52 cartas = $P(C_1) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$

Encuentra P(segundo corazón | el primero fue corazón): Después de sacar 1 corazón: quedan 12 corazones, 51 cartas en total = $P(C_2 | C_1) = \frac{12}{51}$

Multiplica las probabilidades: $P(C_1 \text{ y } C_2) = \frac{13}{52} \times \frac{12}{51}$ = $= \frac{156}{2652}$

Simplifica: $\frac{156}{2652} = \frac{1}{17}$ = $\approx 0{,}059$ o aproximadamente $5{,}9\%$

Answer: La probabilidad de sacar 2 corazones seguidos es $\frac{1}{17}$ o aproximadamente $5{,}9\%$

Seleccionar de un grupo

Una bolsa contiene 6 canicas rojas y 4 canicas azules. Sacas 2 canicas sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una canica roja primero y luego una azul?

Encuentra P(roja primero): 6 canicas rojas de 10 en total = $P(R) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Encuentra P(azul segundo | roja primero): Después de quitar 1 roja: 4 azules de 9 restantes = $P(A | R) = \frac{4}{9}$

Multiplica las probabilidades: $P(R \text{ luego } A) = \frac{3}{5} \times \frac{4}{9}$ = $= \frac{12}{45}$

Simplifica: $\frac{12}{45} = \frac{4}{15}$ = $\approx 0{,}267$ o aproximadamente $26{,}7\%$

Answer: La probabilidad es $\frac{4}{15}$ o aproximadamente $26{,}7\%$

Tres eventos dependientes

Un frasco contiene 5 caramelos rojos, 3 verdes y 2 amarillos. Tomas 3 caramelos sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de tomar rojo, luego verde, luego amarillo?

Encuentra P(rojo primero): 5 rojos de 10 en total = $P(R) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Encuentra P(verde segundo | rojo primero): 3 verdes de 9 restantes = $P(V | R) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Encuentra P(amarillo tercero | rojo luego verde): 2 amarillos de 8 restantes = $P(A | R,V) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Multiplica todas las probabilidades: $P(R,V,A) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{4}$ = $= \frac{1}{24} \approx 4{,}2\%$

Answer: La probabilidad es $\frac{1}{24}$ o aproximadamente $4{,}2\%$

Mistake: Usar el mismo denominador para ambos eventos

Why: Al sacar sin reposición, el número total de elementos disminuye. Usar 52 para ambas extracciones de cartas ignora este cambio.

Correct: Después de la primera extracción, reducir el denominador. Segunda extracción de 51 cartas, tercera extracción de 50 cartas, etc.

Mistake: Olvidar ajustar el numerador

Why: Si sacas un corazón primero, solo quedan 12 corazones, no 13. El primer evento cambia lo que queda.

Correct: Al sacar de la misma categoría, reducir el numerador Y el denominador. Para diferente categoría, reducir solo el denominador.

Mistake: Tratar eventos dependientes como independientes

Why: Usar $P(A) \times P(B)$ en lugar de $P(A) \times P(B|A)$ da respuestas incorrectas para eventos dependientes.

Correct: Pregúntate siempre: ¿El primer evento cambia lo disponible para el segundo? Si es así, los eventos son dependientes.

Control de calidad

Las fábricas prueban muestras de productos. Cada artículo probado se retira del lote, haciendo que las selecciones posteriores sean dependientes.

Una caja tiene 100 bombillas, 5 defectuosas. Prueba de 3 sin reposición: $P(\text{todas buenas}) = \frac{95}{100} \times \frac{94}{99} \times \frac{93}{98}$

Estrategias de juegos de cartas

Los jugadores de cartas profesionales rastrean qué cartas se han jugado para calcular las probabilidades restantes.

En el blackjack, si 3 ases han sido repartidos de un solo mazo, la probabilidad de que la siguiente carta sea un as es $\frac{1}{49}$, no $\frac{4}{52}$.

Seleccionar miembros de un comité

Al elegir personas para comités, cada selección reduce el grupo para las elecciones posteriores.

De 8 hombres y 6 mujeres, seleccionar 2 personas: $P(\text{ambas mujeres}) = \frac{6}{14} \times \frac{5}{13}$

Q: ¿Cómo sé si los eventos son dependientes o independientes?

A: Pregunta: ¿El primer evento cambia lo posible para el segundo? Sacar cartas sin reposición es dependiente (el mazo se reduce). Lanzar dados dos veces es independiente (el primer lanzamiento no afecta al segundo).

Q: ¿Qué significa 'sin reposición'?

A: Significa que no devuelves el elemento después de seleccionarlo. Esto cambia las probabilidades de las selecciones posteriores porque tanto el conteo total como posiblemente el conteo de elementos deseados disminuyen.

Q: ¿Pueden los eventos ser dependientes incluso con reposición?

A: ¡Sí! Si el resultado de un evento te da información que cambia la probabilidad de otro, son dependientes. Por ejemplo, saber que llovió hoy afecta la probabilidad de que llueva mañana.