¿Es 30 un número mágico?

No, es una regla práctica. Si la población ya es casi normal, bastan muestras mucho más pequeñas; si es muy asimétrica (como los ingresos), puede que necesites más de 30. Pruébalo en el simulador: la población asimétrica necesita un $n$ mayor que el dado.

¿Qué diferencia hay entre desviación estándar y error típico?

La desviación estándar $\sigma$ mide cuánto varían los valores sueltos. El error típico $\sigma / \sqrt{n}$ mide cuánto varía un estadístico, como la media muestral, de una muestra a otra. Para $n > 1$ el error típico siempre es menor.

¿Importa el tamaño de la población?

Casi nada, siempre que la muestra sea una parte pequeña de la población (menos de un 10 % aproximadamente). Una muestra aleatoria de 1000 personas es más o menos igual de precisa para una ciudad que para un país entero. Lo que importa es el tamaño de la muestra $n$.

Recursos para profesores

Distribuciones muestrales

Q: ¿Por qué el error típico usa $\sqrt{n}$ y no $n$?

La varianza de una media de $n$ valores independientes es $\sigma^2 / n$. El error típico es su raíz cuadrada: $\sqrt{\sigma^2 / n} = \sigma / \sqrt{n}$. Por eso necesitas cuatro veces más valores para reducir el error a la mitad.

Aprende cómo varían las medias y las proporciones muestrales de una muestra a otra, qué es el error típico y por qué el teorema central del límite las hace aproximadamente normales.

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Definición

Un parámetro es un número que describe toda una población, por ejemplo la media poblacional

\mu

, la desviación estándar (o desviación típica) poblacional

\sigma

o la proporción poblacional

p

. Un estadístico es un número calculado a partir de una muestra, por ejemplo la media muestral

\bar{x}

o la proporción muestral

\hat{p}

. El parámetro es fijo (aunque normalmente desconocido); el estadístico cambia de una muestra a otra.

La distribución muestral de un estadístico es la distribución de sus valores en todas las muestras aleatorias posibles del mismo tamaño

n

Distribución muestral de la media $\bar{x}$

Centro: $\mu_{\bar{x}} = \mu$ (las medias muestrales se centran en la media poblacional)
Dispersión: $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ , llamada error típico (error estándar)
Forma (teorema central del límite): si la población es normal, $\bar{x}$ es normal para cualquier $n$ . Si no, $\bar{x}$ sigue siendo aproximadamente normal cuando $n$ es grande, normalmente con $n \geq 30$ .

Por eso, una probabilidad sobre una media muestral usa la puntuación z

z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}

Distribución muestral de la proporción $\hat{p}$

Centro: $\mu_{\hat{p}} = p$
Dispersión: $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$
Forma: aproximadamente normal cuando $np \geq 10$ y $n(1-p) \geq 10$

Estas fórmulas suponen una muestra aleatoria de valores independientes (en la práctica: la muestra es menos de un 10 % de la población, aproximadamente).

Pruébalo ahora

Una encuesta a 200 votantes elegidos al azar muestra que el 54 % apoya una nueva ley. En esta situación, el 54 % es...

Ejemplos resueltos

Un instituto tiene 1200 alumnos. Su estatura media es de 165 cm. Un proyecto de clase mide una muestra aleatoria de 50 alumnos y obtiene una estatura media de 163,2 cm. ¿Qué número es un parámetro y cuál es un estadístico?

Busca el número que describe toda la población

165 cm es la media de los 1200 alumnos → Parámetro:

\mu = 165

Busca el número que viene de la muestra

163,2 cm es la media de los 50 alumnos medidos → Estadístico:

\bar{x} = 163{,}2

Piensa en una segunda muestra

Otra muestra aleatoria de 50 alumnos daría una media algo distinta, por ejemplo 166,0 cm →

\bar{x}

varía,

\mu

es fijo

Respuesta: $\mu = 165$ cm es el parámetro, $\bar{x} = 163{,}2$ cm es un estadístico. El estadístico cambia de una muestra a otra, y eso es justo lo que describe una distribución muestral.

Errores comunes

Usar $\sigma$ en lugar de $\sigma / \sqrt{n}$ en una pregunta sobre una media muestral

Por qué está mal: $\sigma$ es la dispersión de los valores sueltos. Las medias varían mucho menos, así que con $\sigma$ las medias poco habituales parecen demasiado probables.

Correcto: Para $\bar{x}$ divide siempre entre el error típico: $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ . Para un solo valor, $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$ .

