¿Es distinto $P(X < 174)$ de $P(X \le 174)$?

No. En una variable continua un valor aislado tiene probabilidad 0, así que $<$ y $\le$ dan la misma área. Es distinto en la distribución binomial, donde sí importa.

Mi puntuación z tiene tres decimales, como 1,645. ¿Qué hago?

Redondea a dos decimales para la tabla o toma un valor entre las dos entradas vecinas. Para $z = 1{,}645$, las áreas 0,9495 y 0,9505 están igual de cerca, así que 0,95 es una buena respuesta.

¿Y si la puntuación z se sale de la tabla, como $z = 4$?

Las tablas suelen terminar hacia 3,49. Más allá, el área a la izquierda es prácticamente 1 (para z grande y positivo) o prácticamente 0 (para z grande y negativo). Esos valores son rarísimos.

¿Por qué un percentil corresponde al área a la izquierda?

El percentil 90 es el valor que deja por debajo al 90 % de la población. "Por debajo" es el lado izquierdo de la curva, justo lo que mide la tabla.

Recursos para profesores

Probabilidades con la distribución normal

Q: ¿Es distinto $P(X < 174)$ de $P(X \le 174)$?

No. En una variable continua un valor aislado tiene probabilidad 0, así que $<$ y $\le$ dan la misma área. Es distinto en la distribución binomial, donde sí importa.

Q: Mi puntuación z tiene tres decimales, como 1,645. ¿Qué hago?

Redondea a dos decimales para la tabla o toma un valor entre las dos entradas vecinas. Para $z = 1{,}645$, las áreas 0,9495 y 0,9505 están igual de cerca, así que 0,95 es una buena respuesta.

Q: ¿Y si la puntuación z se sale de la tabla, como $z = 4$?

Las tablas suelen terminar hacia 3,49. Más allá, el área a la izquierda es prácticamente 1 (para z grande y positivo) o prácticamente 0 (para z grande y negativo). Esos valores son rarísimos.

Q: ¿Por qué un percentil corresponde al área a la izquierda?

El percentil 90 es el valor que deja por debajo al 90 % de la población. "Por debajo" es el lado izquierdo de la curva, justo lo que mide la tabla.

Calcula probabilidades y percentiles de datos normales en unidades reales: tipifica, lee la tabla de la normal y trabaja hacia atrás hasta los puntos de corte.

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Definición

Las probabilidades con la distribución normal responden a preguntas como "¿Qué proporción de botellas contiene menos de 494 mL?" cuando una magnitud

X

sigue una distribución normal con media

\mu

y desviación estándar (desviación típica)

\sigma

, medida en unidades reales (cm, puntos, horas, mL).

La probabilidad es el área bajo la curva de campana sobre los valores por los que preguntas. Cualquier curva normal se convierte en la de la distribución normal estándar con un solo paso, así que solo necesitas una tabla.

El método de cuatro pasos

1.Dibuja y sombrea la región: a la izquierda de $a$ , a la derecha de $a$ o entre $a$ y $b$ .
2.Tipifica: convierte cada valor en una puntuación z

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

3.Lee la tabla de la normal: da el área a la izquierda de $z$ , es decir, $P(Z < z)$ (consulta la lección sobre la distribución normal estándar).
4.Ajusta según la región:

Izquierda: $P(X < a) = P(Z < z_a)$
Derecha: $P(X > a) = 1 - P(Z < z_a)$
Entre dos valores: $P(a < X < b) = P(Z < z_b) - P(Z < z_a)$

Hacia atrás: percentiles y puntos de corte

A veces el área es el dato y lo que falta es el valor ("¿Qué nota marca el 10 % superior?"). Busca en la tabla el

z

cuya área a la izquierda coincide y vuelve a las unidades reales:

x = \mu + z\sigma

Una probabilidad de

0{,}9332

también significa el 93,32 % de la población, así que cada resultado se puede leer como una proporción de personas, botellas o baterías.

Pruébalo ahora

Las notas de un test siguen una distribución normal con

\mu = 60

\sigma = 10

. ¿Qué expresión da la puntuación z de una nota de 75?

Ejemplos resueltos

La estatura de las mujeres de un país sigue una distribución normal con

\mu = 165

cm y

\sigma = 6

cm. ¿Qué proporción de mujeres mide menos de 174 cm?

