Puntuaciones z (tipificación)

Aprende qué indica una puntuación z, cómo calcularla, cómo volver al valor original y cómo comparar resultados de exámenes distintos.

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Definición

Una puntuación z (también puntuación tipificada o valor tipificado) indica a cuántas desviaciones estándar (desviaciones típicas) está un valor por encima o por debajo de la media.
z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}
  • xx es el valor que estudias
  • μ\mu (mu) es la media de la distribución
  • σ\sigma (sigma) es la desviación estándar
Cómo se lee:
  • z>0z > 0: el valor está por encima de la media
  • z<0z < 0: el valor está por debajo de la media
  • z=0z = 0: el valor es exactamente la media
  • ∣z∣|z| dice a qué distancia está, medida en desviaciones estándar
Ejemplo: en un examen de matemáticas con μ=74\mu = 74 y σ=6\sigma = 6, una nota de 8282 tiene z=82−746=86≈1,33z = \frac{82 - 74}{6} = \frac{8}{6} \approx 1{,}33. La nota está 1,331{,}33 desviaciones estándar por encima de la media.
Volver de z a x: despeja xx en la fórmula:
x=μ+zσx = \mu + z\sigma
Como las unidades se cancelan (puntos entre puntos), una puntuación z no tiene unidad. Eso es justo lo que la hace tan útil: puedes comparar una nota, una estatura y un tiempo de carrera en una misma escala. A un valor con ∣z∣>2|z| > 2 se le suele llamar inusual, porque está a más de 2 desviaciones estándar de la media.

Pruébalo ahora

Unas notas tienen media μ=50\mu = 50 y desviación estándar σ=5\sigma = 5. ¿Cuál es la puntuación z de una nota de 6060?

Ejemplos resueltos

En un examen de matemáticas, las notas tienen media μ=74\mu = 74 puntos y desviación estándar σ=6\sigma = 6 puntos. Mia sacó 8282. ¿Cuál es su puntuación z?
1

Escribe la fórmula

z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma} → x=82x = 82, μ=74\mu = 74, σ=6\sigma = 6
2

Resta la media (distancia a la media)

82−74=882 - 74 = 8 → Mia está 8 puntos por encima de la media
3

Divide entre la desviación estándar

z=86=43≈1,33z = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \approx 1{,}33 → z≈1,33z \approx 1{,}33

Errores comunes

Restar en el orden equivocado: μ−xσ\frac{\mu - x}{\sigma}

Por qué está mal: Así se invierte el signo. Un valor por encima de la media tendría una puntuación z negativa, que dice lo contrario de la realidad.

Correcto: Siempre valor menos media: z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}. Para x=82x = 82, μ=74\mu = 74, σ=6\sigma = 6: z=86≈1,33z = \frac{8}{6} \approx 1{,}33, no −1,33-1{,}33.

Olvidar los paréntesis: escribir 82−74/682 - 74 / 6 en la calculadora

Por qué está mal: La calculadora divide primero y obtiene 82−12,33=69,6782 - 12{,}33 = 69{,}67, que no es una puntuación z en absoluto.

Correcto: Primero resta, después divide: (82−74)/6≈1,33(82 - 74) / 6 \approx 1{,}33.

Comparar directamente notas de exámenes distintos

Por qué está mal: 88 puntos en un examen con μ=80\mu = 80, σ=8\sigma = 8 no son automáticamente mejores que 82 puntos en un examen con μ=74\mu = 74, σ=6\sigma = 6. Los exámenes tienen medias y dispersiones distintas.

Correcto: Convierte primero cada valor en puntuación z y luego compara: 11 frente a 1,331{,}33, así que el 82 es relativamente mejor.

Pensar que una puntuación z negativa es un mal resultado

Por qué está mal: El signo solo dice si el valor está por debajo o por encima de la media. Que eso sea bueno depende del contexto.

Correcto: En tiempos de carrera o precios, menos es mejor, así que z=−2z = -2 puede ser un resultado excelente. En las notas, más es mejor.

Visual interactivo

Examen de matemáticas: μ = 74 puntos, σ = 6 puntos. Arrastra la nota y mira z

82 · z = 1,33xz56-362-268-1740801862923Nota del examen de matemáticas (puntos)

μ = 74 puntos, σ = 6 puntos · Arrastra un control o escribe x o z.

z = (x − μ)/σ = (82 − 74)/6 = 1,33

¿Quién lo hizo relativamente mejor?

z-3-2-10123

¿Qué resultado es mejor en comparación con su propio grupo? Tócalo.

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Fácil
Unas notas tienen media μ=50\mu = 50 y desviación estándar σ=5\sigma = 5. ¿Cuál es la puntuación z de una nota de 6060?

Por qué es importante

Un número suelto muchas veces no dice mucho. ¿Sacar 82 puntos es una buena nota? Depende de cómo les fue a los demás. La puntuación z responde a esa pregunta con un solo número.
  • Instituto y exámenes: comparar resultados de clases, asignaturas o años distintos, aunque los exámenes tuvieran dificultad diferente
  • Medicina: las curvas de crecimiento de los niños y la densidad ósea se expresan en puntuaciones z, a un niño con z=−2,5z = -2{,}5 en estatura lo revisa un médico
  • Deporte: comparar atletas de pruebas distintas, como un velocista y un saltador de longitud
  • Control de calidad: las fábricas marcan los productos cuyas medidas tienen ∣z∣>2|z| > 2 o ∣z∣>3|z| > 3
  • Economía y ciencia: detectar valores inusuales (valores atípicos) en los datos
En las próximas lecciones usarás las puntuaciones z para hallar áreas y probabilidades bajo la curva normal, así que este es el paso clave.

