Horas de estudio y notas

Cinco estudiantes anotaron sus horas de estudio y sus notas: $(1, 64)$, $(2, 63)$, $(3, 77)$, $(4, 71)$, $(5, 75)$. Calcula $r$ e interprétalo.

Halla las medias: $\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = 3$, $\bar{y} = \frac{64+63+77+71+75}{5} = \frac{350}{5} = 70$ = $\bar{x} = 3$, $\bar{y} = 70$

Halla las desviaciones: $x_i - \bar{x}$: $-2, -1, 0, 1, 2$ $y_i - \bar{y}$: $-6, -7, 7, 1, 5$ = Cada suma de desviaciones es $0$ (una comprobación rápida)

Multiplica las desviaciones y suma: $(-2)(-6) + (-1)(-7) + (0)(7) + (1)(1) + (2)(5) = 12 + 7 + 0 + 1 + 10$ = $S_{xy} = 30$

Eleva las desviaciones al cuadrado y suma: $S_{xx} = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10$ $S_{yy} = 36 + 49 + 49 + 1 + 25 = 160$ = $S_{xx} = 10$, $S_{yy} = 160$

Aplica la fórmula: $r = \frac{30}{\sqrt{10 \cdot 160}} = \frac{30}{\sqrt{1600}} = \frac{30}{40}$ = $r = 0{,}75$

Interpreta en contexto: Signo positivo, $|r| = 0{,}75$ está en el intervalo de $0{,}60$ a $0{,}79$ = Correlación positiva fuerte

Answer: $r = 0{,}75$: una correlación positiva fuerte. Los estudiantes que estudiaron más tiempo tendieron a sacar mejores notas, aunque quien estudió 1 hora sacó más que quien estudió 2 horas, así que el patrón no es perfecto.

Temperatura exterior y calefacción

Una familia anota durante cinco días la temperatura exterior media (°C) y la energía usada en calefacción (kWh): $(0, 38)$, $(5, 34)$, $(10, 26)$, $(15, 30)$, $(20, 22)$. Calcula $r$ y describe la relación.

Halla las medias: $\bar{x} = \frac{0+5+10+15+20}{5} = 10$, $\bar{y} = \frac{38+34+26+30+22}{5} = \frac{150}{5} = 30$ = $\bar{x} = 10$, $\bar{y} = 30$

Halla las desviaciones: $x_i - \bar{x}$: $-10, -5, 0, 5, 10$ $y_i - \bar{y}$: $8, 4, -4, 0, -8$ = Desviaciones halladas

Multiplica las desviaciones y suma: $(-10)(8) + (-5)(4) + (0)(-4) + (5)(0) + (10)(-8) = -80 - 20 + 0 + 0 - 80$ = $S_{xy} = -180$

Eleva las desviaciones al cuadrado y suma: $S_{xx} = 100 + 25 + 0 + 25 + 100 = 250$ $S_{yy} = 64 + 16 + 16 + 0 + 64 = 160$ = $S_{xx} = 250$, $S_{yy} = 160$

Aplica la fórmula: $r = \frac{-180}{\sqrt{250 \cdot 160}} = \frac{-180}{\sqrt{40000}} = \frac{-180}{200}$ = $r = -0{,}90$

Interpreta en contexto: Signo negativo, $|r| = 0{,}90$ está en el intervalo de $0{,}80$ a $1{,}00$ = Correlación negativa muy fuerte

Answer: $r = -0{,}90$: una correlación negativa muy fuerte. Los días más cálidos la familia usó menos energía en calefacción.

¿Está justificada la afirmación causal?

Durante diez semanas de otoño, una ciudad registró las ventas de paraguas y los accidentes de tráfico y obtuvo $r = 0{,}95$. El periódico local escribe: "Los paraguas causan accidentes." ¿Está justificada esta afirmación?

