Problemas de correlación

Resuelve problemas reales de correlación: calcula r paso a paso a partir de pocos datos, interprétalo en contexto, juzga afirmaciones causales y descubre cómo un valor atípico cambia r.

Avanzado35 minLección
Ficha imprimible

Definición

Un problema de correlación te da datos emparejados de una situación real y te pide medir, interpretar y juzgar la relación. Ya conoces la fórmula del coeficiente de correlación rr de la lección *Coeficiente de correlación*. Aquí la usas como un método completo.
El método de cinco pasos para un conjunto pequeño de datos:
  1. 1.Halla las medias xˉ\bar{x} y yˉ\bar{y}.
  2. 2.Halla cada desviación xi−xˉx_i - \bar{x} y yi−yˉy_i - \bar{y}.
  3. 3.Suma los productos: Sxy=∑(xi−xˉ)(yi−yˉ)S_{xy} = \sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}).
  4. 4.Suma los cuadrados: Sxx=∑(xi−xˉ)2S_{xx} = \sum(x_i - \bar{x})^2 y Syy=∑(yi−yˉ)2S_{yy} = \sum(y_i - \bar{y})^2.
  5. 5.Divide:
    r=SxySxx⋅Syyr = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}}
Después responde la pregunta en contexto:
  • Dirección: el signo de rr (positivo: las dos suben juntas; negativo: una sube mientras la otra baja).
  • Fuerza: el tamaño de ∣r∣|r| (escala de abajo).
  • Causalidad: un rr fuerte por sí solo nunca demuestra que una variable cause la otra. Busca una variable de confusión y pregúntate si los datos vienen de un experimento controlado.
  • Valores atípicos: un solo punto raro puede hacer rr mucho más fuerte, mucho más débil o incluso cambiar su signo.
rFuerza
0,000{,}00 a 0,190{,}19muy débil
0,200{,}20 a 0,390{,}39débil
0,400{,}40 a 0,590{,}59moderada
0,600{,}60 a 0,790{,}79fuerte
0,800{,}80 a 1,001{,}00muy fuerte

Pruébalo ahora

Una encuesta a adolescentes da r=−0,85r = -0{,}85 entre el tiempo diario de pantalla y las horas de sueño. ¿Qué descripción es correcta?

Ejemplos resueltos

Cinco estudiantes anotaron sus horas de estudio y sus notas: (1,64)(1, 64), (2,63)(2, 63), (3,77)(3, 77), (4,71)(4, 71), (5,75)(5, 75). Calcula rr e interprétalo.
1

Halla las medias

xˉ=1+2+3+4+55=3\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = 3, yˉ=64+63+77+71+755=3505=70\bar{y} = \frac{64+63+77+71+75}{5} = \frac{350}{5} = 70 → xˉ=3\bar{x} = 3, yˉ=70\bar{y} = 70
2

Halla las desviaciones

xi−xˉx_i - \bar{x}: −2,−1,0,1,2-2, -1, 0, 1, 2 yi−yˉy_i - \bar{y}: −6,−7,7,1,5-6, -7, 7, 1, 5 → Cada suma de desviaciones es 00 (una comprobación rápida)
3

Multiplica las desviaciones y suma

(−2)(−6)+(−1)(−7)+(0)(7)+(1)(1)+(2)(5)=12+7+0+1+10(-2)(-6) + (-1)(-7) + (0)(7) + (1)(1) + (2)(5) = 12 + 7 + 0 + 1 + 10 → Sxy=30S_{xy} = 30
4

Eleva las desviaciones al cuadrado y suma

Sxx=4+1+0+1+4=10S_{xx} = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10 Syy=36+49+49+1+25=160S_{yy} = 36 + 49 + 49 + 1 + 25 = 160 → Sxx=10S_{xx} = 10, Syy=160S_{yy} = 160
5

Aplica la fórmula

r=3010⋅160=301600=3040r = \frac{30}{\sqrt{10 \cdot 160}} = \frac{30}{\sqrt{1600}} = \frac{30}{40} → r=0,75r = 0{,}75
6

Interpreta en contexto

Signo positivo, ∣r∣=0,75|r| = 0{,}75 está en el intervalo de 0,600{,}60 a 0,790{,}79 → Correlación positiva fuerte

Errores comunes

Multiplicar los valores originales xiyix_i y_i en lugar de las desviaciones

Por qué está mal: La fórmula r=SxySxxSyyr = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} S_{yy}}} usa las distancias a las medias. Los productos originales siempre son grandes y positivos con datos positivos y dan un rr incorrecto.

