Probabilidades con la distribución normal
Área a la izquierda: menos de 174 cm
La estatura de las mujeres de un país sigue una distribución normal con $\mu = 165$ cm y $\sigma = 6$ cm. ¿Qué proporción de mujeres mide menos de 174 cm?
Dibuja y sombrea: Sombrea el área a la izquierda de 174 cm, que está a la derecha de la media 165 cm = El resultado debe ser mayor que 0,5
Tipifica: $z = \frac{174 - 165}{6} = \frac{9}{6}$ = $z = 1{,}5$
Lee la tabla: Fila 1,5, columna 0,00 = $P(Z < 1{,}5) = 0{,}9332$
Interpreta: Un área a la izquierda no necesita ajuste = $P(X < 174) = 0{,}9332$
Answer: $P(X < 174) = 0{,}9332$: aproximadamente el 93,32 % de las mujeres mide menos de 174 cm.
Área a la derecha: baterías de más de 14 horas
La batería de un móvil dura de media $\mu = 12$ horas con $\sigma = 1{,}6$ horas, según una distribución normal. ¿Cuál es la probabilidad de que una batería dure más de 14 horas?
Dibuja y sombrea: Sombrea la cola derecha a partir de 14 horas = Un área pequeña, menor que 0,5
Tipifica: $z = \frac{14 - 12}{1{,}6} = \frac{2}{1{,}6}$ = $z = 1{,}25$
Lee la tabla: Fila 1,2, columna 0,05 = $P(Z < 1{,}25) = 0{,}8944$
Usa el complementario: La tabla da el área a la izquierda, así que restas de 1: $1 - 0{,}8944$ = $P(X > 14) = 0{,}1056$
Answer: $P(X > 14) = 0{,}1056$: aproximadamente el 10,56 % de las baterías dura más de 14 horas.
Área entre dos valores: notas de un examen
Las notas de un examen siguen una distribución normal con $\mu = 70$ y $\sigma = 8$. ¿Qué porcentaje de alumnos saca entre 62 y 86 puntos?
Tipifica el valor inferior: $z_1 = \frac{62 - 70}{8} = \frac{-8}{8}$ = $z_1 = -1$
Tipifica el valor superior: $z_2 = \frac{86 - 70}{8} = \frac{16}{8}$ = $z_2 = 2$
Lee las dos áreas a la izquierda: $P(Z < 2) = 0{,}9772$ y $P(Z < -1) = 0{,}1587$ = Dos valores de la tabla
Resta: área grande a la izquierda menos área pequeña a la izquierda: $0{,}9772 - 0{,}1587$ = $0{,}8185$
Answer: $P(62 < X < 86) = 0{,}8185$, así que aproximadamente el 81,85 % de los alumnos saca entre 62 y 86 puntos.
Problema inverso: la nota del 10 % superior
En el mismo examen ($\mu = 70$, $\sigma = 8$), el 10 % superior recibe un diploma. ¿Cuál es la nota más baja que obtiene diploma?
Convierte el 10 % superior en un área a la izquierda: Un 10 % a la derecha significa $1 - 0{,}10 = 0{,}90$ a la izquierda = Busca 0,90 dentro de la tabla
Encuentra z en la tabla: El valor más cercano es $0{,}8997$, en la fila 1,2 y la columna 0,08 = $z \approx 1{,}28$
Vuelve a las unidades reales: $x = \mu + z\sigma = 70 + 1{,}28 \times 8 = 70 + 10{,}24$ = $x = 80{,}24$
Answer: Con unos 80,24 puntos o más se está en el 10 % superior. Con puntos enteros hace falta un 81.
De la probabilidad a un recuento: botellas con poco líquido
Una máquina llena botellas con $\mu = 500$ mL y $\sigma = 4$ mL. Llena 2000 botellas al día. ¿Aproximadamente cuántas botellas contienen menos de 494 mL?
Tipifica: $z = \frac{494 - 500}{4} = \frac{-6}{4}$ = $z = -1{,}5$
Lee la tabla: Fila -1,5, columna 0,00 = $P(Z < -1{,}5) = 0{,}0668$
Multiplica por el número de botellas: $0{,}0668 \times 2000$ = $133{,}6$
Answer: Unas 134 botellas al día (el 6,68 % de 2000) contienen menos de 494 mL.
Mistake: Usar directamente el valor de la tabla en una pregunta de "mayor que", por ejemplo $P(X > 14) = 0{,}8944$
Why: La tabla siempre da el área a la IZQUIERDA de $z$. La cola derecha es todo lo demás.