Describe la dirección y la fuerza: $r = 0{,}95 > 0$ y $|r| = 0{,}95$ está en el intervalo de $0{,}80$ a $1{,}00$ = Correlación positiva muy fuerte

Pregúntate cómo se obtuvieron los datos: A nadie se le dijo que comprara o no un paraguas; la ciudad solo contó lo que pasó = Datos observacionales, no un experimento

Busca una variable de confusión: En las semanas lluviosas la gente compra paraguas, y las carreteras mojadas y la mala visibilidad también provocan más accidentes = Variable de confusión: el tiempo lluvioso

Da un veredicto: La correlación es real, pero la lluvia explica las dos variables = La afirmación causal no está justificada

Answer: No está justificada. La correlación es muy fuerte ($r = 0{,}95$), pero los datos son observacionales y el tiempo lluvioso aumenta tanto las ventas de paraguas como los accidentes. Solo un experimento controlado podría comprobar una causa.

Un valor atípico lo cambia todo

Una estudiante mide fertilizante (g) y crecimiento de plantas (cm): $(1, 2)$, $(2, 4)$, $(3, 6)$, $(4, 8)$, $(5, 0)$. Un caracol se comió la última planta. Calcula $r$ con las cinco plantas y compáralo con $r$ para las cuatro primeras.

Mira los cuatro primeros puntos: $(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)$ están todos sobre la recta $y = 2x$ = Sin el valor atípico: $r = 1$

Halla las medias de los cinco puntos: $\bar{x} = \frac{15}{5} = 3$, $\bar{y} = \frac{2+4+6+8+0}{5} = \frac{20}{5} = 4$ = $\bar{x} = 3$, $\bar{y} = 4$

Halla las desviaciones: $x_i - \bar{x}$: $-2, -1, 0, 1, 2$ $y_i - \bar{y}$: $-2, 0, 2, 4, -4$ = Desviaciones halladas

Multiplica las desviaciones y suma: $(-2)(-2) + (-1)(0) + (0)(2) + (1)(4) + (2)(-4) = 4 + 0 + 0 + 4 - 8$ = $S_{xy} = 0$

Aplica la fórmula: $S_{xx} = 10$, $S_{yy} = 4 + 0 + 4 + 16 + 16 = 40$, así que $r = \frac{0}{\sqrt{10 \cdot 40}} = \frac{0}{20}$ = Con el valor atípico: $r = 0$

Decide qué informar: El caracol es una razón conocida que no tiene nada que ver con el fertilizante = Dar los dos valores y explicar por qué se quitó el valor atípico

Answer: Con el valor atípico $r = 0$; sin él, $r = 1$. Un solo punto borró una correlación perfecta. Como el valor atípico tiene una razón clara (el caracol), es correcto quitarlo, siempre que lo digas.

Sol y visitantes de la piscina (redondear r)

Una piscina al aire libre compara las horas de sol con los visitantes (en cientos) durante cuatro días: $(2, 4)$, $(4, 5)$, $(6, 9)$, $(8, 10)$. Calcula $r$ con 2 decimales e interprétalo.

Halla las medias: $\bar{x} = \frac{2+4+6+8}{4} = 5$, $\bar{y} = \frac{4+5+9+10}{4} = \frac{28}{4} = 7$ = $\bar{x} = 5$, $\bar{y} = 7$

Halla las desviaciones: $x_i - \bar{x}$: $-3, -1, 1, 3$ $y_i - \bar{y}$: $-3, -2, 2, 3$ = Desviaciones halladas

Calcula las tres sumas: $S_{xy} = 9 + 2 + 2 + 9 = 22$ $S_{xx} = 9 + 1 + 1 + 9 = 20$ $S_{yy} = 9 + 4 + 4 + 9 = 26$ = $S_{xy} = 22$, $S_{xx} = 20$, $S_{yy} = 26$

Aplica la fórmula y redondea al final: $r = \frac{22}{\sqrt{20 \cdot 26}} = \frac{22}{\sqrt{520}} \approx \frac{22}{22{,}80} \approx 0{,}9648$ = $r \approx 0{,}96$

Interpreta en contexto: Signo positivo, $|r| \approx 0{,}96$ está en el intervalo de $0{,}80$ a $1{,}00$ = Correlación positiva muy fuerte

Answer: $r \approx 0{,}96$: una correlación positiva muy fuerte. Los días más soleados coincidieron con más visitantes. Es creíble que el sol atraiga a los bañistas, pero cuatro días observados siguen sin demostrar una causa.

