¿Qué recta se ajusta mejor?

Mia cuenta sus flexiones en un minuto después de cada semana de entrenamiento. Semanas 1 a 8: $6, 6, 9, 12, 12, 16, 16, 19$. Tres estudiantes trazan una recta a ojo: - Recta A: $y = 2x + 3$ - Recta B: $y = 2x + 7$ - Recta C: $y = 0{,}5x + 9$ ¿Cuál es la mejor recta de mejor ajuste?

Comprueba la recta B: La recta B da $9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23$ para las semanas 1 a 8. Cada punto de datos está más abajo. = Los 8 puntos están por debajo de la recta B: está demasiado alta

Comprueba la recta C: La recta C da $9{,}5; 10; 10{,}5; 11; 11{,}5; 12; 12{,}5; 13$. Las semanas 1 a 3 quedan por debajo y las semanas 4 a 8 por encima. = Puntos por debajo a la izquierda y por encima a la derecha: la recta C es demasiado plana

Comprueba la recta A: La recta A da $5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19$. Por encima: semanas 1, 4, 6. Por debajo: semanas 2, 5, 7. Sobre la recta: semanas 3, 8. = 3 por encima, 3 por debajo, repartidos a lo largo de toda la recta

Decide: Solo la recta A tiene los puntos equilibrados a ambos lados en toda su longitud y sigue la tendencia creciente. = La recta A es la que mejor se ajusta

Answer: La recta A, $y = 2x + 3$, es la mejor recta de mejor ajuste. La recta B está demasiado alta y la recta C es demasiado plana.

Ecuación a partir de dos puntos de la recta

La recta de mejor ajuste de Mia pasa por los puntos de la cuadrícula $(0, 3)$ y $(5, 13)$. Halla su ecuación.

Halla el cambio en y y en x: $13 - 3 = 10$ y $5 - 0 = 5$ = Subida $10$, avance $5$

Calcula la pendiente: $m = \frac{10}{5} = 2$ = $m = 2$

Halla la ordenada en el origen: El punto $(0, 3)$ está en el eje y, así que $b = 3$ = $b = 3$

Escribe y comprueba la ecuación: $y = 2x + 3$. Comprobación con $(5, 13)$: $2 \times 5 + 3 = 13$ = $y = 2x + 3$

Answer: La recta de mejor ajuste es $y = 2x + 3$.

Una tendencia decreciente

Una cafetería representa la temperatura exterior $x$ (°C) frente al número de bebidas calientes vendidas $y$. La recta de mejor ajuste trazada a ojo pasa por $(10, 80)$ y $(25, 35)$. Halla su ecuación y explica la pendiente.

Calcula la pendiente: $m = \frac{35 - 80}{25 - 10} = \frac{-45}{15} = -3$ = $m = -3$

Usa un punto para hallar b: $b = y_1 - m x_1 = 80 - (-3)(10) = 80 + 30 = 110$ = $b = 110$

Escribe la ecuación: $y = -3x + 110$ = $y = -3x + 110$

Comprueba con el otro punto: $-3 \times 25 + 110 = -75 + 110 = 35$ = La recta pasa por $(25, 35)$

Interpreta la pendiente: La pendiente es negativa: por cada grado más de calor, la recta baja 3 bebidas = Unas 3 bebidas calientes menos por cada °C extra

Answer: $y = -3x + 110$: por cada grado más de calor, la cafetería vende unas 3 bebidas calientes menos.

¿Qué significan la pendiente y la ordenada en el origen?

Para bicicletas usadas, la recta de mejor ajuste entre la edad $x$ (años) y el precio $y$ (dólares) es $y = -40x + 300$. Los datos son de bicicletas de 1 a 6 años. Explica la pendiente y la ordenada en el origen.

Lee la pendiente: $m = -40$, medida en dólares por año = Pendiente $-40$

Interpreta la pendiente: Por cada año más de edad, el precio previsto baja 40 dólares = Una bicicleta pierde unos 40 dólares por año

Lee la ordenada en el origen: $b = 300$, el valor de $y$ cuando $x = 0$ = Ordenada en el origen $300$

Interpreta la ordenada en el origen: Edad $0$ significa una bicicleta nueva. Está justo fuera de los datos (1 a 6 años), así que es solo una estimación aproximada = Una bicicleta nueva cuesta unos 300 dólares

Answer: La pendiente dice que una bicicleta usada pierde unos 40 dólares por año. La ordenada en el origen dice que una bicicleta nueva cuesta unos 300 dólares.

