¿Cómo represento decimales o números de tres cifras?

La última cifra sigue siendo la hoja y la clave dice qué significa. Para 4,7 segundos usa $4 \mid 7 = 4{,}7$; para 125 gramos, $12 \mid 5 = 125$.

¿Qué diferencia hay entre un diagrama de tallo y hojas y un histograma?

Los dos muestran cuántos datos caen en cada intervalo. Un histograma solo muestra las frecuencias, mientras que un diagrama de tallo y hojas conserva cada valor, así que todavía puedes hallar exactamente la mediana, la moda y el rango.

¿Cuándo conviene dividir los tallos?

Cuando casi todos los datos usan solo dos o tres tallos, las filas se vuelven muy largas. Si divides cada tallo en hojas 0-4 y 5-9, se duplica el número de filas y la forma se ve con más claridad.

Recursos para profesores

Diagramas de tallo y hojas

Q: ¿Cuál es el tallo de un número de una cifra como 7?

El tallo es 0 y la hoja es 7, así que 7 se escribe $0 \mid 7$. Así los valores de una cifra caben en el mismo diagrama que los de dos cifras.

Aprende a construir y leer diagramas de tallo y hojas, a obtener de ellos la mediana, la moda y el rango, y a comparar dos grupos con un diagrama espalda con espalda.

Intermedio25 minLección

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Definición

Un diagrama de tallo y hojas muestra cada valor de un conjunto de datos y, a la vez, su forma. Cada número se separa en dos partes:

El tallo son todas las cifras menos la última (en números de dos cifras, la cifra de las decenas)
La hoja es la última cifra (la cifra de las unidades)

Los tallos se escriben una sola vez, en una columna, de menor a mayor. Las hojas de cada tallo se escriben en una fila a la derecha, ordenadas de menor a mayor. Una clave indica cómo se lee una entrada.

Estas son las notas de 15 estudiantes en un examen: 52, 58, 61, 63, 67, 67, 70, 74, 75, 78, 81, 84, 86, 90, 95.

\begin{array}{r|l} \text{Tallo} & \text{Hojas} \\ \hline 5 & 2~8 \\ 6 & 1~3~7~7 \\ 7 & 0~4~5~8 \\ 8 & 1~4~6 \\ 9 & 0~5 \end{array}

Clave:

5 \mid 2 = 52

Cada hoja es un dato, así que el número de hojas es el número de datos (aquí 15). Si lo giras, el diagrama se parece a un histograma con los intervalos 50-59, 60-69, etc., pero a diferencia del histograma todavía puedes leer cada nota.

Ejemplos resueltos

Haz un diagrama de tallo y hojas con estas notas: 74, 58, 86, 61, 90, 67, 52, 78, 70, 84, 63, 95, 67, 75, 81.

Elige los tallos

La nota más baja es 52 y la más alta 95, así que las decenas van de 5 a 9 → Tallos: 5, 6, 7, 8, 9

Escribe cada cifra de las unidades como hoja junto a su tallo

74 da la hoja 4 en el tallo 7, 58 da la hoja 8 en el tallo 5, y así con las 15 notas → 15 hojas escritas

Ordena las hojas de cada fila

\begin{array}{r|l} 5 & 2~8 \\ 6 & 1~3~7~7 \\ 7 & 0~4~5~8 \\ 8 & 1~4~6 \\ 9 & 0~5 \end{array}

→ Diagrama de tallo y hojas ordenado

Añade una clave y comprueba el recuento

Clave:

5 \mid 2 = 52

. Cuenta las hojas:

2 + 4 + 4 + 3 + 2 = 15

→ 15 hojas para 15 notas

Respuesta: El diagrama tiene los tallos 5 a 9 con las hojas ordenadas 2 8 / 1 3 7 7 / 0 4 5 8 / 1 4 6 / 0 5 y la clave $5 \mid 2 = 52$ .

Errores comunes

Escribir las hojas en el orden en que vienen los datos (por ejemplo 6 | 7 1 7 3)

Por qué está mal: El diagrama sigue mostrando la forma, pero contar hasta la mediana o ver los valores repetidos solo funciona si cada fila está ordenada.

Correcto: Reescribe siempre cada fila con las hojas de menor a mayor: 6 | 1 3 7 7.

Olvidar la clave o no tenerla en cuenta

Por qué está mal: La misma entrada $4 \mid 7$ puede significar 47, 4,7 o 470. Sin clave, el lector tiene que adivinar.

Correcto: Escribe siempre una clave como $4 \mid 7 = 4{,}7$ segundos y lee cada valor con ella.

Saltarse un tallo que no tiene hojas

Por qué está mal: Si ningún dato está entre 30 y 39 y se quita la fila del tallo 3, el hueco en los datos desaparece y la forma parece incorrecta.

