Lanzamiento de un dado justo

¿Cuál es el valor esperado al lanzar un dado de seis caras justo?

Lista todos los resultados y sus probabilidades: Resultados: $1, 2, 3, 4, 5, 6$. Cada uno tiene probabilidad $\frac{1}{6}$ = 6 resultados igualmente probables

Aplica la fórmula del valor esperado: $E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6}$ = Suma de resultados ponderados

Simplifica el cálculo: $E(X) = \frac{1}{6}(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = \frac{21}{6}$ = $\frac{21}{6} = 3{,}5$

Answer: $E(X) = 3{,}5$. En promedio, esperas obtener 3,5 (¡aunque nunca puedes realmente obtener 3,5)!

Billete de lotería

Un billete de lotería cuesta 2 euros. Tienes un 1% de probabilidad de ganar 100 euros y un 99% de probabilidad de no ganar nada. ¿Cuál es el valor esperado de comprar un billete?

Identifica los resultados y las probabilidades: Ganar: 100 euros con $P = 0{,}01$. Perder: 0 euros con $P = 0{,}99$ = Dos resultados posibles

Calcula las ganancias esperadas: $E(\text{ganancias}) = 100 \cdot 0{,}01 + 0 \cdot 0{,}99 = 1$ euro = Ganancia esperada: 1 euro

Resta el costo del billete: $E(\text{beneficio}) = 1 - 2 = -1$ euro = Pérdida esperada de 1 euro

Answer: $E(\text{beneficio}) = -1$ euro. En promedio, pierdes 1 euro por billete. ¡Por eso las loterías son rentables para los organizadores!

Juego con moneda sesgada

Una moneda sesgada cae en cara el 70% de las veces. Ganas 5 euros por cara y pierdes 8 euros por cruz. ¿Cuál es el valor esperado de un lanzamiento?

Asigna valores y probabilidades: Cara: +5 euros, $P = 0{,}70$. Cruz: $-8$ euros, $P = 0{,}30$ = Un resultado positivo, uno negativo

Aplica la fórmula del valor esperado: $E(X) = 5 \cdot 0{,}70 + (-8) \cdot 0{,}30$ = $E(X) = 3{,}5 + (-2{,}4)$

Calcula el resultado final: $E(X) = 3{,}5 - 2{,}4 = 1{,}1$ = $E(X) = 1{,}1$ euro

Answer: $E(X) = 1{,}1$ euro. En promedio, ganas 1,10 euros por lanzamiento. ¡Es un juego favorable!

Costo esperado del seguro

Una compañía de seguros sabe que el 2% de los clientes harán una reclamación de 5000 euros en promedio. La prima anual es de 150 euros. ¿Cuál es el beneficio esperado por cliente?

Calcula el pago esperado: $E(\text{pago}) = 5000 \cdot 0{,}02 + 0 \cdot 0{,}98 = 100$ euros = Pago esperado: 100 euros por cliente

Calcula el beneficio esperado: $E(\text{beneficio}) = \text{prima} - E(\text{pago})$ = $E(\text{beneficio}) = 150 - 100$

Encuentra la respuesta: $E(\text{beneficio}) = 50$ euros por cliente = 50 euros de beneficio en promedio

Answer: La compañía de seguros espera obtener 50 euros de beneficio por cliente en promedio. ¡Así es como las compañías de seguros se mantienen en el negocio!

Mistake: Olvidar que el valor esperado puede ser un número no entero (como 3,5 en un dado)

Why: El valor esperado es un promedio teórico, no un resultado real. No puedes obtener 3,5, pero en muchos lanzamientos, tu promedio se acercará a 3,5.

Correct: Entiende que el valor esperado representa el promedio a largo plazo, no un resultado específico que obtendrás.

Mistake: Usar probabilidades iguales cuando los resultados no son igualmente probables

Why: Una moneda sesgada o un dado trucado tiene diferentes probabilidades para cada resultado.

Correct: Siempre verifica si los resultados son igualmente probables. Usa la probabilidad real para cada resultado.

Mistake: Olvidar restar los costos al calcular el beneficio esperado

Why: ¡Ganar 10 euros no es beneficio si pagaste 15 euros para jugar!

Correct: $E(\text{beneficio}) = E(\text{ganancias}) - \text{costo}$

Mistake: Sumar probabilidades en lugar de multiplicar el resultado por la probabilidad

Why: La fórmula es $x \cdot P(x)$, no $x + P(x)$.

Correct: Cada resultado debe multiplicarse por su probabilidad, luego suma todos los productos.

Juegos de casino y ventaja de la casa

Los casinos diseñan juegos para que el valor esperado siempre favorezca a la casa. En la ruleta, la ventaja de la casa significa que los jugadores pierden aproximadamente el 2,7% (europea) o el 5,3% (americana) de sus apuestas en promedio.

En la ruleta europea, apostar 10 euros al rojo da: $E = 10 \cdot \frac{18}{37} + (-10) \cdot \frac{19}{37} \approx -0{,}27$ euros. Pierdes 27 céntimos en promedio por apuesta de 10 euros.

Decisiones de inversión

Los inversores usan el valor esperado para comparar diferentes opciones de inversión ponderando los rendimientos potenciales contra sus probabilidades.

La acción A tiene un 60% de probabilidad de ganar 20% y un 40% de probabilidad de perder 10%. $E(\text{rendimiento}) = 0{,}20 \cdot 0{,}60 + (-0{,}10) \cdot 0{,}40 = 0{,}08 = 8\%$ de rendimiento esperado.

Estrategia de concurso de televisión

Los concursantes de programas de televisión usan el valor esperado para decidir si quedarse con un premio garantizado o arriesgarlo por una oportunidad de obtener más.

Has ganado 1000 euros. Puedes quedártelos o lanzar una moneda: cara gana 2500 euros, cruz no gana nada. $E(\text{lanzar}) = 2500 \cdot 0{,}5 + 0 \cdot 0{,}5 = 1250$ euros. ¡Matemáticamente, deberías lanzar!

Q: ¿Por qué el valor esperado de un dado es 3,5 si nunca puedo obtener 3,5?

A: El valor esperado es el promedio sobre muchas pruebas, no un resultado único. Si lanzas un dado 1000 veces y calculas el promedio, obtendrás muy cerca de 3,5. Es el centro teórico de la distribución.

Q: ¿Cuál es la diferencia entre el valor esperado y la moda o la mediana?

A: El valor esperado (media) pondera los resultados por su probabilidad. La moda es el resultado más probable, y la mediana es el valor central. Para un dado justo: media = 3,5, moda = ninguna (todos igualmente probables), mediana = 3,5.

Q: ¿Puede el valor esperado ser negativo?

A: ¡Sí! Si las pérdidas superan las ganancias en promedio, el valor esperado es negativo. La mayoría de los juegos de azar tienen un valor esperado negativo para los jugadores, por eso los casinos son rentables.

Q: ¿Debería siempre elegir la opción con el valor esperado más alto?

A: No necesariamente. El valor esperado ignora la tolerancia al riesgo. ¿Apostarías todos tus ahorros en un lanzamiento de moneda que los duplica o los pierde? El valor esperado es positivo, pero la mayoría de la gente no tomaría ese riesgo.