Dibuja y sombrea

Sombrea el área a la izquierda de 174 cm, que está a la derecha de la media 165 cm → El resultado debe ser mayor que 0,5

Tipifica

z = \frac{174 - 165}{6} = \frac{9}{6}

→

z = 1{,}5

Lee la tabla

Fila 1,5, columna 0,00 →

P(Z < 1{,}5) = 0{,}9332

Interpreta

Un área a la izquierda no necesita ajuste →

P(X < 174) = 0{,}9332

Respuesta: $P(X < 174) = 0{,}9332$ : aproximadamente el 93,32 % de las mujeres mide menos de 174 cm.

Errores comunes

Usar directamente el valor de la tabla en una pregunta de "mayor que", por ejemplo $P(X > 14) = 0{,}8944$

Por qué está mal: La tabla siempre da el área a la IZQUIERDA de $z$ . La cola derecha es todo lo demás.

Correcto: Resta de 1: $P(X > 14) = 1 - 0{,}8944 = 0{,}1056$ . Un dibujo rápido muestra que la cola derecha es pequeña, así que 0,8944 no puede ser correcto.

Restar primero las puntuaciones z: $P(-1 < Z < 2) = P(Z < 2 - (-1)) = P(Z < 3)$

Por qué está mal: Las áreas bajo una curva no funcionan así. Necesitas el área hasta cada límite y después la diferencia de esas áreas.

Correcto: Busca las dos áreas a la izquierda y réstalas: $0{,}9772 - 0{,}1587 = 0{,}8185$ .

Tipificar en el orden equivocado o dividir por el número equivocado: $z = \frac{\mu - x}{\sigma}$ o $z = \frac{x - \mu}{\sigma^2}$

Por qué está mal: Si inviertes la resta, cambia el signo y acabas en el lado equivocado de la media. Si divides por la varianza, la distancia es incorrecta.

Correcto: Siempre $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ : los valores por encima de la media tienen $z$ positivo y los de debajo, $z$ negativo.

En problemas inversos, usar el porcentaje como puntuación z (z = 0,90) o elegir la cola equivocada (z = -1,28 para el 10 % superior)

Por qué está mal: El porcentaje es un ÁREA, que se busca dentro de la tabla. La puntuación z se lee en los bordes de filas y columnas.

Correcto: El 10 % superior significa 0,90 a la izquierda, lo que da $z \approx 1{,}28$ (positivo, por encima de la media). El 10 % inferior da $z \approx -1{,}28$ .

Visual interactivo

Estatura de las mujeres: μ = 165 cm, σ = 6 cm. Arrastra el límite o cambia la zona

μ = 165 cm, σ = 6 cm · Arrastra un control o escribe x o z.

z = (x − μ)/σ = (174 − 165)/6 = 1,5

P(X ≤ 174) = P(Z ≤ 1,5) ≈ 0,9332 = 93,32 %

Aproximadamente el 93,32 % de los valores cae en la región sombreada.

Notas del examen: μ = 70, σ = 8. Área entre 62 y 86

μ = 70 puntos, σ = 8 puntos · Arrastra un control o escribe x o z.

z = (x − μ)/σ = (62 − 70)/8 = -1

z = (x − μ)/σ = (86 − 70)/8 = 2

P(62 ≤ X ≤ 86) = P(-1 ≤ Z ≤ 2) ≈ 0,8186 = 81,86 %

Aproximadamente el 81,86 % de los valores cae en la región sombreada.

Punto de corte: ¿qué nota marca el 10 % superior?

μ = 70 puntos, σ = 8 puntos · Arrastra un control o escribe x o z.

Mueve el control hasta que el área sombreada sea 0,1000 (10 %).

zP(Z ≥ 0) ≈ 0,5000

x = μ + zσ = 70 + 0 · 8 ≈ 70 puntos

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Problemas de práctica

18 problemas

Problema 1 de 18

Fácil

Las notas de un test siguen una distribución normal con

\mu = 60

\sigma = 10

. ¿Qué expresión da la puntuación z de una nota de 75?

