Construir un diagrama de tallo y hojas

Haz un diagrama de tallo y hojas con estas notas: 74, 58, 86, 61, 90, 67, 52, 78, 70, 84, 63, 95, 67, 75, 81.

Elige los tallos: La nota más baja es 52 y la más alta 95, así que las decenas van de 5 a 9 = Tallos: 5, 6, 7, 8, 9

Escribe cada cifra de las unidades como hoja junto a su tallo: 74 da la hoja 4 en el tallo 7, 58 da la hoja 8 en el tallo 5, y así con las 15 notas = 15 hojas escritas

Ordena las hojas de cada fila: $$\begin{array}{r|l} 5 & 2~8 \\ 6 & 1~3~7~7 \\ 7 & 0~4~5~8 \\ 8 & 1~4~6 \\ 9 & 0~5 \end{array}$$ = Diagrama de tallo y hojas ordenado

Añade una clave y comprueba el recuento: Clave: $5 \mid 2 = 52$. Cuenta las hojas: $2 + 4 + 4 + 3 + 2 = 15$ = 15 hojas para 15 notas

Answer: El diagrama tiene los tallos 5 a 9 con las hojas ordenadas 2 8 / 1 3 7 7 / 0 4 5 8 / 1 4 6 / 0 5 y la clave $5 \mid 2 = 52$.

Leer valores en el diagrama

Usa el diagrama de notas del ejemplo 1. ¿Cuáles son la nota más baja y la más alta, y cuántos estudiantes sacaron 80 o más?

Encuentra la nota más baja: Primer tallo, primera hoja: tallo 5, hoja 2 = Nota más baja = 52

Encuentra la nota más alta: Último tallo, última hoja: tallo 9, hoja 5 = Nota más alta = 95

Cuenta las notas de 80 o más: Son las hojas de los tallos 8 y 9: $3 + 2 = 5$ = 5 estudiantes

Answer: La nota más baja es 52, la más alta es 95, y 5 estudiantes sacaron 80 o más.

Mediana, moda y rango

Halla la mediana, la moda y el rango de las 15 notas del diagrama del ejemplo 1.

Halla la posición de la mediana: Con $n = 15$ datos, la mediana es el dato número $\frac{15 + 1}{2} = 8$ = El 8.º dato

Cuenta hojas desde arriba: El tallo 5 tiene 2 hojas y el tallo 6 tiene 4 (en total 6). En el tallo 7: 70 es el 7.º dato y 74 el 8.º = Mediana = 74

Halla la moda: Busca una hoja que se repita en una misma fila: el tallo 6 tiene dos veces la hoja 7 = Moda = 67

Halla el rango: $95 - 52 = 43$ = Rango = 43

Answer: Mediana = 74, moda = 67, rango = 43.

Comparar dos clases con un diagrama espalda con espalda

Dos clases hicieron el mismo examen. En un diagrama espalda con espalda los tallos van en el centro, las hojas de la clase A a la izquierda y las de la clase B a la derecha: $$\begin{array}{r|c|l} \text{Clase A} & \text{Tallo} & \text{Clase B} \\ \hline 8 & 4 & \\ 9~5~3 & 5 & 7 \\ 4~4~2 & 6 & 3~8 \\ 3~1 & 7 & 2~4~6~9 \\ 0 & 8 & 4~8 \\ & 9 & 1 \end{array}$$ Clave: $3 \mid 7 = 73$ para la clase A, $7 \mid 2 = 72$ para la clase B. Compara las medianas y los rangos.

Lee la clase A desde el tallo hacia fuera: Las hojas de la izquierda se leen desde el tallo hacia la izquierda: 48, 53, 55, 59, 62, 64, 64, 71, 73, 80 = Clase A: 10 notas

Lee la clase B: 57, 63, 68, 72, 74, 76, 79, 84, 88, 91 = Clase B: 10 notas

Halla las dos medianas: 10 datos: la mediana es la media del 5.º y el 6.º dato. A: $\frac{62 + 64}{2} = 63$, B: $\frac{74 + 76}{2} = 75$ = Medianas 63 y 75

Halla los dos rangos: A: $80 - 48 = 32$, B: $91 - 57 = 34$ = Rangos 32 y 34

Answer: A la clase B le fue mejor: su mediana (75) es 12 puntos mayor que la de la clase A (63), mientras que la dispersión es parecida (rangos 32 y 34).

Tallos divididos

Los tiempos de trayecto al trabajo (en minutos) de 14 personas son 21, 23, 24, 26, 27, 27, 28, 29, 31, 32, 34, 35, 36, 38. Haz un diagrama con tallos divididos y halla la mediana.

