Distribuciones muestrales

Un **parámetro** es un número que describe toda una **población**, por ejemplo la media poblacional $\mu$, la desviación estándar (o desviación típica) poblacional $\sigma$ o la proporción poblacional $p$. Un **estadístico** es un número calculado a partir de una **muestra**, por ejemplo la media muestral $\bar{x}$ o la proporción muestral $\hat{p}$. El parámetro es fijo (aunque normalmente desconocido); el estadístico cambia de una muestra a otra. La **distribución muestral** de un estadístico es la distribución de sus valores en todas las muestras aleatorias posibles del mismo tamaño $n$. ## Distribución muestral de la media $\bar{x}$ - **Centro:** $\mu_{\bar{x}} = \mu$ (las medias muestrales se centran en la media poblacional) - **Dispersión:** $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$, llamada **error típico** (error estándar) - **Forma (teorema central del límite):** si la población es normal, $\bar{x}$ es normal para cualquier $n$. Si no, $\bar{x}$ sigue siendo aproximadamente normal cuando $n$ es grande, normalmente con $n \geq 30$. Por eso, una probabilidad sobre una media muestral usa la puntuación z $$z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$$ ## Distribución muestral de la proporción $\hat{p}$ - **Centro:** $\mu_{\hat{p}} = p$ - **Dispersión:** $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$ - **Forma:** aproximadamente normal cuando $np \geq 10$ y $n(1-p) \geq 10$ Estas fórmulas suponen una muestra aleatoria de valores independientes (en la práctica: la muestra es menos de un 10 % de la población, aproximadamente).

¿Parámetro o estadístico?

Un instituto tiene 1200 alumnos. Su estatura media es de 165 cm. Un proyecto de clase mide una muestra aleatoria de 50 alumnos y obtiene una estatura media de 163,2 cm. ¿Qué número es un parámetro y cuál es un estadístico?

Busca el número que describe toda la población: 165 cm es la media de los 1200 alumnos = Parámetro: $\mu = 165$ cm

Busca el número que viene de la muestra: 163,2 cm es la media de los 50 alumnos medidos = Estadístico: $\bar{x} = 163{,}2$ cm

Piensa en una segunda muestra: Otra muestra aleatoria de 50 alumnos daría una media algo distinta, por ejemplo 166,0 cm = $\bar{x}$ varía, $\mu$ es fijo

Answer: $\mu = 165$ cm es el parámetro, $\bar{x} = 163{,}2$ cm es un estadístico. El estadístico cambia de una muestra a otra, y eso es justo lo que describe una distribución muestral.

Centro y error típico de la media muestral

Las notas de un examen tienen media $\mu = 70$ y desviación estándar $\sigma = 15$. Tomas muestras aleatorias de $n = 36$ alumnos. Halla la media y el error típico de $\bar{x}$. ¿Qué ocurre con $n = 100$?

Centro de la distribución muestral: $\mu_{\bar{x}} = \mu$ = $\mu_{\bar{x}} = 70$

Error típico para $n = 36$: $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{15}{\sqrt{36}} = \dfrac{15}{6}$ = $\sigma_{\bar{x}} = 2{,}5$

Error típico para $n = 100$: $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{15}{\sqrt{100}} = \dfrac{15}{10}$ = $\sigma_{\bar{x}} = 1{,}5$

Answer: Las medias muestrales se centran en 70. Su error típico es 2,5 para $n = 36$ y solo 1,5 para $n = 100$: las muestras más grandes dan medias que se quedan más cerca de $\mu$.

¿Cuándo es normal la media muestral?

Los tiempos de espera en un centro de llamadas tienen una fuerte asimetría a la derecha, con $\mu = 8$ minutos y $\sigma = 6$ minutos. Describe la distribución muestral de $\bar{x}$ para muestras de $n = 4$ llamadas y de $n = 40$ llamadas.

Centro para ambos tamaños: $\mu_{\bar{x}} = \mu$ sea cual sea $n$ = Centro 8 minutos

Error típico para $n = 4$: $\dfrac{6}{\sqrt{4}} = \dfrac{6}{2}$ = 3 minutos

Forma para $n = 4$: La población no es normal y $n = 4$ es pequeño, así que el teorema central del límite todavía no ayuda = Sigue asimétrica a la derecha

Error típico y forma para $n = 40$: $\dfrac{6}{\sqrt{40}} \approx \dfrac{6}{6{,}32}$, y $n = 40 \geq 30$ = Unos 0,95 minutos, aproximadamente normal

Answer: Las dos distribuciones se centran en 8 minutos. Con $n = 4$ las medias están muy dispersas (error típico 3) y siguen siendo asimétricas; con $n = 40$ están muy juntas (error típico de unos 0,95) y son aproximadamente normales por el teorema central del límite.

