Distribución normal estándar

Aprende la distribución normal estándar N(0, 1), cómo tipificar cualquier variable normal y cómo leer la tabla de la normal para áreas a la izquierda, a la derecha y entre dos valores.

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Definición

La distribución normal estándar (o normal tipificada) es la distribución normal con media μ=0\mu = 0 y desviación estándar (o desviación típica) σ=1\sigma = 1. Se escribe N(0,1)N(0, 1) y su variable se llama ZZ.

Tipificar

Toda variable normal XX con media μ\mu y desviación estándar σ\sigma se convierte en la normal estándar cuando la tipificas:
Z=X−μσZ = \frac{X - \mu}{\sigma}
Por eso basta una sola tabla para todas las distribuciones normales: primero calculas zz y luego lees el área.

La tabla z

La tabla de la normal (tabla z) da el área acumulada a la izquierda de zz:
Φ(z)=P(Z≤z)\Phi(z) = P(Z \le z)
La fila da zz con un decimal (por ejemplo 1,21{,}2) y la columna da el segundo decimal (por ejemplo 0,030{,}03). Donde se cruzan lees Φ(1,23)=0,8907\Phi(1{,}23) = 0{,}8907.

Tres reglas para cualquier área

  • **A la izquierda de zz**: se lee directamente, P(Z<z)=Φ(z)P(Z < z) = \Phi(z)
  • **A la derecha de zz**: el área total es 1, así que P(Z>z)=1−Φ(z)P(Z > z) = 1 - \Phi(z)
  • **Entre aa y bb**: P(a<Z<b)=Φ(b)−Φ(a)P(a < Z < b) = \Phi(b) - \Phi(a)
La curva es simétrica respecto a 0, por tanto Φ(−z)=1−Φ(z)\Phi(-z) = 1 - \Phi(z). En una variable continua, P(Z<z)P(Z < z) y P(Z≤z)P(Z \le z) son el mismo número.

Pruébalo ahora

¿Qué media y qué desviación estándar tiene la distribución normal estándar N(0,1)N(0, 1)?

Ejemplos resueltos

Halla P(Z≤1,23)P(Z \le 1{,}23) para la variable normal estándar ZZ.
1

Divide zz en fila y columna

1,23=1,2+0,031{,}23 = 1{,}2 + 0{,}03 → Fila 1,21{,}2, columna 0,030{,}03
2

Lee el valor donde se cruzan la fila y la columna

Fila 1,21{,}2, columna 0,030{,}03: 0,89070{,}8907 → Φ(1,23)=0,8907\Phi(1{,}23) = 0{,}8907
3

Comprueba que tiene sentido

z=1,23z = 1{,}23 es un poco mayor que 1, y Φ(1)=0,8413\Phi(1) = 0{,}8413 → Un valor algo mayor que 0,84130{,}8413 es razonable

Errores comunes

Usar el valor de la tabla como área a la derecha: decir P(Z>1,5)=0,9332P(Z > 1{,}5) = 0{,}9332

Por qué está mal: La tabla z siempre da el área a la IZQUIERDA de zz. Un área de 0,93320{,}9332 a la derecha de un zz positivo es imposible, porque más de la mitad de la curva quedaría a su derecha.

Correcto: Para un área a la derecha resta de 1: P(Z>1,5)=1−0,9332=0,0668P(Z > 1{,}5) = 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668.

Pensar que un zz negativo da un área negativa o la misma área: Φ(−0,75)=−0,7734\Phi(-0{,}75) = -0{,}7734 o 0,77340{,}7734

Por qué está mal: Las áreas nunca son negativas. Un zz negativo está a la izquierda de la media, así que el área a su izquierda es menor que 0,50{,}5.

Correcto: Usa la simetría: Φ(−0,75)=1−Φ(0,75)=1−0,7734=0,2266\Phi(-0{,}75) = 1 - \Phi(0{,}75) = 1 - 0{,}7734 = 0{,}2266.

Restar los valores de z en lugar de las áreas: P(−1<Z<2)=Φ(2−(−1))=Φ(3)P(-1 < Z < 2) = \Phi(2 - (-1)) = \Phi(3)

Por qué está mal: La tabla convierte valores de z en áreas. El área entre dos puntos es la diferencia de las dos áreas a la izquierda, no el área de la diferencia.

Correcto: P(−1<Z<2)=Φ(2)−Φ(−1)=0,9772−0,1587=0,8185P(-1 < Z < 2) = \Phi(2) - \Phi(-1) = 0{,}9772 - 0{,}1587 = 0{,}8185.