Dividir entre $n$ en lugar de entre $\sqrt{n}$

Por qué está mal: Con $\sigma = 12$ y $n = 36$ , dividir entre $n$ da $0{,}33$ en lugar del error típico correcto $2$ , así que cada puntuación z sale 6 veces más grande.

Correcto: Calcula primero la raíz cuadrada de $n$ : $\dfrac{12}{\sqrt{36}} = \dfrac{12}{6} = 2$ .

Creer que el teorema central del límite hace normal la población o los datos

Por qué está mal: Una muestra grande de una población asimétrica sigue siendo asimétrica: su histograma se parece a la población. Solo la distribución de las MEDIAS muestrales se vuelve normal.

Correcto: El teorema central del límite trata de la distribución muestral de $\bar{x}$ , no de los valores individuales.

Usar el modelo normal para $\hat{p}$ sin comprobar $np \geq 10$ y $n(1-p) \geq 10$

Por qué está mal: Con $p = 0{,}05$ y $n = 40$ tenemos $np = 2$ : la mayoría de las muestras tienen 0, 1, 2 o 3 éxitos, y la distribución de $\hat{p}$ es muy asimétrica.

Correcto: Comprueba primero las dos condiciones. Si una falla, toma una muestra más grande o usa la distribución binomial.

Visual interactivo

Teorema central del límite: medias muestrales de una población asimétrica

Tamaño de muestra n

Media de la población: μ = 2,6
Media de las medias muestrales: ?
Desviación típica de las medias muestrales: ?
Error estándar: σ/√n = 2,285/√1 ≈ 2,285

Prueba primero n = 1 y luego un n mayor: las medias se agrupan más cerca de μ, su desviación típica se reduce como σ/√n y la forma se vuelve normal aunque la población no lo sea.

Media de n tiradas de dado (μ = 3,5, σ ≈ 1,71)

Tamaño de muestra n

Media de la población: μ = 3,5
Media de las medias muestrales: ?
Desviación típica de las medias muestrales: ?
Error estándar: σ/√n = 1,708/√2 ≈ 1,208

Prueba primero n = 1 y luego un n mayor: las medias se agrupan más cerca de μ, su desviación típica se reduce como σ/√n y la forma se vuelve normal aunque la población no lo sea.

Encuesta: proporción muestral con p = 0,4

Tamaño de muestra n

Proporción de la población: p = 0,4
Media de las proporciones muestrales: ?
Desviación típica de las proporciones muestrales: ?
Error estándar: √(p(1 − p)/n) = √(0,4 · 0,6/100) ≈ 0,049

Prueba un n pequeño y luego uno mayor: las proporciones se agrupan más cerca de p, su desviación típica se reduce como √(p(1 − p)/n) y la forma se vuelve normal.

P(x̄ < 47) con μ = 50, σ = 12, n = 36 (error típico 2)

μ = 50 h, σ = 2 h · Arrastra un control o escribe x o z.

z = (x − μ)/σ = (47 − 50)/2 = -1,5

P(X ≤ 47) = P(Z ≤ -1,5) ≈ 0,0668 = 6,68 %

Aproximadamente el 6,68 % de los valores cae en la región sombreada.

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Problemas de práctica

18 problemas

Problema 1 de 18

Fácil

Una encuesta a 200 votantes elegidos al azar muestra que el 54 % apoya una nueva ley. En esta situación, el 54 % es...