Problemas de práctica: Probabilidades con la distribución normal

1. Las notas de un test siguen una distribución normal con \mu = 60 y \sigma = 10. ¿Qué expresión da la puntuación z de una nota de 75?
2. La estatura de los hombres adultos sigue una distribución normal con \mu = 170 cm y \sigma = 8 cm. ¿Cuál es la puntuación z de un hombre que mide 182 cm?
3. La tabla da P(Z < 1) = 0,8413. ¿Cuánto vale P(Z > 1)?
4. Las manzanas de un huerto pesan \mu = 150 g con \sigma = 20 g, según una distribución normal. Usa P(Z < 0{,}5) = 0{,}6915. ¿Qué proporción de manzanas pesa menos de 160 g? Da un número decimal.
5. Las notas de un examen siguen una distribución normal con \mu = 72 y \sigma = 6. La tabla da P(Z < 1{,}5) = 0{,}9332. Calcula P(X < 81).
6. Los tiempos de entrega de pizzas siguen una distribución normal con \mu = 30 min y \sigma = 5 min. La tabla da P(Z < 2) = 0{,}9772. Calcula la probabilidad de que una entrega tarde más de 40 minutos.
7. Unas botellas se llenan con \mu = 500 mL y \sigma = 5 mL, según una distribución normal. Con P(Z < 2) = 0{,}9772 y P(Z < -1) = 0{,}1587, ¿cuánto vale P(495 < X < 510)?
8. La batería de un portátil dura \mu = 8 horas con \sigma = 0{,}8 horas, según una distribución normal. Usa P(Z < 1{,}25) = 0{,}8944. ¿Cuál es la probabilidad de que una batería dure más de 9 horas? Da un número decimal.
9. La estatura de las mujeres sigue una distribución normal con \mu = 165 cm y \sigma = 6 cm. La tabla da P(Z < 1) = 0{,}8413 y P(Z < -1{,}5) = 0{,}0668. Calcula P(156 < X < 171).
10. Las puntuaciones de CI siguen una distribución normal con \mu = 100 y \sigma = 15. Halla el percentil 90.
11. Para la estatura de las mujeres (\mu = 165 cm, \sigma = 6 cm) obtuvimos P(X < 174) = 0{,}9332. ¿Qué significa?
12. Las notas de un examen siguen una distribución normal con \mu = 70 y \sigma = 8. La tabla da P(Z < 0{,}5) = 0{,}6915. ¿Qué proporción de alumnos saca entre 66 y 74? Da un número decimal.
13. Una fábrica produce 1000 bombillas. Su duración sigue una distribución normal con \mu = 1200 horas y \sigma = 100 horas. La tabla da P(Z < 2) = 0{,}9772. ¿Aproximadamente cuántas bombillas duran más de 1400 horas?
14. Una máquina llena botellas con \mu = 500 mL y \sigma = 4 mL. Se rechaza el 5 % de botellas con menos líquido. Halla el volumen de corte por debajo del cual se rechaza una botella.
15. La estatura de los hombres sigue una distribución normal con \mu = 175 cm y \sigma = 7 cm. Con z \approx 1{,}28 para el percentil 90, ¿qué estatura marca el 10 % más alto?
16. La batería de un móvil dura \mu = 20 horas con \sigma = 2 horas, según una distribución normal. La tabla da P(Z < -0{,}67) = 0{,}2514. ¿Cuántas horas dura como mínimo el 75 % de las baterías? Da la respuesta con dos decimales.
17. Un almacén envía 4000 paquetes al día. Su peso sigue una distribución normal con \mu = 250 g y \sigma = 10 g. La tabla da P(Z < 1{,}5) = 0{,}9332 y P(Z < -1) = 0{,}1587. ¿Aproximadamente cuántos paquetes pesan entre 240 g y 265 g?
18. Una empresa de cereales llena cajas con \sigma = 6 g. La etiqueta dice 500 g y solo el 2,5 % de las cajas puede contener menos. ¿A qué media \mu hay que ajustar la máquina?

Por qué es importante

Las probabilidades de la normal convierten una media y una desviación estándar en decisiones concretas:

Fabricación: qué parte de las botellas está por debajo de lo indicado, y cómo ajustar la máquina para que casi no haya ninguna
Salud: los pediatras comparan la estatura o el peso de un niño con las tablas de crecimiento, que son percentiles de una distribución normal
Educación: los tribunales de examen fijan la nota del 10 % superior o deciden cuántos alumnos aprueban
Productos: una empresa solo puede prometer "el 90 % de las baterías dura al menos 18 horas" después de este cálculo
Deporte y ciencia: saber si un resultado es raro es preguntarse cuánta área queda más allá de él

Los mismos cuatro pasos resuelven todas estas preguntas, sean cuales sean las unidades.

Aplicaciones del mundo real

Control de calidad: latas con poco líquido

Las fábricas de bebidas comprueban qué parte de las latas queda por debajo de la cantidad de la etiqueta y ajustan las máquinas de llenado.

Ejemplo:

Una línea llena latas con $\mu = 330$ mL y $\sigma = 2$ mL. Cualquier lata por debajo de 327 mL se marca como insuficiente.

1Inténtalo tú mismo

Las latas se llenan con $\mu = 330$ mL y $\sigma = 2$ mL, según una distribución normal. La tabla da $P(Z < -1{,}5) = 0{,}0668$ .