Probabilidad sobre una media muestral

Las baterías de un móvil duran de media $\mu = 50$ horas con $\sigma = 12$ horas. Una tienda prueba una muestra aleatoria de 36 baterías. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea menor que 47 horas? Compárala con la probabilidad de que UNA batería dure menos de 47 horas.

Comprueba la forma: $n = 36 \geq 30$, así que por el teorema central del límite $\bar{x}$ es aproximadamente normal = Podemos usar puntuaciones z

Halla el error típico: $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{12}{\sqrt{36}} = \dfrac{12}{6}$ = 2 horas

Calcula la puntuación z de $\bar{x} = 47$: $z = \dfrac{47 - 50}{2}$ = $z = -1{,}5$

Consulta la tabla de la normal: $P(Z < -1{,}5) = 0{,}0668$ = Aproximadamente un 6,7 %

Compara con una batería (si la duración es normal): $z = \dfrac{47 - 50}{12} = -0{,}25$, $P(Z < -0{,}25) = 0{,}4013$ = Aproximadamente un 40 %

Answer: $P(\bar{x} < 47) \approx 0{,}0668$, solo un 6,7 % aproximadamente. Que una batería dure menos de 47 horas es frecuente (un 40 %), pero que la media de 36 baterías sea tan baja es raro, porque las medias varían mucho menos que los valores sueltos.

Distribución muestral de una proporción

En una ciudad, el 40 % de los adultos apoya un parque nuevo ($p = 0{,}4$). Un periódico encuesta a una muestra aleatoria de $n = 100$ adultos. Describe la distribución muestral de $\hat{p}$ y halla la probabilidad de que más de la mitad de la muestra apoye el parque.

Comprueba las condiciones: $np = 100 \cdot 0{,}4 = 40 \geq 10$ y $n(1-p) = 100 \cdot 0{,}6 = 60 \geq 10$ = Aproximadamente normal

Centro y error típico: $\mu_{\hat{p}} = 0{,}4$, $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{0{,}4 \cdot 0{,}6}{100}} = \sqrt{0{,}0024}$ = $\sigma_{\hat{p}} \approx 0{,}049$

Calcula la puntuación z de $\hat{p} = 0{,}5$: $z = \dfrac{0{,}5 - 0{,}4}{0{,}049}$ = $z \approx 2{,}04$

Halla el área de la cola derecha: $P(Z > 2{,}04) = 1 - 0{,}9793$ = $\approx 0{,}0207$

Answer: $\hat{p}$ es aproximadamente normal con media 0,4 y error típico de unos 0,049. La probabilidad de que la encuesta muestre una mayoría (más del 50 %) es solo de un 2 % aproximadamente.

Casi todos los números de encuestas que salen en las noticias son estadísticos, no parámetros: - **Encuestas electorales**: una encuesta a 1000 votantes estima la proporción entre todos los votantes. El error típico te dice a qué distancia de la verdad es probable que esté la encuesta. - **Control de calidad**: una fábrica comprueba el peso medio de una muestra de paquetes en lugar de pesar cada paquete. - **Medicina**: un ensayo clínico mide el efecto medio en unos cientos de pacientes y saca conclusiones para todos. - **Ciencia**: hacer la media de mediciones repetidas reduce el error aleatorio. La idea clave: el error típico $\sigma / \sqrt{n}$ disminuye cuando la muestra crece. Cuatro veces más personas reducen el error a la mitad; por eso las encuestas grandes son más precisas. Además, el teorema central del límite te permite usar la distribución normal, las puntuaciones z y la tabla de la normal que ya conoces, incluso cuando la población no es normal.

Mistake: Usar $\sigma$ en lugar de $\sigma / \sqrt{n}$ en una pregunta sobre una media muestral

Why: $\sigma$ es la dispersión de los valores sueltos. Las medias varían mucho menos, así que con $\sigma$ las medias poco habituales parecen demasiado probables.

Correct: Para $\bar{x}$ divide siempre entre el error típico: $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$. Para un solo valor, $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$.

Mistake: Dividir entre $n$ en lugar de entre $\sqrt{n}$

Why: Con $\sigma = 12$ y $n = 36$, dividir entre $n$ da $0{,}33$ en lugar del error típico correcto $2$, así que cada puntuación z sale 6 veces más grande.

Correct: Calcula primero la raíz cuadrada de $n$: $\dfrac{12}{\sqrt{36}} = \dfrac{12}{6} = 2$.