Problemas de práctica: Distribuciones muestrales

1. Una encuesta a 200 votantes elegidos al azar muestra que el 54 % apoya una nueva ley. En esta situación, el 54 % es...
2. Una población tiene desviación estándar \sigma = 18. ¿Cuál es el error típico de la media muestral para muestras de tamaño n = 36?
3. Una población tiene media \mu = 40 y desviación estándar \sigma = 8. ¿Cuál es la media de la distribución muestral de \bar{x} para muestras de tamaño n = 25?
4. Los tornillos de una máquina tienen una longitud media \mu = 50 mm y \sigma = 2 mm. Un operario mide muestras aleatorias de 16 tornillos. Halla la media y el error típico de \bar{x}.
5. Las puntuaciones de CI tienen \mu = 100 y \sigma = 10 en un grupo de prueba. ¿Cuál es el error típico del CI medio de muestras aleatorias de n = 100 personas?
6. El 20 % de las aplicaciones de una tienda son juegos (p = 0{,}2). Tomas muestras aleatorias de n = 100 aplicaciones. Comprueba las condiciones y halla el error típico de \hat{p}.
7. Los precios de las viviendas de una región tienen una fuerte asimetría a la derecha. ¿Con qué tamaño de muestra la distribución muestral del precio medio se parece más a una normal?
8. Una población tiene \mu = 80 y \sigma = 12. Una muestra aleatoria de n = 16 tiene media \bar{x} = 86. ¿Cuál es la puntuación z de esta media muestral?
9. Una población tiene \sigma = 20. Compara el error típico de \bar{x} para n = 25 y para n = 100.
10. Una moneda es justa (p = 0{,}5). La lanzas n = 100 veces y anotas la proporción de caras \hat{p}. ¿Cuál es el error típico de \hat{p}?
11. Las notas de un examen siguen una distribución normal con \mu = 70 y \sigma = 15. Para una clase aleatoria de n = 25 alumnos, halla P(\bar{x} < 67). Usa P(Z < -1) = 0{,}1587.
12. Las baterías de un móvil duran \mu = 50 horas con \sigma = 12 horas. Para una muestra aleatoria de n = 36 baterías, halla P(\bar{x} > 54). Usa P(Z < 2) = 0{,}9772 y da el resultado como número decimal.
13. Alrededor del 5 % de las bombillas de una fábrica son defectuosas (p = 0{,}05). Una inspectora toma muestras aleatorias de n = 120 bombillas. ¿Puede usar el modelo normal para \hat{p}? Si no, ¿qué tamaño debe tener n?
14. El peso de las manzanas sigue una distribución normal con \mu = 180 g y \sigma = 20 g. Halla la probabilidad de que UNA manzana pese más de 185 g, y de que la media de una bolsa de 16 manzanas supere los 185 g. Usa P(Z < 0{,}25) = 0{,}5987 y P(Z < 1) = 0{,}8413.
15. ¿Qué afirmación sobre el teorema central del límite es correcta?
16. Los tiempos de entrega tienen \sigma = 15 minutos. Una empresa quiere que el error típico del tiempo medio de entrega sea de 1,5 minutos. ¿Cuántas entregas debe registrar? ¿Y para un error típico de 0,75 minutos?
17. El 40 % de los hogares de una ciudad tiene mascota (p = 0{,}4). Para una muestra aleatoria de n = 150 hogares, halla P(\hat{p} > 0{,}46). Usa P(Z < 1{,}5) = 0{,}9332 y da el resultado como número decimal.
18. Las lámparas LED duran \mu = 1000 horas con \sigma = 80 horas. Para una muestra aleatoria de n = 64 lámparas, halla P(990 < \bar{x} < 1020). Usa P(Z < -1) = 0{,}1587 y P(Z < 2) = 0{,}9772.

Por qué es importante

Casi todos los números de encuestas que salen en las noticias son estadísticos, no parámetros:

Encuestas electorales: una encuesta a 1000 votantes estima la proporción entre todos los votantes. El error típico te dice a qué distancia de la verdad es probable que esté la encuesta.
Control de calidad: una fábrica comprueba el peso medio de una muestra de paquetes en lugar de pesar cada paquete.
Medicina: un ensayo clínico mide el efecto medio en unos cientos de pacientes y saca conclusiones para todos.
Ciencia: hacer la media de mediciones repetidas reduce el error aleatorio.

La idea clave: el error típico

\sigma / \sqrt{n}

disminuye cuando la muestra crece. Cuatro veces más personas reducen el error a la mitad; por eso las encuestas grandes son más precisas. Además, el teorema central del límite te permite usar la distribución normal, las puntuaciones z y la tabla de la normal que ya conoces, incluso cuando la población no es normal.

Aplicaciones del mundo real

Encuestas electorales

Las empresas de sondeos preguntan a unas 1000 personas y publican un margen de error. Ese margen sale directamente del error típico de $\hat{p}$.

Ejemplo:

Si el apoyo real es $p = 0{,}5$ , una encuesta a 1000 personas tiene error típico $\sqrt{0{,}5 \cdot 0{,}5 / 1000} \approx 0{,}016$ , así que cerca del 95 % de esas encuestas quedan a unos 3 puntos porcentuales de la verdad como mucho.

1Inténtalo tú mismo

Una encuesta más pequeña pregunta a $n = 400$ votantes elegidos al azar. El apoyo real a una candidata es $p = 0{,}5$ .

¿Cuál es el error típico de la proporción muestral $\hat{p}$ ?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$ :

Control de calidad en una cafetería

Las máquinas que llenan vasos se vigilan con la media de muestras pequeñas. Una media demasiado lejos del objetivo, medida en errores típicos, hace saltar una alarma.

