Leer la tabla z

Halla $P(Z \le 1{,}23)$ para la variable normal estándar $Z$.

Divide $z$ en fila y columna: $1{,}23 = 1{,}2 + 0{,}03$ = Fila $1{,}2$, columna $0{,}03$

Lee el valor donde se cruzan la fila y la columna: Fila $1{,}2$, columna $0{,}03$: $0{,}8907$ = $\Phi(1{,}23) = 0{,}8907$

Comprueba que tiene sentido: $z = 1{,}23$ es un poco mayor que 1, y $\Phi(1) = 0{,}8413$ = Un valor algo mayor que $0{,}8413$ es razonable

Answer: $P(Z \le 1{,}23) = 0{,}8907$, es decir, cerca del 89,07 % del área está a la izquierda de $z = 1{,}23$.

Área a la derecha

Halla $P(Z > 1{,}5)$.

Lee el área a la izquierda en la tabla: Fila $1{,}5$, columna $0{,}00$ = $\Phi(1{,}5) = 0{,}9332$

Réstala del área total 1: $P(Z > 1{,}5) = 1 - 0{,}9332$ = $0{,}0668$

Comprueba con la regla 68-95-99,7: A la derecha de $z = 1$ queda el 16 %, a la derecha de $z = 2$ el 2,5 % = $0{,}0668$ (6,68 %) está entre ambos

Answer: $P(Z > 1{,}5) = 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668$

Un z negativo y la simetría

Halla $P(Z < -0{,}75)$ usando solo la parte positiva de la tabla: $\Phi(0{,}75) = 0{,}7734$.

Usa la simetría: la cola izquierda en $-0{,}75$ es igual a la cola derecha en $0{,}75$: $P(Z < -0{,}75) = P(Z > 0{,}75)$ = $\Phi(-0{,}75) = 1 - \Phi(0{,}75)$

Resta de 1 el valor de la tabla: $1 - 0{,}7734$ = $0{,}2266$

Comprueba el tamaño: $-0{,}75$ está a la izquierda de la media, así que el área debe ser menor que $0{,}5$ = $0{,}2266 < 0{,}5$, encaja

Answer: $P(Z < -0{,}75) = 1 - 0{,}7734 = 0{,}2266$

Área entre dos valores de z

Halla $P(-1 < Z < 2)$. Tabla: $\Phi(1) = 0{,}8413$, $\Phi(2) = 0{,}9772$.

Área a la izquierda hasta el límite superior: $\Phi(2)$ = $0{,}9772$

Área a la izquierda hasta el límite inferior (simetría): $\Phi(-1) = 1 - 0{,}8413$ = $0{,}1587$

Resta las dos áreas: $0{,}9772 - 0{,}1587$ = $0{,}8185$

Comprueba con la regla 68-95-99,7: De $-1$ a $0$: 34 %, de $0$ a $2$: 47,5 % = $34\,\% + 47{,}5\,\% = 81{,}5\,\%$, cerca de $0{,}8185$

Answer: $P(-1 < Z < 2) = 0{,}9772 - 0{,}1587 = 0{,}8185$

Tipificar cualquier variable normal

$X$ es normal con $\mu = 50$ y $\sigma = 8$. Halla $P(X < 60)$. Tabla: $\Phi(1{,}25) = 0{,}8944$.

Tipifica el límite: $z = \frac{60 - 50}{8} = \frac{10}{8}$ = $z = 1{,}25$

Reescribe la pregunta con $Z$: $P(X < 60) = P(Z < 1{,}25)$ = Un área a la izquierda

Lee la tabla: Fila $1{,}2$, columna $0{,}05$ = $0{,}8944$

Comprueba con la regla 68-95-99,7: $\Phi(1) \approx 0{,}84$ y $\Phi(2) \approx 0{,}975$ = $0{,}8944$ está entre ambos

Answer: $P(X < 60) = P(Z < 1{,}25) = 0{,}8944$

Mistake: Usar el valor de la tabla como área a la derecha: decir $P(Z > 1{,}5) = 0{,}9332$

Why: La tabla z siempre da el área a la IZQUIERDA de $z$. Un área de $0{,}9332$ a la derecha de un $z$ positivo es imposible, porque más de la mitad de la curva quedaría a su derecha.