Mistake: Creer que el teorema central del límite hace normal la población o los datos

Why: Una muestra grande de una población asimétrica sigue siendo asimétrica: su histograma se parece a la población. Solo la distribución de las MEDIAS muestrales se vuelve normal.

Correct: El teorema central del límite trata de la distribución muestral de $\bar{x}$, no de los valores individuales.

Mistake: Usar el modelo normal para $\hat{p}$ sin comprobar $np \geq 10$ y $n(1-p) \geq 10$

Why: Con $p = 0{,}05$ y $n = 40$ tenemos $np = 2$: la mayoría de las muestras tienen 0, 1, 2 o 3 éxitos, y la distribución de $\hat{p}$ es muy asimétrica.

Correct: Comprueba primero las dos condiciones. Si una falla, toma una muestra más grande o usa la distribución binomial.

Encuestas electorales

Las empresas de sondeos preguntan a unas 1000 personas y publican un margen de error. Ese margen sale directamente del error típico de $\hat{p}$.

Si el apoyo real es $p = 0{,}5$, una encuesta a 1000 personas tiene error típico $\sqrt{0{,}5 \cdot 0{,}5 / 1000} \approx 0{,}016$, así que cerca del 95 % de esas encuestas quedan a unos 3 puntos porcentuales de la verdad como mucho.

Control de calidad en una cafetería

Las máquinas que llenan vasos se vigilan con la media de muestras pequeñas. Una media demasiado lejos del objetivo, medida en errores típicos, hace saltar una alarma.

Una máquina llena vasos con $\mu = 250$ mL y $\sigma = 8$ mL. Un inspector mide 16 vasos, así que el error típico es $8 / \sqrt{16} = 2$ mL.

Planificar un estudio médico

Antes de empezar un estudio, los investigadores eligen el tamaño de la muestra para que el error típico sea lo bastante pequeño. Por la raíz cuadrada, reducir el error a la mitad exige cuatro veces más pacientes.

La presión arterial tiene $\sigma = 20$ mmHg. Con 25 pacientes el error típico es $20 / 5 = 4$ mmHg; con 100 pacientes es $20 / 10 = 2$ mmHg.

Un parámetro ($\mu$, $\sigma$, $p$) describe la población y es fijo; un estadístico ($\bar{x}$, $\hat{p}$) sale de una muestra y varía de una muestra a otra

La distribución muestral de $\bar{x}$ tiene media $\mu$ y error típico $\sigma / \sqrt{n}$

Teorema central del límite: con $n \geq 30$ (aproximadamente) la media muestral es aproximadamente normal sea cual sea la forma de la población; si la población es normal, para cualquier $n$

Para una probabilidad sobre una media muestral usa $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ y la tabla de la normal

La proporción muestral $\hat{p}$ tiene media $p$ y error típico $\sqrt{p(1-p)/n}$; es aproximadamente normal cuando $np \geq 10$ y $n(1-p) \geq 10$

Las muestras grandes dan estimaciones más precisas: multiplicar el tamaño por cuatro reduce el error típico a la mitad

Q: ¿Por qué el error típico usa $\sqrt{n}$ y no $n$?

A: La varianza de una media de $n$ valores independientes es $\sigma^2 / n$. El error típico es su raíz cuadrada: $\sqrt{\sigma^2 / n} = \sigma / \sqrt{n}$. Por eso necesitas cuatro veces más valores para reducir el error a la mitad.

Q: ¿Es 30 un número mágico?

A: No, es una regla práctica. Si la población ya es casi normal, bastan muestras mucho más pequeñas; si es muy asimétrica (como los ingresos), puede que necesites más de 30. Pruébalo en el simulador: la población asimétrica necesita un $n$ mayor que el dado.

Q: ¿Qué diferencia hay entre desviación estándar y error típico?

A: La desviación estándar $\sigma$ mide cuánto varían los valores sueltos. El error típico $\sigma / \sqrt{n}$ mide cuánto varía un estadístico, como la media muestral, de una muestra a otra. Para $n > 1$ el error típico siempre es menor.

Q: ¿Importa el tamaño de la población?

A: Casi nada, siempre que la muestra sea una parte pequeña de la población (menos de un 10 % aproximadamente). Una muestra aleatoria de 1000 personas es más o menos igual de precisa para una ciudad que para un país entero. Lo que importa es el tamaño de la muestra $n$.

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Distribuciones muestrales

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Distribuciones muestrales

Aprende cómo varían las medias y las proporciones muestrales de una muestra a otra, qué es el error típico y por qué el teorema central del límite las hace aproximadamente normales.

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