Correcto: Escribe todos los tallos de menor a mayor, aunque una fila quede vacía.

Leer el lado izquierdo de un diagrama espalda con espalda al revés (leer $3 \mid 7$ como 37)

Por qué está mal: En el lado izquierdo la hoja va antes del tallo, pero el tallo sigue siendo la cifra de las decenas.

Correcto: Lee las hojas de la izquierda desde el tallo hacia fuera: la hoja 3 junto al tallo 7 es 73. La clave de un diagrama espalda con espalda lo indica.

Visual interactivo

Notas de 15 estudiantes en el examen: ordena las hojas

Tallo	Hoja
5
6
7
8
9

Clave: 7 | 4 = 74

Toca una hoja para ver su valor.

Número de datos: 15
Mediana: 74
Moda: 67
Rango: 95 − 52 = 43

Diagrama espalda con espalda: clase A y clase B

Clase A	Tallo	Clase B
	4
	5
	6
	7
	8
	9

Clave: 7 | 2 = 72Lado izquierdo: 3 | 7 = 73

Toca una hoja para ver su valor.

Clase A

Número de datos: 10
Mediana: 63
Moda: 64
Rango: 80 − 48 = 32

Clase B

Número de datos: 10
Mediana: 75
Moda: ninguna
Rango: 91 − 57 = 34

Tiempos de trayecto de 14 personas (minutos) con tallos divididos

Tallo	Hoja
2
2*
3
3*

Clave: 2 | 1 = 21Tallos divididos: la primera fila de un tallo tiene las hojas 0 a 4, la fila con * las hojas 5 a 9.

Toca una hoja para ver su valor.

Número de datos: 14
Mediana: 28,5
Moda: 27
Rango: 38 − 21 = 17

Histograma

Las mismas notas agrupadas por tallo (el diagrama girado)

50-59(2)

60-69(4)

70-79(4)

80-89(3)

90-99(2)

Sandbox interactivo

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

Aún no hay cálculos

Problemas de práctica

18 problemas

Problema 1 de 18

Fácil

En un diagrama de tallo y hojas la clave es

4 \mid 7 = 47

. ¿Qué valor representa el tallo 6 con la hoja 3?