Usar el centro de gravedad

Un quiosco anota durante cinco días las horas de sol $x$ y los helados vendidos $y$: $(1, 4)$, $(3, 7)$, $(4, 10)$, $(6, 12)$, $(6, 17)$. Un estudiante trazó la recta $y = 2x + 1$. Compruébala con el centro de gravedad y corrígela manteniendo la pendiente $2$.

Halla la media de x: $\bar{x} = \frac{1 + 3 + 4 + 6 + 6}{5} = \frac{20}{5} = 4$ = $\bar{x} = 4$

Halla la media de y: $\bar{y} = \frac{4 + 7 + 10 + 12 + 17}{5} = \frac{50}{5} = 10$ = $\bar{y} = 10$

Prueba la recta del estudiante en x = 4: $2 \times 4 + 1 = 9$, pero $\bar{y} = 10$ = La recta no pasa por $(4, 10)$, se queda 1 por debajo

Mueve la recta para que pase por el centro de gravedad: $b = \bar{y} - m\bar{x} = 10 - 2 \times 4 = 2$ = $y = 2x + 2$

Answer: El centro de gravedad es $(4, 10)$. La recta corregida es $y = 2x + 2$, que pasa por él.

Mistake: Trazar la recta desde el primer punto de datos hasta el último

Why: El primer y el último punto pueden ser poco habituales. Una recta que pasa por ellos suele dejar la mayoría de los puntos a un solo lado.

Correct: No te fijes en puntos sueltos, sino en toda la nube: más o menos la mitad de los puntos por encima y la mitad por debajo. La recta puede no pasar por ningún punto.

Mistake: Equilibrar el número de puntos sin seguir la tendencia

Why: Una recta demasiado plana puede tener 4 puntos por encima y 4 por debajo, pero todos los bajos están a la izquierda y todos los altos a la derecha.

Correct: Revisa los dos extremos: cerca de cada extremo de la recta debe haber puntos por encima y por debajo.

Mistake: Calcular la pendiente con dos puntos de datos en lugar de dos puntos de la recta

Why: Los puntos de datos casi nunca están sobre la recta, así que su pendiente no es la pendiente de tu recta.

Correct: Lee dos puntos que estén sobre la recta que trazaste, alejados y en cruces de la cuadrícula, y luego usa $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Mistake: Leer la pendiente como un valor de y en lugar de un cambio

Why: En $y = 2x + 3$ para semanas y flexiones, $2$ no significa "2 flexiones". Es el cambio por semana.

Correct: Di la pendiente con las dos unidades: unas 2 flexiones más por cada semana de entrenamiento.

Entrenar para una carrera

Los entrenadores trazan una línea de tendencia sobre los tiempos de una atleta para ver cuánto más rápida es cada semana.

Los tiempos de una corredora en 5 km bajan de unos 30 minutos a unos 22 minutos en pocas semanas. La línea de tendencia muestra la mejora constante, incluso en los días malos.

Puesto de limonada

Los pequeños vendedores representan la temperatura frente a las ventas para planificar cuánto preparar.

En los días de calor, un puesto vende muchos más vasos. Una línea de tendencia sobre los datos de un verano muestra cuántos vasos extra trae cada grado, más o menos.

Experimento de crecimiento de una planta

En clase de ciencias, los estudiantes miden una planta cada pocos días y describen su ritmo de crecimiento con una línea de tendencia.

Las medidas nunca son perfectas, así que las alturas se dispersan un poco. La recta de mejor ajuste da un único ritmo de crecimiento en centímetros por día.

Q: ¿Hay una sola recta de mejor ajuste correcta?

A: A ojo, no. Dos estudiantes pueden trazar rectas un poco distintas y ambas ser buenas. Sus pendientes y ordenadas en el origen serán parecidas. Solo la recta de mínimos cuadrados, de la lección Regresión lineal, es una única recta exacta.

Q: ¿La recta tiene que pasar por el origen?

A: No. La recta va hacia donde apuntan los datos. Solo oblígala a pasar por $(0, 0)$ si la situación de verdad empieza en cero y los datos lo confirman.

Q: ¿Cuento los puntos que están justo sobre la recta?

A: Los puntos sobre la recta no cuentan para ningún lado. Equilibra los puntos de arriba con los de abajo.

Q: ¿Cuándo no debo trazar una recta de mejor ajuste?

A: Cuando el diagrama de dispersión no muestra ninguna tendencia o cuando los puntos siguen una curva clara. Una recta solo tiene sentido para un patrón lineal.