¿Qué proporción de latas contiene menos de 327 mL? Da un número decimal.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Tipifica 327 mL y lee el área a la izquierda:

Tablas de crecimiento en el pediatra

Los pediatras comparan a los bebés con las tablas de crecimiento. Cada curva de la tabla es un percentil de una distribución normal.

Ejemplo:

En un estudio, el peso de los bebés de 6 meses es aproximadamente normal con $\mu = 8$ kg y $\sigma = 0{,}5$ kg. Un bebé por debajo del percentil 10 recibe una revisión adicional.

2Inténtalo tú mismo

Peso a los 6 meses: $\mu = 8$ kg, $\sigma = 0{,}5$ kg. La tabla muestra que $z \approx -1{,}28$ deja un 10 % del área a su izquierda.

¿Por debajo de qué peso (en kg) está un bebé en el 10 % más bajo?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa $x = \mu + z\sigma$ :

Organizar un maratón urbano

Los organizadores estiman cuántos corredores habrá en el recorrido en cada momento para planificar avituallamientos y voluntarios.

Ejemplo:

Los tiempos de llegada son aproximadamente normales con $\mu = 240$ minutos y $\sigma = 30$ minutos. La organización quiere saber qué parte de los corredores llega entre 225 y 285 minutos.

3Inténtalo tú mismo

Tiempos de llegada: $\mu = 240$ min, $\sigma = 30$ min. Valores de la tabla: $P(Z < 1{,}5) = 0{,}9332$ y $P(Z < -0{,}5) = 0{,}3085$ .

¿Qué proporción de corredores llega entre 225 y 285 minutos?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Resta las dos áreas a la izquierda:

Puntos clave

1Para una probabilidad normal, dibuja la región, tipifica con $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ , lee la tabla de la normal y ajusta
2La tabla da el área a la IZQUIERDA: $P(X < a) = P(Z < z_a)$
3Cola derecha: $P(X > a) = 1 - P(Z < z_a)$
4Entre dos valores: $P(a < X < b) = P(Z < z_b) - P(Z < z_a)$
5Problemas inversos: busca $z$ para el área dada dentro de la tabla y luego $x = \mu + z\sigma$ (el 10 % superior es $z \approx 1{,}28$ )
6Una probabilidad es también una proporción de la población: $0{,}0668$ de 2000 botellas son unas 134 botellas

Preguntas frecuentes

No. En una variable continua un valor aislado tiene probabilidad 0, así que

<

\le

dan la misma área. Es distinto en la distribución binomial, donde sí importa.

Glosario

Tipificar: Convertir un valor $x$ en puntuación z con $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ para poder usar la tabla de la normal estándar
Tabla de la normal (tabla z): Tabla de la distribución normal estándar: para cada $z$ da el área a la izquierda, $P(Z < z)$
Cola izquierda / cola derecha: El área bajo la curva normal por debajo de un valor (izquierda) o por encima de un valor (derecha)
Suceso complementario: $P(X > a) = 1 - P(X < a)$ , porque el área total bajo la curva es 1
Percentil: El valor que deja por debajo un porcentaje dado de la población, por ejemplo el percentil 90
Punto de corte: El valor $x = \mu + z\sigma$ que separa un área dada, por ejemplo el 10 % superior

Tarjeta de fórmulas

Tipificar

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

De unidades reales a puntuación z

Área a la izquierda

P(X < a) = P(Z < z_a)

Se lee directamente en la tabla

Área a la derecha

P(X > a) = 1 - P(Z < z_a)

Complementario del valor de la tabla

Área entre dos valores

P(a < X < b) = P(Z < z_b) - P(Z < z_a)

Diferencia de dos áreas a la izquierda

Punto de corte

x = \mu + z\sigma

De la puntuación z a las unidades reales (percentiles)

Reto de hoyUn problema, tres intentos

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Definición

El método de cuatro pasos

Hacia atrás: percentiles y puntos de corte

Ejemplos resueltos

Errores comunes

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Estatura de las mujeres: μ = 165 cm, σ = 6 cm. Arrastra el límite o cambia la zona

Notas del examen: μ = 70, σ = 8. Área entre 62 y 86

Punto de corte: ¿qué nota marca el 10 % superior?

Sandbox interactivo

Calculadora de expresiones

Historial

Problemas de práctica

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Control de calidad: latas con poco líquido

Tablas de crecimiento en el pediatra

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Tarjeta de fórmulas

Tipificar

Área a la izquierda

Área a la derecha

Área entre dos valores

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