Buscar el valor original en la tabla z: leer P(X<60)P(X < 60) en la fila 60

Por qué está mal: La tabla solo sirve para ZZ, con media 0 y desviación estándar 1. Un valor original hay que tipificarlo primero.

Correcto: Calcula primero z=60−508=1,25z = \frac{60 - 50}{8} = 1{,}25 y luego lee Φ(1,25)=0,8944\Phi(1{,}25) = 0{,}8944.

Visual interactivo

Lee la tabla de la normal: mueve z y observa la fila y la columna

z = 1,23z-3-2-10123

μ = 0, σ = 1 · Arrastra un control o escribe x o z.

P(Z ≤ 1,23) ≈ 0,8907 = 89,07 %

Aproximadamente el 89,07 % de los valores cae en la región sombreada.

Tabla z: P(Z ≤ z)

z0,010,020,030,040,05
1,00,84380,84610,84850,85080,8531
1,10,86650,86860,87080,87290,8749
1,20,88690,88880,89070,89250,8944
1,30,90490,90660,90820,90990,9115
1,40,92070,92220,92360,92510,9265

La fila 1,2 y la columna 0,03 dan z = 1,23, así que P(Z ≤ 1,23) = 0,8907.

Arrastra un control: la fila y la columna resaltadas siguen a z.

Normal estándar: áreas entre dos valores de z y la comprobación 68-95-99,7

34,1 %34,1 %13,6 %13,6 %2,1 %2,1 %z = -1z = 2z-3-2-10123

μ = 0, σ = 1 · Arrastra un control o escribe x o z.

P(-1 ≤ Z ≤ 2) ≈ 0,8186 = 81,86 %

Aproximadamente el 81,86 % de los valores cae en la región sombreada.

Tipificar: X con media 50 y desviación estándar 8, debajo el eje z

60 · z = 1,25xz26-334-242-1500581662743X

μ = 50, σ = 8 · Arrastra un control o escribe x o z.

z = (x − μ)/σ = (60 − 50)/8 = 1,25

P(X ≤ 60) = P(Z ≤ 1,25) ≈ 0,8944 = 89,44 %

Aproximadamente el 89,44 % de los valores cae en la región sombreada.

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¿Qué media y qué desviación estándar tiene la distribución normal estándar N(0,1)N(0, 1)?

Por qué es importante

La normal estándar es la única curva a la que se reduce cualquier problema de la distribución normal:
  • Una tabla para todo: estaturas, notas de exámenes, tiempos de reacción y errores de medida tienen medias y dispersiones distintas, pero una vez tipificadas usan todas la misma tabla
  • Valores exactos en lugar de estimaciones: la regla 68-95-99,7 solo sirve para desviaciones estándar enteras; la tabla da el área para cualquier zz, como z=1,23z = 1{,}23
  • Estadística y ciencia: los intervalos de confianza, los contrastes de hipótesis y los límites de tolerancia (como ±1,96\pm 1{,}96 o ±3\pm 3) se leen todos de la normal estándar
  • Una comprobación incorporada: si un resultado de la tabla está lejos de 68 %, 95 % o 99,7 % cuando debería estar cerca, sabes que algún paso está mal
En cuanto sepas leer la tabla z y usar las tres reglas de áreas, cualquier problema de la normal se vuelve una rutina corta.

Aplicaciones del mundo real

Control de calidad

Las fábricas tipifican cada medida y descartan las piezas que quedan demasiado lejos del valor objetivo, por ejemplo a más de 2 desviaciones estándar.

Ejemplo:

Una pieza con z=−2,3z = -2{,}3 está 2,3 desviaciones estándar por debajo de la longitud objetivo, así que se descarta.

1Inténtalo tú mismo

Los errores de una máquina, una vez tipificados, siguen la distribución normal estándar. Una pieza se descarta si Z<−2Z < -2 o Z>2Z > 2. Tabla: Φ(2)=0,9772\Phi(2) = 0{,}9772.

¿Qué proporción de piezas se descarta? Da un número decimal.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Dos colas iguales: 2×(1−0,9772)2 \times (1 - 0{,}9772)

Notas de exámenes estandarizados

Algunos exámenes dan los resultados directamente como puntuaciones z, para que cada estudiante vea enseguida cuánto se aleja de la media.

Ejemplo:

Una puntuación de z=0z = 0 es justo la media; z=1z = 1 está una desviación estándar por encima de la media.

2Inténtalo tú mismo

Los resultados de un examen se dan como puntuaciones z y siguen la distribución normal estándar. Tabla: Φ(0,5)=0,6915\Phi(0{,}5) = 0{,}6915.

