Calcular una puntuación z

En un examen de matemáticas, las notas tienen media $\mu = 74$ puntos y desviación estándar $\sigma = 6$ puntos. Mia sacó $82$. ¿Cuál es su puntuación z?

Escribe la fórmula: $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ = $x = 82$, $\mu = 74$, $\sigma = 6$

Resta la media (distancia a la media): $82 - 74 = 8$ = Mia está 8 puntos por encima de la media

Divide entre la desviación estándar: $z = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \approx 1{,}33$ = $z \approx 1{,}33$

Answer: $z \approx 1{,}33$: Mia está unas 1,33 desviaciones estándar por encima de la media de la clase.

Una puntuación z negativa

En un instituto, la estatura de los alumnos de 15 años tiene $\mu = 170$ cm y $\sigma = 8$ cm. Tom mide $158$ cm. Halla su puntuación z y explica qué significa.

Resta la media: $158 - 170 = -12$ = Tom está 12 cm por debajo de la media

Divide entre la desviación estándar: $z = \frac{-12}{8} = -1{,}5$ = $z = -1{,}5$

Interpreta el signo y el tamaño: Signo negativo: por debajo de la media. Tamaño $1{,}5$: una desviación estándar y media = 1,5 desviaciones estándar por debajo de la media

Answer: $z = -1{,}5$: Tom mide 1,5 desviaciones estándar menos que la media. Una puntuación z negativa no es mala, solo significa por debajo de la media.

De una puntuación z al valor

Las notas de un examen tienen $\mu = 64$ y $\sigma = 8$. La calificación más alta se da a todos los que tienen $z \ge 1{,}5$. ¿Cuál es la nota mínima para obtenerla?

Despeja x en la fórmula: $z = \frac{x - \mu}{\sigma} \Rightarrow x = \mu + z\sigma$ = $x = \mu + z\sigma$

Calcula cuánto supera a la media: $z\sigma = 1{,}5 \times 8 = 12$ = 12 puntos por encima de la media

Súmalo a la media: $x = 64 + 12 = 76$ = $x = 76$

Answer: Con $76$ puntos o más se obtiene la calificación más alta.

¿Quién lo hizo relativamente mejor?

Mia sacó $82$ en un examen de matemáticas ($\mu = 74$, $\sigma = 6$). Leo sacó $88$ en un examen de física de otra clase ($\mu = 80$, $\sigma = 8$). Leo tiene más puntos. ¿Quién lo hizo mejor en comparación con su propia clase?

Halla la puntuación z de Mia: $z_{Mia} = \frac{82 - 74}{6} = \frac{8}{6} \approx 1{,}33$ = $z_{Mia} \approx 1{,}33$

Halla la puntuación z de Leo: $z_{Leo} = \frac{88 - 80}{8} = \frac{8}{8} = 1$ = $z_{Leo} = 1$

Compara las puntuaciones z: $1{,}33 > 1$ = Mia destaca más en su clase

Answer: Mia lo hizo relativamente mejor. Los dos estaban 8 puntos por encima de su media, pero en la clase de Mia las notas estaban menos dispersas, así que sus 8 puntos equivalen a más desviaciones estándar.

¿Es un valor inusual?

El peso de los recién nacidos sigue aproximadamente una distribución normal con $\mu = 3{,}4$ kg y $\sigma = 0{,}5$ kg. Un bebé pesa $2{,}2$ kg. ¿Es un peso inusual? Halla también el intervalo de pesos habituales (a menos de 2 desviaciones estándar).

Calcula la puntuación z: $z = \frac{2{,}2 - 3{,}4}{0{,}5} = \frac{-1{,}2}{0{,}5} = -2{,}4$ = $z = -2{,}4$

Compara con la regla práctica $|z| > 2$: $|-2{,}4| = 2{,}4 > 2$ = Inusual (inusualmente ligero)

Halla el extremo inferior del intervalo habitual: $x = 3{,}4 + (-2) \cdot 0{,}5 = 2{,}4$ = $2{,}4$ kg

Halla el extremo superior del intervalo habitual: $x = 3{,}4 + 2 \cdot 0{,}5 = 4{,}4$ = $4{,}4$ kg

Answer: $z = -2{,}4$, así que $2{,}2$ kg es un peso inusualmente bajo. Los pesos habituales están entre $2{,}4$ kg y $4{,}4$ kg.