Aplicaciones del mundo real

Deporte: comparar tiempos de velocidad

Los entrenadores comparan atletas con puntuaciones z. En una carrera un tiempo menor es mejor, así que una puntuación z negativa significa más rápido que la media.

Ejemplo:

En una carrera regional de 100 m, los tiempos tienen μ=11,0\mu = 11{,}0 s y σ=0,2\sigma = 0{,}2 s. Un tiempo de 11,311{,}3 s tiene z=0,30,2=1,5z = \frac{0{,}3}{0{,}2} = 1{,}5: más lento que la media.

1Inténtalo tú mismo

En la misma carrera (μ=11,0\mu = 11{,}0 s, σ=0,2\sigma = 0{,}2 s), Sara corre en 10,610{,}6 s.

¿Cuál es la puntuación z de Sara?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula 10,6−11,00,2\frac{10{,}6 - 11{,}0}{0{,}2}:

Medicina: curvas de crecimiento

Los pediatras expresan la estatura o el peso de un niño como puntuación z respecto a los niños de su misma edad. Los valores por debajo de $z = -2$ se revisan con más atención.

Ejemplo:

Un niño con una puntuación z de estatura z=0z = 0 está justo en la media de su edad; con z=1z = 1 mide una desviación estándar más que la media.

2Inténtalo tú mismo

En los niños de 8 años, la estatura tiene μ=128\mu = 128 cm y σ=5,5\sigma = 5{,}5 cm. Una médica revisa a todo niño con z<−2z < -2.

¿Por debajo de qué estatura (en cm) se revisa a un niño?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa x=μ+zσx = \mu + z\sigma con z=−2z = -2:

Control de calidad: cajas de cereales

Una fábrica llena cajas de cereales. Las cajas cuyo peso tiene $|z| > 2$ se retiran de la cadena y se revisan.

Ejemplo:

La máquina de llenado da μ=500\mu = 500 g y σ=4\sigma = 4 g. Una caja de 504504 g tiene z=1z = 1: totalmente normal.

3Inténtalo tú mismo

Una caja de la cadena pesa 489489 g (μ=500\mu = 500 g, σ=4\sigma = 4 g).

¿Cuál es la puntuación z de esta caja?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula 489−5004\frac{489 - 500}{4}:

Puntos clave

  • 1Una puntuación z indica a cuántas desviaciones estándar está un valor de la media: z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}
  • 2z positivo: por encima de la media, z negativo: por debajo de la media, z=0z = 0: exactamente la media
  • 3Para volver de z a un valor, usa x=μ+zσx = \mu + z\sigma
  • 4Una puntuación z no tiene unidad, así que se pueden comparar valores de distribuciones distintas: el z mayor está relativamente más alto
  • 5Un valor con ∣z∣>2|z| > 2 se suele considerar inusual, está a más de 2 desviaciones estándar de la media
  • 6Siempre resta primero y después divide: (x−μ)/σ(x - \mu) / \sigma

Preguntas frecuentes

Sí. La mayoría de las puntuaciones z son decimales, como 1,331{,}33 o −0,75-0{,}75. Los valores por encima de 33 o por debajo de −3-3 son posibles, pero muy raros en una distribución normal.
Sí. La mayoría de las puntuaciones z son decimales, como 1,331{,}33 o −0,75-0{,}75. Los valores por encima de 33 o por debajo de −3-3 son posibles, pero muy raros en una distribución normal.
Puedes calcular una puntuación z para cualquier conjunto de datos con media y desviación estándar. Convertirla en un porcentaje (como con la regla 68-95-99,7) solo funciona bien si los datos son aproximadamente normales.
Porque x−μ=0x - \mu = 0 cuando x=μx = \mu, y 00 entre σ\sigma es 00. La media está a cero desviaciones estándar de sí misma.
Una puntuación z mide una distancia en desviaciones estándar; un percentil dice qué porcentaje de los valores queda por debajo. Están relacionados (con datos normales, z=1z = 1 es aproximadamente el percentil 84), y en las próximas lecciones aprenderás a pasar de uno a otro.

Glosario

Puntuación z (puntuación tipificada, valor tipificado)
El número de desviaciones estándar que un valor está por encima (positivo) o por debajo (negativo) de la media
Media (μ)
El centro de la distribución, el valor promedio
Desviación estándar (σ)
Una medida de cuánto se dispersan los valores alrededor de la media (también se llama desviación típica)
Tipificar
Convertir un valor xx en su puntuación z con z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}
Valor inusual
Un valor a más de 2 desviaciones estándar de la media, es decir, ∣z∣>2|z| > 2

Tarjeta de fórmulas

Puntuación z

z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}

A cuántas desviaciones estándar está x de la media

Valor a partir de una puntuación z

x=μ+zσx = \mu + z\sigma

Volver de una puntuación z a las unidades originales

Valores inusuales

∣z∣>2|z| > 2

A más de 2 desviaciones estándar de la media

Reto de hoyUn problema, tres intentos

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