Correct: Resta de 1: $P(X > 14) = 1 - 0{,}8944 = 0{,}1056$. Un dibujo rápido muestra que la cola derecha es pequeña, así que 0,8944 no puede ser correcto.
Mistake: Restar primero las puntuaciones z: $P(-1 < Z < 2) = P(Z < 2 - (-1)) = P(Z < 3)$
Why: Las áreas bajo una curva no funcionan así. Necesitas el área hasta cada límite y después la diferencia de esas áreas.
Correct: Busca las dos áreas a la izquierda y réstalas: $0{,}9772 - 0{,}1587 = 0{,}8185$.
Mistake: Tipificar en el orden equivocado o dividir por el número equivocado: $z = \frac{\mu - x}{\sigma}$ o $z = \frac{x - \mu}{\sigma^2}$
Why: Si inviertes la resta, cambia el signo y acabas en el lado equivocado de la media. Si divides por la varianza, la distancia es incorrecta.
Correct: Siempre $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$: los valores por encima de la media tienen $z$ positivo y los de debajo, $z$ negativo.
Mistake: En problemas inversos, usar el porcentaje como puntuación z (z = 0,90) o elegir la cola equivocada (z = -1,28 para el 10 % superior)
Why: El porcentaje es un ÁREA, que se busca dentro de la tabla. La puntuación z se lee en los bordes de filas y columnas.
Correct: El 10 % superior significa 0,90 a la izquierda, lo que da $z \approx 1{,}28$ (positivo, por encima de la media). El 10 % inferior da $z \approx -1{,}28$.
Control de calidad: latas con poco líquido
Las fábricas de bebidas comprueban qué parte de las latas queda por debajo de la cantidad de la etiqueta y ajustan las máquinas de llenado.
Una línea llena latas con $\mu = 330$ mL y $\sigma = 2$ mL. Cualquier lata por debajo de 327 mL se marca como insuficiente.
Tablas de crecimiento en el pediatra
Los pediatras comparan a los bebés con las tablas de crecimiento. Cada curva de la tabla es un percentil de una distribución normal.
En un estudio, el peso de los bebés de 6 meses es aproximadamente normal con $\mu = 8$ kg y $\sigma = 0{,}5$ kg. Un bebé por debajo del percentil 10 recibe una revisión adicional.
Organizar un maratón urbano
Los organizadores estiman cuántos corredores habrá en el recorrido en cada momento para planificar avituallamientos y voluntarios.
Los tiempos de llegada son aproximadamente normales con $\mu = 240$ minutos y $\sigma = 30$ minutos. La organización quiere saber qué parte de los corredores llega entre 225 y 285 minutos.
Para una probabilidad normal, dibuja la región, tipifica con $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$, lee la tabla de la normal y ajusta
La tabla da el área a la IZQUIERDA: $P(X < a) = P(Z < z_a)$
Cola derecha: $P(X > a) = 1 - P(Z < z_a)$
Entre dos valores: $P(a < X < b) = P(Z < z_b) - P(Z < z_a)$
Problemas inversos: busca $z$ para el área dada dentro de la tabla y luego $x = \mu + z\sigma$ (el 10 % superior es $z \approx 1{,}28$)
Una probabilidad es también una proporción de la población: $0{,}0668$ de 2000 botellas son unas 134 botellas
Q: ¿Es distinto $P(X < 174)$ de $P(X \le 174)$?
A: No. En una variable continua un valor aislado tiene probabilidad 0, así que $<$ y $\le$ dan la misma área. Es distinto en la distribución binomial, donde sí importa.
Q: Mi puntuación z tiene tres decimales, como 1,645. ¿Qué hago?
A: Redondea a dos decimales para la tabla o toma un valor entre las dos entradas vecinas. Para $z = 1{,}645$, las áreas 0,9495 y 0,9505 están igual de cerca, así que 0,95 es una buena respuesta.
Q: ¿Y si la puntuación z se sale de la tabla, como $z = 4$?
A: Las tablas suelen terminar hacia 3,49. Más allá, el área a la izquierda es prácticamente 1 (para z grande y positivo) o prácticamente 0 (para z grande y negativo). Esos valores son rarísimos.
Q: ¿Por qué un percentil corresponde al área a la izquierda?
A: El percentil 90 es el valor que deja por debajo al 90 % de la población. "Por debajo" es el lado izquierdo de la curva, justo lo que mide la tabla.
Probabilidades con la distribución normal
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Probabilidades con la distribución normal
Calcula probabilidades y percentiles de datos normales en unidades reales: tipifica, lee la tabla de la normal y trabaja hacia atrás hasta los puntos de corte.