Mistake: Restar en el orden equivocado: $\frac{\mu - x}{\sigma}$

Why: Así se invierte el signo. Un valor por encima de la media tendría una puntuación z negativa, que dice lo contrario de la realidad.

Correct: Siempre valor menos media: $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$. Para $x = 82$, $\mu = 74$, $\sigma = 6$: $z = \frac{8}{6} \approx 1{,}33$, no $-1{,}33$.

Mistake: Olvidar los paréntesis: escribir $82 - 74 / 6$ en la calculadora

Why: La calculadora divide primero y obtiene $82 - 12{,}33 = 69{,}67$, que no es una puntuación z en absoluto.

Correct: Primero resta, después divide: $(82 - 74) / 6 \approx 1{,}33$.

Mistake: Comparar directamente notas de exámenes distintos

Why: 88 puntos en un examen con $\mu = 80$, $\sigma = 8$ no son automáticamente mejores que 82 puntos en un examen con $\mu = 74$, $\sigma = 6$. Los exámenes tienen medias y dispersiones distintas.

Correct: Convierte primero cada valor en puntuación z y luego compara: $1$ frente a $1{,}33$, así que el 82 es relativamente mejor.

Mistake: Pensar que una puntuación z negativa es un mal resultado

Why: El signo solo dice si el valor está por debajo o por encima de la media. Que eso sea bueno depende del contexto.

Correct: En tiempos de carrera o precios, menos es mejor, así que $z = -2$ puede ser un resultado excelente. En las notas, más es mejor.

Deporte: comparar tiempos de velocidad

Los entrenadores comparan atletas con puntuaciones z. En una carrera un tiempo menor es mejor, así que una puntuación z negativa significa más rápido que la media.

En una carrera regional de 100 m, los tiempos tienen $\mu = 11{,}0$ s y $\sigma = 0{,}2$ s. Un tiempo de $11{,}3$ s tiene $z = \frac{0{,}3}{0{,}2} = 1{,}5$: más lento que la media.

Medicina: curvas de crecimiento

Los pediatras expresan la estatura o el peso de un niño como puntuación z respecto a los niños de su misma edad. Los valores por debajo de $z = -2$ se revisan con más atención.

Un niño con una puntuación z de estatura $z = 0$ está justo en la media de su edad; con $z = 1$ mide una desviación estándar más que la media.

Control de calidad: cajas de cereales

Una fábrica llena cajas de cereales. Las cajas cuyo peso tiene $|z| > 2$ se retiran de la cadena y se revisan.

La máquina de llenado da $\mu = 500$ g y $\sigma = 4$ g. Una caja de $504$ g tiene $z = 1$: totalmente normal.

Q: ¿Una puntuación z puede ser decimal o mayor que 3?

A: Sí. La mayoría de las puntuaciones z son decimales, como $1{,}33$ o $-0{,}75$. Los valores por encima de $3$ o por debajo de $-3$ son posibles, pero muy raros en una distribución normal.

Q: ¿Hacen falta datos normales para calcular una puntuación z?

A: Puedes calcular una puntuación z para cualquier conjunto de datos con media y desviación estándar. Convertirla en un porcentaje (como con la regla 68-95-99,7) solo funciona bien si los datos son aproximadamente normales.

Q: ¿Por qué la puntuación z de la media siempre es 0?

A: Porque $x - \mu = 0$ cuando $x = \mu$, y $0$ entre $\sigma$ es $0$. La media está a cero desviaciones estándar de sí misma.

Q: ¿Qué diferencia hay entre una puntuación z y un percentil?

A: Una puntuación z mide una distancia en desviaciones estándar; un percentil dice qué porcentaje de los valores queda por debajo. Están relacionados (con datos normales, $z = 1$ es aproximadamente el percentil 84), y en las próximas lecciones aprenderás a pasar de uno a otro.