Problemas de práctica: Diagramas de tallo y hojas

1. En un diagrama de tallo y hojas la clave es 4 \mid 7 = 47. ¿Qué valor representa el tallo 6 con la hoja 3?
2. Las alturas de unas plantas en cm aparecen en este diagrama de tallo y hojas (clave: 2 \mid 3 = 23 cm): \begin{array}{r|l} 1 & 2~5~8 \\ 2 & 0~3~3~7 \\ 3 & 1~4~6 \\ 4 & 2 \end{array} ¿Cuántas plantas se midieron?
3. El valor 58 se coloca en un diagrama de tallo y hojas con la clave 5 \mid 2 = 52. ¿Cuál es su hoja?
4. Las alturas de unas plantas en cm aparecen en este diagrama de tallo y hojas (clave: 2 \mid 3 = 23 cm): \begin{array}{r|l} 1 & 2~5~8 \\ 2 & 0~3~3~7 \\ 3 & 1~4~6 \\ 4 & 2 \end{array} ¿Cuánto mide la planta más baja, en cm?
5. Las alturas de unas plantas en cm aparecen en este diagrama de tallo y hojas (clave: 2 \mid 3 = 23 cm): \begin{array}{r|l} 1 & 2~5~8 \\ 2 & 0~3~3~7 \\ 3 & 1~4~6 \\ 4 & 2 \end{array} Halla el rango de las alturas de las plantas.
6. Haz un diagrama de tallo y hojas ordenado de estas edades: 34, 27, 41, 29, 36, 22, 38, 45 (clave: 2 \mid 2 = 22).
7. Las alturas de unas plantas en cm aparecen en este diagrama de tallo y hojas (clave: 2 \mid 3 = 23 cm): \begin{array}{r|l} 1 & 2~5~8 \\ 2 & 0~3~3~7 \\ 3 & 1~4~6 \\ 4 & 2 \end{array} Halla la mediana de las alturas de las plantas.
8. Las alturas de unas plantas en cm aparecen en este diagrama de tallo y hojas (clave: 2 \mid 3 = 23 cm): \begin{array}{r|l} 1 & 2~5~8 \\ 2 & 0~3~3~7 \\ 3 & 1~4~6 \\ 4 & 2 \end{array} ¿Cuál es la moda de las alturas de las plantas (en cm)?
9. Este diagrama de tallo y hojas muestra cuántos minutos hicieron ejercicio unas personas en un día (clave: 4 \mid 2 = 42 minutos): \begin{array}{r|l} 3 & 5~8 \\ 4 & 0~2~2~6~9 \\ 5 & 1~3~7 \\ 6 & 0~4 \end{array} ¿Cuántas personas hicieron ejercicio 50 minutos o más?
10. Este diagrama de tallo y hojas muestra cuántos minutos hicieron ejercicio unas personas en un día (clave: 4 \mid 2 = 42 minutos): \begin{array}{r|l} 3 & 5~8 \\ 4 & 0~2~2~6~9 \\ 5 & 1~3~7 \\ 6 & 0~4 \end{array} Halla la mediana del número de minutos.
11. ¿Cómo se escriben los valores 7, 12 y 15 en un diagrama de tallo y hojas con la clave 1 \mid 2 = 12?
12. Aquí están los tiempos en 100 m de 8 corredores en segundos (clave: 13 \mid 5 = 13{,}5 segundos): \begin{array}{r|l} 12 & 4~8 \\ 13 & 1~1~5~9 \\ 14 & 2~6 \end{array} ¿Cuál es el rango de los tiempos, en segundos? Escribe un número decimal.
13. Cinco amigos anotaron cuántas flexiones podían hacer (clave: 2 \mid 4 = 24): \begin{array}{r|l} 2 & 4~6 \\ 3 & 0~5~5 \end{array} Halla la media del número de flexiones.
14. Aquí están los tiempos en 100 m de 8 corredores en segundos (clave: 13 \mid 5 = 13{,}5 segundos): \begin{array}{r|l} 12 & 4~8 \\ 13 & 1~1~5~9 \\ 14 & 2~6 \end{array} Halla la mediana de los tiempos.
15. Este diagrama espalda con espalda muestra los puntos por partido de dos equipos de baloncesto (clave: 2 \mid 1 = 12 para el equipo A, 1 \mid 5 = 15 para el equipo B): \begin{array}{r|c|l} \text{Equipo A} & \text{Tallo} & \text{Equipo B} \\ \hline 7~2 & 1 & 5 \\ 8~5~4~1 & 2 & 0~3~6 \\ 3~0 & 3 & 1~4~4~8 \\ & 4 & 2~5 \end{array} ¿Cuántos puntos es mayor la mediana del equipo B que la del equipo A?
16. Este diagrama espalda con espalda muestra los puntos por partido de dos equipos de baloncesto (clave: 2 \mid 1 = 12 para el equipo A, 1 \mid 5 = 15 para el equipo B): \begin{array}{r|c|l} \text{Equipo A} & \text{Tallo} & \text{Equipo B} \\ \hline 7~2 & 1 & 5 \\ 8~5~4~1 & 2 & 0~3~6 \\ 3~0 & 3 & 1~4~4~8 \\ & 4 & 2~5 \end{array} ¿Qué equipo tiene el mayor rango de puntos?
17. Este diagrama espalda con espalda muestra los puntos por partido de dos equipos de baloncesto (clave: 2 \mid 1 = 12 para el equipo A, 1 \mid 5 = 15 para el equipo B): \begin{array}{r|c|l} \text{Equipo A} & \text{Tallo} & \text{Equipo B} \\ \hline 7~2 & 1 & 5 \\ 8~5~4~1 & 2 & 0~3~6 \\ 3~0 & 3 & 1~4~4~8 \\ & 4 & 2~5 \end{array} ¿En cuántos partidos anotó el equipo B más de 30 puntos?
18. Las puntuaciones de 11 jugadores en un nivel de un videojuego son 41, 42, 44, 46, 47, 47, 48, 52, 53, 55, 58. Se muestran con tallos divididos: la primera fila de cada tallo tiene las hojas 0-4 y la segunda las hojas 5-9 (clave: 4 \mid 1 = 41). \begin{array}{r|l} 4 & 1~2~4 \\ 4 & 6~7~7~8 \\ 5 & 2~3 \\ 5 & 5~8 \end{array} Responde a las preguntas sobre el diagrama.

Por qué es importante

El diagrama de tallo y hojas es una forma rápida de organizar a mano un conjunto de datos pequeño o mediano:

No se pierde ningún dato: a diferencia de un histograma o de un diagrama de caja, cada valor original se puede volver a leer
La forma de un vistazo: la longitud de cada fila muestra dónde se acumulan los datos y dónde hay pocos
Datos ya ordenados: en cuanto las hojas están en orden, los datos quedan ordenados, así que la mediana, la moda y el rango se encuentran fácilmente
Comparar grupos: un diagrama espalda con espalda coloca dos conjuntos de datos en los mismos tallos, por ejemplo las notas de dos clases o las temperaturas de dos pueblos

Los periodistas deportivos lo usan para los puntos por partido, los médicos para el pulso, y muchos horarios de autobús escriben la hora una vez y los minutos de salida al lado, que es justo la idea del tallo y las hojas.

Aplicaciones del mundo real

Puntos por partido en baloncesto

Entrenadores y periodistas deportivos usan diagramas de tallo y hojas para mostrar los puntos de un jugador en una temporada sin perder ningún partido.