Correct: Para un área a la derecha resta de 1: $P(Z > 1{,}5) = 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668$.

Mistake: Pensar que un $z$ negativo da un área negativa o la misma área: $\Phi(-0{,}75) = -0{,}7734$ o $0{,}7734$

Why: Las áreas nunca son negativas. Un $z$ negativo está a la izquierda de la media, así que el área a su izquierda es menor que $0{,}5$.

Correct: Usa la simetría: $\Phi(-0{,}75) = 1 - \Phi(0{,}75) = 1 - 0{,}7734 = 0{,}2266$.

Mistake: Restar los valores de z en lugar de las áreas: $P(-1 < Z < 2) = \Phi(2 - (-1)) = \Phi(3)$

Why: La tabla convierte valores de z en áreas. El área entre dos puntos es la diferencia de las dos áreas a la izquierda, no el área de la diferencia.

Correct: $P(-1 < Z < 2) = \Phi(2) - \Phi(-1) = 0{,}9772 - 0{,}1587 = 0{,}8185$.

Mistake: Buscar el valor original en la tabla z: leer $P(X < 60)$ en la fila 60

Why: La tabla solo sirve para $Z$, con media 0 y desviación estándar 1. Un valor original hay que tipificarlo primero.

Correct: Calcula primero $z = \frac{60 - 50}{8} = 1{,}25$ y luego lee $\Phi(1{,}25) = 0{,}8944$.

Control de calidad

Las fábricas tipifican cada medida y descartan las piezas que quedan demasiado lejos del valor objetivo, por ejemplo a más de 2 desviaciones estándar.

Una pieza con $z = -2{,}3$ está 2,3 desviaciones estándar por debajo de la longitud objetivo, así que se descarta.

Notas de exámenes estandarizados

Algunos exámenes dan los resultados directamente como puntuaciones z, para que cada estudiante vea enseguida cuánto se aleja de la media.

Una puntuación de $z = 0$ es justo la media; $z = 1$ está una desviación estándar por encima de la media.

Errores de la previsión del tiempo

Los meteorólogos comprueban cuánto fallan sus previsiones de temperatura. En una previsión bien calibrada, el error en °C puede seguir la distribución normal estándar: media 0, desviación estándar 1.

Un error de $-1{,}2$ °C significa que la temperatura real fue 1,2 grados más baja de lo previsto.

Q: ¿Por qué una sola tabla sirve para todas las distribuciones normales?

A: Al tipificar, la media se desplaza a 0 y la dispersión se reescala a 1. La forma no cambia, así que el área a la izquierda de $x$ en una distribución normal con media $\mu$ y desviación estándar $\sigma$ es igual al área a la izquierda de $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ en $N(0, 1)$.

Q: Mi tabla no tiene valores de z negativos. ¿Qué hago?

A: Usa la simetría: $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$. Por ejemplo, $\Phi(-1{,}2) = 1 - 0{,}8849 = 0{,}1151$. Muchos libros imprimen una segunda tabla para $z$ negativos; las dos dan los mismos números.

Q: ¿Hay diferencia entre $P(Z < z)$ y $P(Z \le z)$?

A: No. $Z$ es continua, así que la probabilidad de caer justo en un valor es 0. Las dos se leen en la misma casilla de la tabla.

Q: ¿Y si mi $z$ es mayor que lo que trae la tabla, como $z = 4$?

A: La mayoría de las tablas terminan cerca de $3{,}49$, donde $\Phi$ ya vale $0{,}9998$. Más allá, el área a la izquierda es prácticamente 1 y la cola derecha prácticamente 0.