Ejemplo:

Una máquina llena vasos con $\mu = 250$ mL y $\sigma = 8$ mL. Un inspector mide 16 vasos, así que el error típico es $8 / \sqrt{16} = 2$ mL.

2Inténtalo tú mismo

Los 16 vasos tienen una media de $\bar{x} = 246$ mL. La máquina está ajustada a $\mu = 250$ mL con $\sigma = 8$ mL.

¿Cuál es la puntuación z de esta media muestral?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ :

Planificar un estudio médico

Antes de empezar un estudio, los investigadores eligen el tamaño de la muestra para que el error típico sea lo bastante pequeño. Por la raíz cuadrada, reducir el error a la mitad exige cuatro veces más pacientes.

Ejemplo:

La presión arterial tiene $\sigma = 20$ mmHg. Con 25 pacientes el error típico es $20 / 5 = 4$ mmHg; con 100 pacientes es $20 / 10 = 2$ mmHg.

3Inténtalo tú mismo

Unos investigadores quieren que el error típico de la presión media sea de 2 mmHg. La desviación estándar poblacional es $\sigma = 20$ mmHg.

¿Cuántos pacientes necesitan?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

De $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2$ se obtiene $n = \left(\dfrac{\sigma}{2}\right)^2$ :

Puntos clave

1Un parámetro ( $\mu$ , $\sigma$ , $p$ ) describe la población y es fijo; un estadístico ( $\bar{x}$ , $\hat{p}$ ) sale de una muestra y varía de una muestra a otra
2La distribución muestral de $\bar{x}$ tiene media $\mu$ y error típico $\sigma / \sqrt{n}$
3Teorema central del límite: con $n \geq 30$ (aproximadamente) la media muestral es aproximadamente normal sea cual sea la forma de la población; si la población es normal, para cualquier $n$
4Para una probabilidad sobre una media muestral usa $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ y la tabla de la normal
5La proporción muestral $\hat{p}$ tiene media $p$ y error típico $\sqrt{p(1-p)/n}$ ; es aproximadamente normal cuando $np \geq 10$ y $n(1-p) \geq 10$
6Las muestras grandes dan estimaciones más precisas: multiplicar el tamaño por cuatro reduce el error típico a la mitad

Preguntas frecuentes

La varianza de una media de

n

valores independientes es

\sigma^2 / n

. El error típico es su raíz cuadrada:

\sqrt{\sigma^2 / n} = \sigma / \sqrt{n}

. Por eso necesitas cuatro veces más valores para reducir el error a la mitad.

Glosario

Parámetro: Número que describe toda una población, como $\mu$ , $\sigma$ o $p$ ; normalmente desconocido
Estadístico: Número calculado a partir de una muestra, como $\bar{x}$ o $\hat{p}$ ; cambia de una muestra a otra
Distribución muestral: Distribución de un estadístico en todas las muestras aleatorias posibles del mismo tamaño $n$
Error típico: Desviación estándar de una distribución muestral, por ejemplo $\sigma / \sqrt{n}$ para la media muestral
Teorema central del límite: Para $n$ grande la distribución muestral de la media es aproximadamente normal, sea cual sea la forma de la población
Proporción muestral: Fracción de éxitos en una muestra, $\hat{p} = \dfrac{\text{número de éxitos}}{n}$

Tarjeta de fórmulas

Media de la media muestral

\mu_{\bar{x}} = \mu

Las medias muestrales se centran en la media poblacional

Error típico de la media

\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}

Dispersión de las medias muestrales; disminuye cuando $n$ crece

Puntuación z de una media muestral

z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}

Úsala con la tabla de la normal cuando $n \geq 30$ o la población es normal

Error típico de una proporción

\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}

Modelo normal si $np \geq 10$ y $n(1-p) \geq 10$

Reto de hoyUn problema, tres intentos

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Definición

Distribución muestral de la media xˉ\bar{x}xˉ

Distribución muestral de la proporción p^\hat{p}p^​

Ejemplos resueltos

Errores comunes

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Teorema central del límite: medias muestrales de una población asimétrica

Media de n tiradas de dado (μ = 3,5, σ ≈ 1,71)

Encuesta: proporción muestral con p = 0,4

P(x̄ < 47) con μ = 50, σ = 12, n = 36 (error típico 2)

Sandbox interactivo

Calculadora de expresiones

Historial

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Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Encuestas electorales

Control de calidad en una cafetería

Planificar un estudio médico

Puntos clave

Preguntas frecuentes

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Tarjeta de fórmulas

Media de la media muestral

Error típico de la media

Puntuación z de una media muestral

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