¿Qué proporción de estudiantes tiene una puntuación z mayor que 0,50{,}5?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Área a la derecha: 1−Φ(0,5)1 - \Phi(0{,}5)

Errores de la previsión del tiempo

Los meteorólogos comprueban cuánto fallan sus previsiones de temperatura. En una previsión bien calibrada, el error en °C puede seguir la distribución normal estándar: media 0, desviación estándar 1.

Ejemplo:

Un error de −1,2-1{,}2 °C significa que la temperatura real fue 1,2 grados más baja de lo previsto.

3Inténtalo tú mismo

Los errores de la previsión para el día siguiente (en °C) siguen la distribución normal estándar. Tabla: Φ(1,5)=0,9332\Phi(1{,}5) = 0{,}9332.

¿Cuál es la probabilidad de que una previsión falle por menos de 1,5 °C, es decir, −1,5<Z<1,5-1{,}5 < Z < 1{,}5?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Entre: Φ(1,5)−Φ(−1,5)\Phi(1{,}5) - \Phi(-1{,}5)

Puntos clave

  • 1La distribución normal estándar N(0,1)N(0, 1) tiene media 0 y desviación estándar 1; su variable se llama ZZ
  • 2Tipifica cualquier valor normal con z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma} y usa después la única tabla z
  • 3La tabla z da el área a la IZQUIERDA: Φ(z)=P(Z≤z)\Phi(z) = P(Z \le z); fila = primer decimal, columna = segundo decimal
  • 4Área a la derecha: P(Z>z)=1−Φ(z)P(Z > z) = 1 - \Phi(z); entre: P(a<Z<b)=Φ(b)−Φ(a)P(a < Z < b) = \Phi(b) - \Phi(a)
  • 5Simetría: Φ(−z)=1−Φ(z)\Phi(-z) = 1 - \Phi(z) y Φ(0)=0,5\Phi(0) = 0{,}5
  • 6Comprueba cada resultado con la regla 68-95-99,7: por ejemplo Φ(1)−Φ(−1)=0,6826≈68 %\Phi(1) - \Phi(-1) = 0{,}6826 \approx 68\,\%

Preguntas frecuentes

Al tipificar, la media se desplaza a 0 y la dispersión se reescala a 1. La forma no cambia, así que el área a la izquierda de xx en una distribución normal con media μ\mu y desviación estándar σ\sigma es igual al área a la izquierda de z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma} en N(0,1)N(0, 1).
Al tipificar, la media se desplaza a 0 y la dispersión se reescala a 1. La forma no cambia, así que el área a la izquierda de xx en una distribución normal con media μ\mu y desviación estándar σ\sigma es igual al área a la izquierda de z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma} en N(0,1)N(0, 1).
Usa la simetría: Φ(−z)=1−Φ(z)\Phi(-z) = 1 - \Phi(z). Por ejemplo, Φ(−1,2)=1−0,8849=0,1151\Phi(-1{,}2) = 1 - 0{,}8849 = 0{,}1151. Muchos libros imprimen una segunda tabla para zz negativos; las dos dan los mismos números.
No. ZZ es continua, así que la probabilidad de caer justo en un valor es 0. Las dos se leen en la misma casilla de la tabla.
La mayoría de las tablas terminan cerca de 3,493{,}49, donde Φ\Phi ya vale 0,99980{,}9998. Más allá, el área a la izquierda es prácticamente 1 y la cola derecha prácticamente 0.

Glosario

Distribución normal estándar
La distribución normal con media 0 y desviación estándar 1, escrita N(0,1)N(0, 1); también se llama normal tipificada
Tipificar
Convertir un valor xx en z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}, el número de desviaciones estándar desde la media
Tabla z
Tabla de la normal con las áreas acumuladas Φ(z)=P(Z≤z)\Phi(z) = P(Z \le z) a la izquierda de cada zz
Área acumulada Φ(z)\Phi(z)
El área bajo la curva normal estándar a la izquierda de zz; es igual a la probabilidad P(Z≤z)P(Z \le z)
Cola
El área en un extremo de la curva, por ejemplo a la derecha de z=2z = 2

Tarjeta de fórmulas

Tipificar

z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}

Convierte cualquier valor normal en un valor de $Z$

Área a la izquierda

P(Z<z)=Φ(z)P(Z < z) = \Phi(z)

Se lee directamente en la tabla z

Área a la derecha

P(Z>z)=1−Φ(z)P(Z > z) = 1 - \Phi(z)

El área total bajo la curva es 1

Entre dos valores

P(a<Z<b)=Φ(b)−Φ(a)P(a < Z < b) = \Phi(b) - \Phi(a)

Área izquierda mayor menos área izquierda menor

Simetría

Φ(−z)=1−Φ(z)\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)

Para valores de z negativos

Reto de hoyUn problema, tres intentos

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