Correcto: Resta primero las medias. Comprobación rápida: las desviaciones de cada variable suman 00.

Olvidar la raíz cuadrada o redondear demasiado pronto

Por qué está mal: 3010⋅160≈0,019\frac{30}{10 \cdot 160} \approx 0{,}019 no es rr. Redondear 520\sqrt{520} a 2323 da 0,9570{,}957 en lugar de 0,9650{,}965.

Correcto: Saca la raíz cuadrada de Sxx⋅SyyS_{xx} \cdot S_{yy} y redondea solo la respuesta final a 2 decimales.

Tomar un rr fuerte como prueba de que una variable causa la otra

Por qué está mal: Los datos observacionales pueden mostrar una correlación fuerte porque una variable de confusión influye en ambas, como la lluvia influye en las ventas de paraguas y en los accidentes de tráfico.

Correcto: Di "está asociado con". Solo un experimento controlado y aleatorizado puede justificar una afirmación causal.

Ignorar un valor atípico o borrarlo sin motivo

Por qué está mal: Un solo punto puede cambiar rr de 11 a 00. Ignorarlo oculta el problema; borrarlo solo porque molesta es deshonesto.

Correcto: Representa los datos, calcula rr con y sin el valor atípico y quítalo solo con un motivo claro (un error de medida, un caracol), diciendo que lo hiciste.

Visual interactivo

Diagrama de dispersión

Horas de estudio y notas (r = 0,75)

123456065707580Horas de estudioNota

ŷ = 3x + 61

r = 0,75 · correlación positiva fuerte

Toca un punto para ver sus coordenadas.

Diagrama de dispersión

Un valor atípico: r baja de 1 a 0

1234502468Fertilizante (g)Crecimiento (cm)Valor atípico

ŷ = 4

r = 0 · sin correlación lineal

Toca un punto para ver sus coordenadas.

Sandbox interactivo

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

Aún no hay cálculos

Problemas de práctica

18 problemas
Problema 1 de 18
Fácil
Una encuesta a adolescentes da r=−0,85r = -0{,}85 entre el tiempo diario de pantalla y las horas de sueño. ¿Qué descripción es correcta?

Por qué es importante

Los valores de correlación aparecen cada día en noticias, informes escolares y proyectos de ciencias, y muchos se leen mal:
  • Noticias de salud: "Quienes toman café viven más" suele ser una correlación de una encuesta, no una prueba.
  • Deporte: los entrenadores comprueban si más horas de entrenamiento van de verdad con mejores tiempos antes de cambiar un plan.
  • Comercio y energía: una tienda compara la temperatura con las ventas, una familia compara la temperatura exterior con la calefacción.
  • Proyectos de ciencias: una sola medida errónea (un valor atípico) puede arruinar un resultado si nadie mira el diagrama de dispersión.
Si sabes calcular rr tú mismo, describirlo con palabras sencillas y detectar una afirmación causal falsa o un valor atípico engañoso, puedes juzgar las estadísticas en lugar de solo creerlas.

Aplicaciones del mundo real

Ciencias del deporte

Los entrenadores comparan las horas semanales de entrenamiento con los tiempos de carrera para ver si más entrenamiento va con carreras más rápidas.

Ejemplo:

Para un club de corredores las sumas son Sxy=−45S_{xy} = -45, Sxx=25S_{xx} = 25 y Syy=100S_{yy} = 100. Un rr negativo significa: más entrenamiento, tiempos más bajos (más rápidos).

1Inténtalo tú mismo

Un club de corredores registra las horas de entrenamiento por semana y los tiempos en 5 km (minutos) de sus miembros. Las sumas son Sxy=−45S_{xy} = -45, Sxx=25S_{xx} = 25 y Syy=100S_{yy} = 100.

¿Cuánto vale el coeficiente de correlación rr?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula r=SxySxx⋅Syyr = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}}:

Leer las noticias con espíritu crítico

Periodistas y lectores deben decidir si una correlación publicada respalda una afirmación de causa y efecto.

Ejemplo:

Un informe encuentra r=0,83r = 0{,}83 entre el número de televisores por cada 100 habitantes de un país y la esperanza de vida, y un blog dice que los televisores alargan la vida.

2Inténtalo tú mismo

En muchos países, el número de televisores por cada 100 habitantes y la esperanza de vida tienen r=0,83r = 0{,}83. Un blog concluye que comprar más televisores hace que la gente viva más.

¿Está justificada la afirmación causal?

Paso 1: Elige la respuesta correcta

Elige tu veredicto:

Control de calidad de sensores

Los ingenieros revisan los datos de medición en busca de lecturas erróneas, porque un solo valor malo puede ocultar una relación perfecta.