Mistake: Multiplicar los valores originales $x_i y_i$ en lugar de las desviaciones

Why: La fórmula $r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} S_{yy}}}$ usa las distancias a las medias. Los productos originales siempre son grandes y positivos con datos positivos y dan un $r$ incorrecto.

Correct: Resta primero las medias. Comprobación rápida: las desviaciones de cada variable suman $0$.

Mistake: Olvidar la raíz cuadrada o redondear demasiado pronto

Why: $\frac{30}{10 \cdot 160} \approx 0{,}019$ no es $r$. Redondear $\sqrt{520}$ a $23$ da $0{,}957$ en lugar de $0{,}965$.

Correct: Saca la raíz cuadrada de $S_{xx} \cdot S_{yy}$ y redondea solo la respuesta final a 2 decimales.

Mistake: Tomar un $r$ fuerte como prueba de que una variable causa la otra

Why: Los datos observacionales pueden mostrar una correlación fuerte porque una variable de confusión influye en ambas, como la lluvia influye en las ventas de paraguas y en los accidentes de tráfico.

Correct: Di "está asociado con". Solo un experimento controlado y aleatorizado puede justificar una afirmación causal.

Mistake: Ignorar un valor atípico o borrarlo sin motivo

Why: Un solo punto puede cambiar $r$ de $1$ a $0$. Ignorarlo oculta el problema; borrarlo solo porque molesta es deshonesto.

Correct: Representa los datos, calcula $r$ con y sin el valor atípico y quítalo solo con un motivo claro (un error de medida, un caracol), diciendo que lo hiciste.

Ciencias del deporte

Los entrenadores comparan las horas semanales de entrenamiento con los tiempos de carrera para ver si más entrenamiento va con carreras más rápidas.

Para un club de corredores las sumas son $S_{xy} = -45$, $S_{xx} = 25$ y $S_{yy} = 100$. Un $r$ negativo significa: más entrenamiento, tiempos más bajos (más rápidos).

Leer las noticias con espíritu crítico

Periodistas y lectores deben decidir si una correlación publicada respalda una afirmación de causa y efecto.

Un informe encuentra $r = 0{,}83$ entre el número de televisores por cada 100 habitantes de un país y la esperanza de vida, y un blog dice que los televisores alargan la vida.

Control de calidad de sensores

Los ingenieros revisan los datos de medición en busca de lecturas erróneas, porque un solo valor malo puede ocultar una relación perfecta.

Un sensor de temperatura se prueba con cinco ajustes: $(2, 10)$, $(4, 14)$, $(6, 18)$, $(8, 22)$ y una lectura errónea $(10, 6)$.

Q: ¿Por qué las desviaciones siempre suman cero?

A: La media es el punto de equilibrio de los datos: los valores por encima y por debajo se compensan exactamente. Si tus desviaciones no suman $0$, hay un error en la media o en alguna resta.

Q: ¿Cambia $r$ si sumo el mismo número a todos los valores?

A: No. Sumar una constante mueve todos los puntos a la vez, así que las desviaciones no cambian. Multiplicar por un número positivo (por ejemplo, pasar de horas a minutos) tampoco cambia $r$. Multiplicar una variable por un número negativo cambia el signo de $r$.

Q: ¿Cuándo se puede quitar un valor atípico?

A: Cuando tienes un motivo claro que no depende del resultado: un error de medida, un error al escribir, una planta comida por un caracol. Di siempre que lo quitaste y, si puedes, da $r$ con y sin ese punto.

Q: ¿Cómo se puede demostrar la causalidad?

A: Con un experimento controlado y aleatorizado: asignas el tratamiento (por ejemplo, el fertilizante) al azar a unos sujetos y a otros no, mantienes todo lo demás igual y comparas. La asignación al azar reparte las variables de confusión por igual entre los dos grupos.