Observa por qué los tallos normales no bastan: Solo se usarían los tallos 2 y 3, así que el diagrama tendría dos filas largas y escondería la forma = Divide cada tallo en dos filas

Da dos filas a cada tallo: La primera fila de un tallo recibe las hojas 0 a 4 y la segunda las hojas 5 a 9 = Filas: 2 (0-4), 2 (5-9), 3 (0-4), 3 (5-9)

Coloca las hojas ordenadas: $$\begin{array}{r|l} 2 & 1~3~4 \\ 2 & 6~7~7~8~9 \\ 3 & 1~2~4 \\ 3 & 5~6~8 \end{array}$$ = Clave: $2 \mid 1 = 21$ minutos

Halla la mediana: 14 datos: media del 7.º y el 8.º dato, $\frac{28 + 29}{2} = 28{,}5$ = Mediana = 28,5 minutos

Answer: Con tallos divididos el diagrama tiene cuatro filas (3, 5, 3 y 3 hojas) y la mediana del tiempo de trayecto es 28,5 minutos.

Mistake: Escribir las hojas en el orden en que vienen los datos (por ejemplo 6 | 7 1 7 3)

Why: El diagrama sigue mostrando la forma, pero contar hasta la mediana o ver los valores repetidos solo funciona si cada fila está ordenada.

Correct: Reescribe siempre cada fila con las hojas de menor a mayor: 6 | 1 3 7 7.

Mistake: Olvidar la clave o no tenerla en cuenta

Why: La misma entrada $4 \mid 7$ puede significar 47, 4,7 o 470. Sin clave, el lector tiene que adivinar.

Correct: Escribe siempre una clave como $4 \mid 7 = 4{,}7$ segundos y lee cada valor con ella.

Mistake: Saltarse un tallo que no tiene hojas

Why: Si ningún dato está entre 30 y 39 y se quita la fila del tallo 3, el hueco en los datos desaparece y la forma parece incorrecta.

Correct: Escribe todos los tallos de menor a mayor, aunque una fila quede vacía.

Mistake: Leer el lado izquierdo de un diagrama espalda con espalda al revés (leer $3 \mid 7$ como 37)

Why: En el lado izquierdo la hoja va antes del tallo, pero el tallo sigue siendo la cifra de las decenas.

Correct: Lee las hojas de la izquierda desde el tallo hacia fuera: la hoja 3 junto al tallo 7 es 73. La clave de un diagrama espalda con espalda lo indica.

Puntos por partido en baloncesto

Entrenadores y periodistas deportivos usan diagramas de tallo y hojas para mostrar los puntos de un jugador en una temporada sin perder ningún partido.

Los puntos de un jugador en 12 partidos: $$\begin{array}{r|l} 0 & 8~9 \\ 1 & 2~4~4~7 \\ 2 & 0~1~5~6 \\ 3 & 3~8 \end{array}$$ Clave: $1 \mid 2 = 12$ puntos (el tallo 0 contiene los valores de una cifra 8 y 9).

Comparar las temperaturas de dos pueblos

Los servicios meteorológicos comparan lugares con diagramas espalda con espalda: los mismos tallos en el centro y un pueblo a cada lado.

Temperaturas máximas diarias en °C: $$\begin{array}{r|c|l} \text{Pueblo A} & \text{Tallo} & \text{Pueblo B} \\ \hline 9~6 & 0 & \\ 8~5~3~1 & 1 & 4~7 \\ 2~0 & 2 & 0~3~5~7~8 \\ & 3 & 1~2~4 \end{array}$$ Clave: $6 \mid 0 = 6$ °C para el pueblo A, $1 \mid 4 = 14$ °C para el pueblo B. El pueblo A tiene 8 días y el pueblo B tiene 10 días.

Pulso en reposo

Los enfermeros escolares y los médicos anotan el pulso en diagramas de tallo y hojas para ver enseguida qué valores son normales y cuáles son raros.

Pulso en reposo de 12 estudiantes en latidos por minuto: $$\begin{array}{r|l} 6 & 2~5~8 \\ 7 & 0~1~4~4~9 \\ 8 & 3~6 \\ 9 & 0~7 \end{array}$$ Clave: $7 \mid 4 = 74$ latidos por minuto.

Q: ¿Cuál es el tallo de un número de una cifra como 7?

A: El tallo es 0 y la hoja es 7, así que 7 se escribe $0 \mid 7$. Así los valores de una cifra caben en el mismo diagrama que los de dos cifras.

Q: ¿Cómo represento decimales o números de tres cifras?

A: La última cifra sigue siendo la hoja y la clave dice qué significa. Para 4,7 segundos usa $4 \mid 7 = 4{,}7$; para 125 gramos, $12 \mid 5 = 125$.

Q: ¿Qué diferencia hay entre un diagrama de tallo y hojas y un histograma?

A: Los dos muestran cuántos datos caen en cada intervalo. Un histograma solo muestra las frecuencias, mientras que un diagrama de tallo y hojas conserva cada valor, así que todavía puedes hallar exactamente la mediana, la moda y el rango.

Q: ¿Cuándo conviene dividir los tallos?

A: Cuando casi todos los datos usan solo dos o tres tallos, las filas se vuelven muy largas. Si divides cada tallo en hojas 0-4 y 5-9, se duplica el número de filas y la forma se ve con más claridad.