Ejemplo:

Los puntos de un jugador en 12 partidos:

\begin{array}{r|l} 0 & 8~9 \\ 1 & 2~4~4~7 \\ 2 & 0~1~5~6 \\ 3 & 3~8 \end{array}

Clave:

1 \mid 2 = 12

puntos (el tallo 0 contiene los valores de una cifra 8 y 9).

1Inténtalo tú mismo

Usa el diagrama de los 12 partidos del jugador de arriba.

¿Cuál es la mediana de los puntos por partido?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe el cálculo de la mediana:

Comparar las temperaturas de dos pueblos

Los servicios meteorológicos comparan lugares con diagramas espalda con espalda: los mismos tallos en el centro y un pueblo a cada lado.

Ejemplo:

Temperaturas máximas diarias en °C:

\begin{array}{r|c|l} \text{Pueblo A} & \text{Tallo} & \text{Pueblo B} \\ \hline 9~6 & 0 & \\ 8~5~3~1 & 1 & 4~7 \\ 2~0 & 2 & 0~3~5~7~8 \\ & 3 & 1~2~4 \end{array}

Clave:

6 \mid 0 = 6

°C para el pueblo A,

1 \mid 4 = 14

°C para el pueblo B. El pueblo A tiene 8 días y el pueblo B tiene 10 días.

2Inténtalo tú mismo

Usa el diagrama espalda con espalda de los dos pueblos de arriba.

¿Cuántos grados es mayor la mediana del pueblo B que la del pueblo A?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe mediana B menos mediana A:

Pulso en reposo

Los enfermeros escolares y los médicos anotan el pulso en diagramas de tallo y hojas para ver enseguida qué valores son normales y cuáles son raros.

Ejemplo:

Pulso en reposo de 12 estudiantes en latidos por minuto:

\begin{array}{r|l} 6 & 2~5~8 \\ 7 & 0~1~4~4~9 \\ 8 & 3~6 \\ 9 & 0~7 \end{array}

Clave:

7 \mid 4 = 74

latidos por minuto.

3Inténtalo tú mismo

Usa el diagrama del pulso de arriba.

¿Cuál es el rango de los pulsos?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe el cálculo del rango:

Puntos clave

1Un diagrama de tallo y hojas separa cada valor en un tallo (todas las cifras menos la última) y una hoja (la última cifra)
2Los tallos van en una columna de menor a mayor, las hojas de cada fila se escriben ordenadas, y todo diagrama necesita una clave como $5 \mid 2 = 52$
3Cada hoja es un dato, así que el número de hojas es el número de datos y cada valor se puede volver a leer
4Como los datos están ordenados, la mediana se halla contando hojas, la moda es una hoja repetida en una fila y el rango es el último valor menos el primero
5Un diagrama espalda con espalda comparte los tallos entre dos grupos: las hojas de la izquierda se leen desde el tallo hacia fuera
6Los tallos divididos (hojas 0-4 y 5-9 en filas distintas) muestran mejor la forma cuando los datos usan pocos tallos

Preguntas frecuentes

El tallo es 0 y la hoja es 7, así que 7 se escribe

0 \mid 7

. Así los valores de una cifra caben en el mismo diagrama que los de dos cifras.

Glosario

Diagrama de tallo y hojas: Una representación que separa cada valor en tallo y hoja, de modo que se ve cada valor y también la forma de los datos
Tallo: Todas las cifras de un valor menos la última, escritas una vez en la columna de la izquierda (en 74 el tallo es 7)
Hoja: La última cifra de un valor, escrita en la fila de su tallo (en 74 la hoja es 4)
Clave: Una nota que muestra cómo leer una entrada, por ejemplo $5 \mid 2 = 52$ o $5 \mid 2 = 5{,}2$
Diagrama espalda con espalda: Dos diagramas de tallo y hojas que comparten una columna de tallos, con las hojas de un grupo a la izquierda y las del otro a la derecha
Tallos divididos: Cada tallo se usa en dos filas, la primera con las hojas 0 a 4 y la segunda con las hojas 5 a 9

Tarjeta de fórmulas

Leer una entrada (clave tallo | hoja)

7 \mid 4 = 7 \times 10 + 4 = 74

En datos de dos cifras, el valor es el tallo por 10 más la hoja. Comprueba siempre la clave: con $7 \mid 4 = 7{,}4$ la hoja es la cifra de las décimas.

Posición de la mediana

\text{posición} = \frac{n + 1}{2}

Cuenta hojas desde arriba hasta llegar a esa posición. Si termina en ,5, toma la media de los dos valores de cada lado.

Rango

\text{rango} = \text{último valor} - \text{primer valor}

El valor mayor es la última hoja del último tallo y el menor es la primera hoja del primer tallo.

Reto de hoyUn problema, tres intentos

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