Ejemplo:

Un sensor de temperatura se prueba con cinco ajustes: (2,10)(2, 10), (4,14)(4, 14), (6,18)(6, 18), (8,22)(8, 22) y una lectura errónea (10,6)(10, 6).

3Inténtalo tú mismo

Un sensor da las lecturas (2,10)(2, 10), (4,14)(4, 14), (6,18)(6, 18), (8,22)(8, 22), (10,6)(10, 6). La última lectura es un error conocido. Las medias son xˉ=6\bar{x} = 6 y yˉ=14\bar{y} = 14.

¿Cuánto vale rr cuando se quita la lectura errónea?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Compara rr con y sin el error:

Puntos clave

  • 1Para calcular rr a mano: medias, desviaciones, SxyS_{xy}, SxxS_{xx}, SyyS_{yy} y luego r=SxySxxSyyr = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} S_{yy}}}
  • 2Comprueba tu trabajo: las desviaciones de cada variable suman 00 y rr debe estar entre −1-1 y 11
  • 3Redondea solo el valor final de rr, normalmente a 2 decimales
  • 4Interpreta rr en contexto: el signo da la dirección y ∣r∣|r| da la fuerza
  • 5Una correlación fuerte con datos observacionales no justifica una afirmación causal; busca variables de confusión
  • 6Un solo valor atípico puede reforzar, debilitar o incluso invertir rr: representa los datos y compara rr con y sin él

Preguntas frecuentes

La media es el punto de equilibrio de los datos: los valores por encima y por debajo se compensan exactamente. Si tus desviaciones no suman 00, hay un error en la media o en alguna resta.
La media es el punto de equilibrio de los datos: los valores por encima y por debajo se compensan exactamente. Si tus desviaciones no suman 00, hay un error en la media o en alguna resta.
No. Sumar una constante mueve todos los puntos a la vez, así que las desviaciones no cambian. Multiplicar por un número positivo (por ejemplo, pasar de horas a minutos) tampoco cambia rr. Multiplicar una variable por un número negativo cambia el signo de rr.
Cuando tienes un motivo claro que no depende del resultado: un error de medida, un error al escribir, una planta comida por un caracol. Di siempre que lo quitaste y, si puedes, da rr con y sin ese punto.
Con un experimento controlado y aleatorizado: asignas el tratamiento (por ejemplo, el fertilizante) al azar a unos sujetos y a otros no, mantienes todo lo demás igual y comparas. La asignación al azar reparte las variables de confusión por igual entre los dos grupos.

Glosario

Desviación
La distancia de un valor a la media, xi−xˉx_i - \bar{x}; puede ser positiva o negativa
SxyS_{xy}
La suma de los productos de las desviaciones, ∑(xi−xˉ)(yi−yˉ)\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}); su signo es el signo de rr
SxxS_{xx} y SyyS_{yy}
Las sumas de las desviaciones al cuadrado de xx y de yy; nunca son negativas
Valor atípico
Un dato alejado del patrón de los demás; puede cambiar mucho rr
Variable de confusión
Una variable que no está en el estudio, influye en las dos variables y puede crear una correlación engañosa
Experimento controlado
Un estudio en el que el investigador asigna el tratamiento al azar; el único tipo de estudio que puede justificar una afirmación causal

Tarjeta de fórmulas

Coeficiente de correlación

r=SxySxx⋅Syyr = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}}

$S_{xy} = \sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$, $S_{xx} = \sum(x_i - \bar{x})^2$, $S_{yy} = \sum(y_i - \bar{y})^2$

Comprobaciones

∑(xi−xˉ)=0,−1≤r≤1\sum(x_i - \bar{x}) = 0, \quad -1 \le r \le 1

Si una suma de desviaciones no es $0$ o si $|r| > 1$, hay un error de cálculo

Escala de fuerza

∣r∣: 0,2 deˊbil, 0,4 moderada, 0,6 fuerte, 0,8 muy fuerte|r|: \ 0{,}2 \ \text{débil}, \ 0{,}4 \ \text{moderada}, \ 0{,}6 \ \text{fuerte}, \ 0{,}8 \ \text{muy fuerte}

Cada nivel empieza en su valor; por debajo de $0{,}20$ la correlación es muy débil

Reto de hoyUn problema, tres intentos

Más sobre este tema

Introducción a la correlación

Intermedio25 min

Coeficiente de correlación

Avanzado25 min

Interpretar la correlación

Intermedio25 min

Correlación y causalidad

Intermedio25 min